HOME  .Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル(Lorenz gauge)

1.Maxwellの深謀遠慮

 電磁気学現象を説明するために、J.C.Maxwell は一連の方程式系を見つけます(1865年論文「電磁場の動力学的理論」)。Maxwellの理論は8つの方程式(A)~(H)で表現されていたが、その内の6個(A)~(F)は各々ベクトル成分の三組から成っていたので、式の数は全部で20個あった。方程式系発見の過程については 広重文献1.§10-6Whittaker文献5.第8章 を参照。

 しかし、現在良く知られている電磁場を記述する方程式は、Maxwellが説明している方程式系とは違い4個の偏微分方程式にまとめられています。複雑に絡み合っていたオリジナルの方程式系から、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを取り除いて、今日のすっきりした形にととのえたのは、ヘヴィサイド(O.Heaviside)1885年とヘルツ(H.Hertz)1890年です。

 ちなみに、Heinrich Hertzは1890年の偉大な論文、Go¨ttinger Nachr., Ma¨rz 19, 1890年(Ann, der Phys., “U¨ber die Grundgleichungen der Elektrodynamik fu¨r ruhende Ko¨rper”, 40, p577, 1890年)およびこれに続く “U¨ber die Grundgleichungen der Elektrodynamik fu¨r bewegter Ko¨rper”, Ann. der Phys., 41, p369, 1890年 に於いて、ベクトルポテンシャルAは、単なる数学的補助概念にすぎないとして、基本方程式群から削除した。そしてMaxwellの方程式系を見通しの良い解りやすい形に整えた。このことについては Sommerfeldの説明、および 広重文献1.§10-8. を参照。
 また、ヘヴィサイドの貢献については Nahin文献3.の説明、および Forbes、Mhon文献4.の説明 を参照。

 ところが、相対性理論および量子理論でスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは復活します。その当たりの説明を木幡文献2.p130~131より引用。(文中の第4部とはMaxwellの著書“A Treatise in Electricity ans Magnetism”の第4部のことて、方程式を表す記号(A)~(L)は1965年論文の(A)~(H)とは異なっています。)



 上記Maxwellの深謀遠慮§615(p254)は以下に引用。電磁単位系だからD=εE、真空中でH=Bとなっていることに注意。




 これらは、私たちが検討している量の間の主要な関係とみなされる。これらの数式のいくつかを排除するように組み合わせることもできますが、現在の我々の目的は数学的公式系の簡潔化ではなく、私たちが持っている知識のすべての関係を表現することです。有用なアイデアを表現している方程式を削除することは、我々の探求の現段階においては、利益というよりもむしろ損失となるでしょう。
 しかしながら、方程式(A)(E)を組み合わせることによって得ることができる一つの結論があり、それは非常に重要です。
 もし場の中に円形電流以外の形での磁石が存在しないと仮定すると、磁気力()と磁気誘導()の間でこれまでに保持していた区別は消滅する。なぜなら、これらの量が互いに異なった量であるのは、磁化された物質の中だけだからです。
 アンペアの仮説(Art.833で説明されている)によれば、我々が磁化された物質と呼ぶものの性質は分子的な円形電流に起因するので、我々の磁化理論が適用可能なのは物質が巨視的なものであるとみなせるときだけであり、 私たちの数学的方法が個々の分子内で何が起こっているのかを説明できると仮定すれば、円形電流以外の何者も見いださないでしょうし、磁気力()と磁気誘導()がどこでも同じであることを見いだすでしょう。しかし、静電単位系または電磁単位系を常に測定に利用できるようにするためには、係数μをそのままにしておき、その値は電磁単位系では1であることを覚えておかねば成らない。

 科学史の研究者に取って§615の上記コメントは結構有名な箇所で、いろいろな解釈がされています。
 この文章の中程ではベクトルポテンシャルの定義式(A)とMaxwellが(変位電流を用いて)拡張したアンペールの法則(E)からベクトルポテンシャルについて重要な関係式(非同次の波動方程式)が得られる事を、後半では別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」(2)で説明したことやHとBの違いを静電単位系と電磁単位系との関係で注意している。
 いずれにしても前半でMaxwellが述べた事は正しかった。 

[補足説明1]
 上記方程式系中の(B)は2.(1)1.で出てくるノイマンの電気力Eの表現よりもさらに拡張されており、運動している物体の場合への拡張を含む-[B×v]の項が追加されている。
 また、マクスウェルは導入したスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルについて divA=0の条件式(2.(3)1.で説明するCoulomb gauge)を用いており、そのためスカラーポテンシャルの満足する方程式は非同次の波動方程式ではなくて、ポアソンの方程式になる。そのためスカラーポテンシャルの解は時間の遅延項を含まない式となり、現実の現象に合わない。そのことはマクスウェル自身も認識していたようで、1968年論文の中で、いろいろな改良を試みているようです。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

2.電磁ポテンシャル

)導入

 別稿「カルマン渦列(動的安定性解析)」2.(3)で注意したように、熱学、弾性体学、流体力学で開発された様々な数学的テクニックは電磁気学の研究と相補いながら発展する。特にそこで説明したベクトル解析の基本定理[ヘルムホルツの定理]

 連続な無限空間で定義され、無限遠においてその値が1/r2程度でゼロになる任意のベクトル場 は、渦無しの場1発散の無い場 2 の和で表すことができる。

は重要です。
 様々な電磁気的現象の考察を進めるなかで電場、磁場という場の考え方が重要に成ってくる。それらの考え方の導入に最大の功績があったのはファラデーでありマクスウェルですが、電場や磁場が上記の渦無しの場1発散の無い場 2 (これは発散に基づく場1渦糸(電流)に基づく場2といっても良い)に相当するのではないかということはいろいろな研究者が気づいていた。
 さらに、次に出てくるベクトルAはノイマン、ウェーバー、キルヒホフなどが論文の中で電流の誘導に関して用いていたし、W.Thomson(後のLord Kelvin)も電気現象を熱現象や弾性現象との類似性から研究する過程で気づいていた。特にThomsonは1847年の論文で弾性変位を表すベクトルの分布が静電気系の電気力の分布の類似と考えることができることや、磁気誘導Bと

の関係にあるベクトルAを弾性変位と同一視することもできる事を指摘した。
 この考え方はやがてMaxwellに引き継がれる。実際、MaxwellはファラデーとW.トムソンから多くの啓発を受けて、電磁気学現象を表す数式表現を追求していきます。
 その当たりは、E.Whittaker文献5.第8章“マクスウェル”が詳しいので別稿で引用しています。どうぞそれをお読み下さい。ただし、複雑な電磁気学的現象の数学的表現を見つけ出すには、様々な現象が示す混沌のなからか試行錯誤を繰り返しながら手探りで進めて行かねば成りません。そのためMaxwellの発見過程はたどるのは大変で、それを説明したWhittakerの文章を理解するのはかなり難しい。そのとき本稿に関係する部分を読み解く鍵は下記別稿で説明した事柄ですから、これらのリンク先を復習されながらお読み下さい。

  1. 「グリーンの定理[積分定理の王]」とくに1.(2)2.(2)
  2. 「カルマン渦列(動的安定性解析)」2.“数学的準備”
  3. 「非同次波動方程式の一般解」
  4. 「線型振動子(電気双極子)による電磁波の放出」1.
  5. 「電磁波の伝播」
  6. 「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(1)~(2)の中の[補足説明]
  7. 「Purcell著「電磁気学」」§6.3

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(2)ゲージ条件

 今日、スカラーポテンシャルφ、ベクトルポテンシャルAを導入するとき“ローレンツ・ゲージ”を採用しますが、その条件式を最初に示したのはリーマンとローレンツのようです。このローレンツは電子論や相対論で有名なオランダ人のHendrik Antoon Lorentz(1853年~1928年)ではなくて、デンマーク人のLudvig Valentin Lorenz(1829年~1891年)です。
 L.V.Lorenzがこの条件式を提示したいきさつはホィティカーの説明が解りやすいので以下に引用します。

.Lorenzの条件式

 ホィティカー文献5.p304~307 による Ludwig Valentin Lorenz, “U¨ber die Intensita¨t der Schwingungen des Lichts mit den elektrischen Stro¨men”, Annalen der Physik und Chemie, 131, 243–263, 1867年 の解説。




 同等であることの証明は別稿「線形振動子による電磁波の放出」1.(2)1.を参照されたし。また、非同次の波動方程式(2)と(3)の解が前述の遅延ポテンシャルの解となることは別稿「非同次波動方程式の一般解」をご覧下さい。


上記の注1)に於いて r は r2=(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2 ですから、xの偏微分をx’の偏微分に置き換えると負符号が前に出る。ここの計算手順については別稿「線形振動子による電磁波の放出」1.(2)2.を参照されたし。



 L.V.Lorenzの論文は電磁場を明示的に用いていないので解りにくくてローレンツがマクスウェルとほとんど同等の電磁場の理論に到達していた事がなかなか読み取れません。そのため彼の業績はあまり知られることが無く歴史の中に埋もれてしまっています。
 しかし、太田先生が解説されている様に、遅延ポテンシャルの導入と電磁ポテンシャルの一体化に関してもっと評価されても良いのかもしれません。太田先生が文献7.第4章§4.1~4.2で詳しく解説されていますので、ぜひ§4.2の説明を導きの糸にして英訳版をお読みになられて下さい。
 Maxwell自身はリーマンとローレンツの論文はしっかり理解しており、正確に評価していた様です。それは1968年に書いた論文や1973年の著書中の記述から解る(文献7.参照)。

 

.Coulombの条件式

 Maxwellは明示的に示してはいませんが、現在の知識で見ると、彼が導入したスカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルは、今日 Coulomb gauge と呼ばれるゲージ条件のもとで理論に組み込まれているようです。
 これは、前項で説明したLorenz gauge

のかわりに

とする場合です。

 もちろんMaxwellは1.の深謀遠慮の訳文で注意したように、かれはベクトルポテンシャルに関して非同時波動方程式を導いており、さらに後の部分では、金属中に進入する電磁場の議論でオームの法則から生じる一階時間微分の項も含む非同次波動方程式も考察しています。だから彼には今日言われているクーロンゲージに従ったという意識はありません。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(3)ゲージ条件の適用

 以下では、ヘヴィサイドとヘルツが整えた今日のMaxwell方程式系から出発して、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAを導入します。

.Maxwell方程式

 最初に、ヘヴィサイドやヘルツが整理して導いたMaxwell方程式系を復習します。
 この方程式系は別稿「マクスウェルによるアンペールの法則の拡張」(1)にて説明しておりますが、本稿では“Gauss単位系”で論じる事にします。有利化されていないGauss単位系です。
 そして、話を簡単にするためにH.A.Lorentzに従って、電媒質、磁媒質を考慮した表記を避けて、真空中に電荷と電流のみが存在する明晰な形で説明します。また磁場を表す量としてBではなくHを用います。
 このようにするのはアインシュタインの原論分と比較しやすくし、またWhittaker の「エーテルと電気の歴史」やランダウ・リフシュツの「場の古典論」などを参照しやすくするためです。単位系の詳細については別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」5.(4)をご覧下さい。

“Gauss単位系”ではε0=1、μ0=1、γ≒c と置けばよい。また真空中ではは同じ量となる。

となる。

 まず、《Maxwell方程式(3)》div=0だから別稿で証明したようにベクトルポテンシャルのrotで表される(任意のベクトルに対して常に divrot=0 が成り立つ)。つまり

なるベクトル関数Aが存在する。
 これを《Maxwell方程式(2)》に代入すると

となるスカラー関数φが存在する。ここでは、別稿で証明したrotを取ったベクトルがつねに0である場合には元のベクトルはあるスカラー関数Ψの勾配で表せることを用いた(任意のスカラー関数φに対して常に rot(gradφ)=0 が成り立つ)。
 これらの“(7)式、(8)式はもともと、Maxwell自身が最も基本的な関係と捉えていたもの”です。今日φがスカラーポテンシャル、がベクトルポテンシャルといわれるものですが、まとめて“電磁ポテンシャル”と呼ぶ。

 (7)、(8)式を用いて《Maxwell方程式(1)》を変形すると

となる。
 同じく、《Maxwell方程式(4)》を変形すると

となる。上記ベクトル演算公式の証明はこちら

 ところで、その定義式から解るように電磁ポテンシャルには任意性があります。最初に電磁ポテンシャルが0とφ0であたえられた場合、それらにgradχや-∂χ/∂t を加えた

も定義式(7)と(8)を満足します。そのことは上式を定義式に代入してみれば簡単に確かめられる。ここでχは時間的に変化する任意のスカラー関数であってかまいません。
 このように電磁ポテンシャルが持つ任意性を“ゲージ自由度”といいます。実際の電場Eや磁場Hを定めるには、その自由度を制限するさらなる条件が必要で、その制約条件を“ゲージ条件”と言います。
 Maxwellの理論の至らなかった所は、結局この自由度が存在することを見抜けなかった所にあるのかも知れません。
 以下で二つの場合を検討します。

 

.Coulomb gauge

 “クーロンゲージ”と呼ばれるゲージ条件は

で与えられます。
 この式が成り立つ場合には

となりますので、与えられた0からこの式により任意関数χを決めることができます。このχを用いてゲージ条件を確定します。
 このゲージ条件のもとで(9)、(10)式は

となります。
 このとき(9’)式は(10’)式を見る限りスカラーポテンシャルφが時間的な変動する解も含んでいる方程式に見えます。つまり電荷密度ρの分布状況が時間的に変化する場合も含んでいるように見えます。しかし、特殊相対性理論から解る様に電荷密度ρの分布の時間的変化がタイムラグ無しに直ちに全空間のスカラーポテンシャルの状況を決めることはできません。あらゆる信号は光速度以上で伝わることはできないのですからスカラーポテンシャルの変動には必ず時間的な遅れが生じます。つまり(9’)式の“ポアソンの方程式”は電荷密度の分布が時間的に変化しない静的な場合のみ正しい式で、電荷分布が時間的に変化する場合のφを定めることはできません。そのため(9)式が成り立つのなら、(10’)式の右辺の∂φ/∂tの項も本来0とならねばなりません。それは電荷分布が静的である事を意味します。
 つまり、クーロンゲージを選択することは∂φ/∂t=0とすることと同じです。だから(9’)(11’)は以下のようになります。

 これは、電流密度の時間的変動によるベクトルポテンシャルAの時間的な変動解も含んでいますから(11)(12)式を代入して(8)式から導かれる電場には動的な成分も含まれる事になります。そのためこの方程式系の解は、静的な電荷密度分布による静電場の解と、電流密度の時間的な変動から生じる動的な電場と磁場の解を重ね合わせたものになります。
 ここで注意して欲しい事は、時間的に変化する電流密度が作る場でも常にdiv=0となるベクトル場が解として存在することです。

補足説明1
 実際、Maxwellはこのクーロンゲージに相当する理論を展開したのですが、これはかなり特殊な状況です。彼が何故このようなゲージ条件を採用したのか良く解りませんが、以下の事情だったのではないでしょしうか?
 別稿5.(3)2.でも述べたようにMaxwellの理論が展開された1960年代はJ.J.Thomsonによる電子の発見(1897年)よりも遙か昔です。だから、Maxwellの電磁気学理論は、電荷の実態が何か良く分かっていない時代の電媒質(誘電体)中心の立場に立つものです。実際、Maxwell自身も「自分の理論によるとすべての電荷は、媒質の偏極のおつりのようなものである("TreatiseⅠ"p167)」と述べています。ですから、電荷が単独に存在してその分布を自由に変えるという発想はなかったのでしょう。電荷は常に物質と共に有り、媒質の編極の結果電荷が現れたとしてもつねに静止していると考えていたのではないでしょうか?
 またMaxwellの時代には、ニュートンの重力理論以来、作用は無限の速度で伝達して状況に反映されるという遠隔作用の考え方が物理理論に於いて支配的だったのですから、たとえ場の考え方に移行したMaxwellにとっても電荷の作用が無限大速度でスカラーポテンシャルの分布に反映するという考え方に抵抗は無かったのかも知れません。Maxwell自身が電磁波が有限の速度でしか伝播しないという考えに到達するのはもう少し後になってからですから。
 もちろん当時すでに電流の概念はありましたし、電流は電荷の移動であるという考え方はありました。Maxwell理論の中でも独立した存在[(12)式として]で理論の中に現れます。しかし、Maxwellの考えている電荷や電流は電媒質の中に埋もれておりその実態は明瞭ではありません。
 
 ところで、Maxwellの提示した(11)式は現実の現象と合わない矛盾を抱えています。広重文献1.§10-8 p38で説明されているように、このことは後に議論のまととなったようで、これがポテンシャルφやを取り除いたによる電磁場方程式が生まれた一つの理由かも知れません。Maxwell自身もこの不都合には気付いていたようですが!
 
 いずれにしても、(ローレンツH.A.Lorentzが看破した)今日の電磁気学では、真空中での電荷と電流の概念が中心的な役割を担います。ローレンツによって示された電磁気学の新しい解釈は、それまで混沌としていた多くの事柄を極めて明瞭な形で理解することを可能にした。その当たりはアインシュタインの説明(同じくセグレの引用文)を参照されて下さい。

補足説明2
 “電流密度”の分布状況の時間的な変化が無い場合は、ベクトルポテンシャルAも時間的な変化はないとして、2A/∂t2 の項を削除できます。
 そうすると(12)式は

となります。
 この場合には“静的な電荷分布”“定常的な電流分布”により、スカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルAが完全に決定されます。これらの解は時間的に変動しませんから、これを(7)、(8)式に適用して得られる電磁場は時間的に変動しない静的なものとなります。その具体的な解法は別稿「カルマン渦列(動的安定解析)」2.(3)をご覧下さい。

補足説明3
 上記[補足説明2]で説明した状況(すなわち静電荷定常電流のみが存在)のとき、Maxwellの方程式は

となります。
 これは電場ベクトルE磁場ベクトルHが別稿「カルマン渦列(動的安定解析)」2.(3)で説明した[ヘルムホルツの定理]で言う渦無し場1発散の無い場2 に相当することを意味します。
 つまり、電磁気学においても連続な無限空間で定義され、無限遠においてその値が1/r2程度でゼロになる任意の静的なベクトル場 は、渦無しの場発散の無い場 の和で表すことができる。
 別項で引用した Whittaker 著「エーテルと電気の歴史(上・下巻)」第8章“マクスウェル”中にしばしば出てくる“発散的な場”“循環的な場”はこの渦なしの場E(あるいはφ)発散のない場H(あるいはA)を指している。

 

.Lorenz gauge

 電荷分布や電流分布の時間的に変化に対応して、スカラーポテンシャルφやベクトルポテンシャルAが時間的に変化する解が得られる方程式系にするために、L.V.Lorenzが採用したゲージ条件が

です。これは2.(2)1.で説明したもので、今日“ローレンツゲージ”と呼ばれています。
 この場合には、

となるが、この右辺は既知のφ0とA0だから、この方程式を解いてχを決めればゲージ条件が確定します。

 L.V.Lorenz がこの条件を採用した理由は明らかです。この条件の下で(9)式と(10)式は、φとが旨く電荷と電流に対応する“非同次波動方程式”になるからです。
 すなわち

となる。
 これらの式は、時間的に一定の場(つまりρや が時間的に変化しない)に対しては前項補足説明2“ポアソンの方程式”(11)と(12’)に帰着します。
 また、電荷や電流の無い真空中の変化する場に対しては右辺がゼロの“同次波動方程式”に帰着する。これはまさに真空中を伝播する電磁波を解とする方程式です。

補足説明1
 非同次波動方程式(13)、(14)式の一般解は詳しく研究されていて良く知られている。(13)、(14)の解は、右辺をゼロとした同次波動方程式の解と、右辺を持つ非同次波動方程式の特殊解との和として表すことができる。このことは別稿「カルマン渦列(動的安定解析)」2.(3) と別稿「非同次波動方程式の一般解」 をご覧下さい。
 特殊解を求めるためには全空間を無限に小さな領域に分割し、これらの体積要素の1つに位置している電荷要素と電流要素が作る場を決定する。場の方程式の線型性の為に実際の場は、これらすべての要素が作る場の和となる。そのとき、今求めようとしている(x,y,z,t)におけるφやAの状態を決定するのは時刻tにおける(x’,y’,z’,t)のρや ではなくて(x’,y’,z’,t-r/c)のρや の状態です。
 L.V.Lorenzはこのような時間的な遅れを含む解が得られる様にローレンツの条件式(Lorenz gauge)

をつけくわえました。そうすると電磁ポテンシャルが満たすべき方程式は対称的で綺麗な形の非同次波動方程式(13)、(14)式となった。
 その一般解

となります。
 補足しますと、右辺の第二項として添えられている同次波動方程式の解は電荷や電流の存在しない空間に初期条件として与えられている電磁ポテンシャルそのものです。

補足説明2
 最終的な電磁場の解は、前述の電磁ポテンシャル解を(7)、(8)式に代入することで得られる。

補足説明3
 そもそも“電磁ポテンシャルとは何か?”については前野氏の説明をご覧下さい。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

3.電磁ポテンシャルと相対性理論

 2.(3)3.で説明したように、 Lorenz gauge の元では電磁ポテンシャルの満たすべき方程式は4成分からなる同型の方程式(13)、(14)式に帰着する。ところで、これらの方程式系の右辺の(jx,jy,jz,ρ)は、別稿「4元速度(4元運動量、4元電子流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)で説明したように、“4元電流密度”としてローレンツ変換に従うことが解っている。
 ならば、電磁ポテンシャルの4成分(Ax,Ay,Az,φ/c)もローレンツ変換に従って変換される4元ベクトルを構成するのではないかと予想される。以下でこの予想が正しいことを確かめる。

)電磁ポテンシャルは4元量

 やり方としては別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)[補足説明4]で説明した方法を使えばよい。そこを復習して(jx,jy,jz,ρ)(Ax,Ay,Az,φ/c)の形を考慮すると、“電荷保存則”∂ρ/∂t+div j =0“Lorenzのゲージ条件”(1/c)∂φ/∂t+div A =0 が全く同形のスカラー方程式であることが解る。だから、そこのやり方が使えます。

 ここでは、S系(x,y,z,t)のx軸の正方向に速度で運動しているS’系(x’,y’,z’,t’)を考えます。
 まず、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(1)[補足説明1]で説明したように、 t’は(x,y,z,t)の関数、x’、y’、z’も(x,y,z,t)の関数だから、微分法の性質より

が成り立つ。
 これを用いると“ローレンツゲージの条件式”

となる。
 これはベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφ/cが座標(x,y,z,t)と全く同一のローレンツ変換

に従って変換されれば、“ローレンツゲージの条件式”がローレンツ変換に対して形を変えないことを示している。
 すなわち

となる。
 故に、(Ax,Ay,Az,φ/c)はローレンツ変換に従う“4元電磁ポテンシャル”です。

補足説明1
 別なやり方として、アインシュタインが求めている変換式(別稿「アインシュタインの相対性理論(1905年)」3.(1)を参照。アインシュタインはこの変換式をMaxwell方程式がローレンツ変換に対して不変であることから導いた。)

を用いても良い。式中のvは座標系の移動速度であって荷電粒子の速度では無いことに注意。
 まず、電磁場と電磁ポテンシャルの関係(7)、(8)式が、S系とS’系に付いて等しく成りたつローレンツ変換不変式とする。

 ならば、それぞれの座標系で以下の関係式が成り立つ。

 これらをアインシュタインが求めた変換式の左辺と右辺に代入する。そうすると


となるが、微分演算子の変換則

を考慮すると、S’系表示とS系表示の間で成り立つ等式は、電磁ポテンシャルが前述のローレンツ変換式に従って変換されることを示している。

補足説明2
 [補足説明1]では[電磁場の変換式][微分演算の変換式][(7)(8)式がローレンツ変換不変]であることを用いて[電磁ポテンシャルの変換式]を導いたのですが、逆に[電磁ポテンシャルの変換式][微分演算の変換式][(7)(8)式がローレンツ変換不変]であることを用いて[電磁場の変換式]を導くこともできます。


式変形の拡大版はこちら

補足説明3
 [補足説明1]で示した微分演算の変換式を良く眺めてみると

と表される。つまり、座標の微分演算はローレンツ逆変換の転置行列に従って変換される。
 そのため Lorenz gauge の条件式を

の様に行列表示してみれば


の様に、4元ベクトル(Ax,A,Az,φ/c)divローレンツ変換に対して不変であることが解ります。
 すなわち、“Lorenz gauge 条件式”がローレンツ変換不変であることは、“電磁ポテンシャル”が4元ベクトルを成していれば当然満たされることです。
 
 つまり、4元ベクトル4元div は常にローレンツ変換不変スカラーとなる
 
 3.(1)の最初で説明した様に、(jx,jy,jz,ρ)(Ax,Ay,Az,φ/c)と同様な4元ベクトルであり、“電荷保存則”∂ρ/∂t+div j =0“Lorenzのゲージ条件”(1/c)∂φ/∂t+div A =0 と全く同形のスカラー方程式です。
 ならば、電荷保存則も4元ベクトル(jx,jy,jz,ρ)4元div だから、ローレンツ変換不変のスカラーであることが言えます。これは電荷保存則がローレンツ変換に対して不変である事を単に言っているだけではなくて、“電荷そのものがローレンツ変換に対して不変”であることを言っている。これはアインシュタインが1905年論文で強調している事柄です。

補足説明4
 [補足説明3]で示した微分演算は左から乗じられていますが、ローレンツ変換表示したとき


と置ける事実を用いていることに注意してください。つまり、[微分演算][ローレン逆変換行列の係数]の順番を勝手に入れ替えているわけではありません。
 一般に、時空微分演算が作用する行列の係数が時空座標(x,y,z,t)の関数のときには、作用する微分演算が縦行列か横行列であるかの違いと、作用する順番の違いは重要です。たとえば



は全く異なる意味を持っています。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(2)電磁ポテンシャルの非同次波動方程式はローレンツ変換不変

 ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφ/cで構成される4元成分(Ax,Ay,Az,φ/c)で表示された非同次波動方程式もローレンツ変換に対して不変に保たれる事が証明できる。
 その為にまず、偏微分に関して成り立つローレンツ変換関係を導く。ここでも、S系(x,y,z,t)のx軸の正方向に速度で運動しているS’系(x’,y’,z’,t’)へのローレンツ変換を考える。
 まず、 t’は(x,y,z,t)の関数、x’、y’、z’も(x,y,z,t)の関数だから、微分法の性質より


が言える。つまり、波動方程式の演算子(“ダランベール演算子”と呼ばれる)はローレンツ変換に対して不変になる。
 そのため演算子の部分をローレンツ変換すると

となる。
 ここで(15)式×β-(18)式×(v/c)×β を作ると

となる。
 また、(16)式×β/c-(15)式×(v/c2)×βを作ると

となる。
 さらに、y成分(16)式と、z成分(17)式の両辺はそのままの形でローレンツ変換される。
 よって、ベクトルポテンシャルA と スカラーポテンシャルφ/c から構成される4つの非同次波動方程式は、ローレンツ変換により

となるので、ローレンツ変換不変な形をしている。

補足説明1
 これまでに説明したように、(jx,jy,jz,ρ)(Ax,Ay,Az,φ/c)が4元ベクトルとしてローレンツ変換に従うのですから、この二つの4元量により構成される4元的な非同次波動方程式がローレンツ変換不変であるのは当たり前です。
 空間の各点ごとに与えられているスカラー場がρであり、φ/cの場です。また同じ空間の同じ点ごとに(jx,jy,jz(Ax,Ay,Az)のベクトル場が与えられています。これらの量をS系から観測するか、S系に対して等速度で動いているS’系から観測するかの問題なのですが、S’系から見た(j’x,j’y,j’z,ρ’)(A’x,A’y,A’z,φ’/c)はそれぞれのS系での値をローレンツ変換した値を持つと言うだけです。
 S系での(Ax,Ay,Az,φ/c)はS系で与えられている(jx,jy,jz,ρ)の分布状況に拠って非同次波動方程式によって定められたものです。またS’系での(A’x,A’y,A’z,φ’/c)はS系で与えられている(j’x,j’y,j’z,ρ’)の分布状況に拠って非同次波動方程式に拠って定められたものです。
 だから、(jx,jy,jz,ρ)(Ax,Ay,Az,φ/c)が4元ベクトルとして同一のローレンツ変換に従うのですから、互いの関係を規定する非同次波動方程式“ローレンツ変換不変”であってしかるべきです。

補足説明2
 波動方程式が真に正しい物理法則を表しており“相対性原理”を満たしているのなら、波動方程式は二つの慣性系で同じ形になる。そのことから逆に座標変換法則(ローレンツ変換)を導くことが出来る。
 そのことに関して吉田伸夫著「完全独習相対性理論」講談社(2016年刊)のp41~47の説明を引用。

補足説明3
 3.(1)[補足説明3]4元div演算微分演算子のローレンツ変換式

を適用して説明しました。
 ダランベール演算子に関しても同様な議論が出来ます。ここで、ダランベール演算子は4元時空微分演算子ベクトルの自分自身の内積のような微分演算子です。そのため論理的につじつまの合う理論形式にするには、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明1]で説明したミンコフスキー時空計量テンソルの 逆行列 G-1 を間に挟まないといけません。そうしないと方程式の係数も合いません。このように計量テンソルを用いて反変と共変の性質を変換しておかないと旨くローレンツ変換不変の方程式表現に成らないのです。さらに、電磁ポテンシャルと4元電流密度ベクトルの列表示の右側にもミンコフスキー時空計量テンソルの を乗じておいても良い。

 上式の行列表示を展開してみれば確かに電磁ポテンシャルの非同次波動方程式となる。これがローレンツ変換に対して不変式であることは直ちに解ります。

式変形途中のLとGの行列積関係式は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換」3.(3)[補足説明3]を参照。

補足説明4
 [補足説明3]では両辺の右側から計量テンソルをかけた形の方程式にしたが、これは省略して下記の形でも良い。なぜなら、ダランベール演算子はスカラー演算子だから、それを作用させるベクトルは共変でも反変でも良かったのです。どちらの場合も同じベクトル方程式になるのですから。

この形のとき、これがローレンツ変換不変式であることの確認は以下のようになる。

確かにローレンツ変換不変式であることが解る。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

4.電磁場は4×4=16成分の4元テンソル場

)何故テンソル場なのか

 (Ax,Ay,Az,φ/c)から(7)、(8)式

によって定められる電磁場()も、(Ax,Ay,Az,φ/c)が定められている同じ時空点での場の表現を与えます。つまり(jx,jy,jz,ρ)(Ax,Ay,Az,φ/c)が定まっている同じ時空点での6成分からなる場を表すものです。
 6成分から構成されますから、その場は単なる“スカラー場”でも無ければベクトル場”でもありません。S’系での電磁場(E’とH’)の値はアインシュタインが最初に導いたように、S系の同一点でそれぞれを表す電磁場(EとH)からローレンツ共変の変換式に拠って導かれました(別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(1)を復習されたし)。それはの6成分からなるローレンツ変換共変の変換式ですが、決して4元ベクトルを変換するローレンツ変換と同じではありません。
 別稿「4元速度、4元加速度と4元力」で説明したように、三次元速度三次元力がローレンツ変換共変の変換式に従うが決してローレンツ変換そのものに従って変換されているわけではありませんでした。このとき、三次元速度の時間微分を固有時による微分にして、さらに第4成分としてdt/dτを付け加えて“4元速度”とするとローレンツ変換に従うようになりました。また三次元力も第4成分として仕事率を付け加えて“4元力”にするとローレンツ変換に従うようになりました。
 ならば、6成分からなる電磁場(EとH)も、何らかの新規の見方に拠って、たとえば4×4=16成分“テンソル場”のようなものと見なすことによって、ローレンツ変換に従う様にできないのでしょうか?

 別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した応力テンソル場の配列は単なる数学的な工夫でしか無いのですが、3×3=9個の量に拠って各点の状況を定める場の一種でした。それと同じように、電磁場も4×4=16個の量に拠って各点の状況を定めるテンソル場と見なそうと言うのです。
 その為にはテンソル場の成分のローレンツ変換とは何を意味するのか見つけなければ成りません。つまりテンソル場の座標変換公式とはどの様な形になるのか見つける必要があります。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(2)ローレンツの力の法則

 前項で述べたテンソル場の座標変換公式を見つけるには、4元ベクトルである4元力4元速度電磁場(EとH)が関係している物理法則を利用すればよい。
 そのための格好の物理法則が“ローレンツの力の法則”

です。
 4元力の3次元表示は別項「4元速度、4元加速度と4元力」5.(3)で説明したように

でした。ここで、S’系はS系のx軸に沿って速度Vでx軸の正方向へ移動しているとしてます。またその移動速度を電荷の移動速度vと混同しないように大文字の“V”で現しています。上記成分表示式の分母の平方根記号内の座標系の移動速度ではなくて“電荷の移動速度”です。それは座標時を固有時に置き換える関係で出てきた速度なのですから。もちろん電荷移の動速度vは座標系の移動速度Vとは何の関係もありません。

 まず、この第4成分 t の表現を“ローレンツの力の法則”により電磁場(EとH)3次元速度vによる表現に置き換えると

と成ります(電磁場中で電荷に対して成される仕事が電場によるものしか現れないのは、磁場による力が電荷の移動方向に対してつねに垂直にしか働かないからです)。
 同様にして4元力のすべての成分を書き記すと

となります。最後の項は“4元速度”の表現にしてある。4元速度の3次元表示と4元表示の関係は別項「4元速度、4元加速度と4元力」2.(3)を復習されたし。

 これを行列表示すると

となります。ただし、最後の項は行列(4行4列)ベクトル(4行1列)の積の形で現してある。
 このように考えると、電場Eと磁場Hは一緒になって“4元テンソル場”を構成していることが解る。テンソル場には元々別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した以上の意味はありませんので、これをテンソル場と見なして何の不都合もありません。これは、電磁テンソル場の中で運動する荷電粒子には電磁テンソル場によってどの様な力が働くかを示しているベクトル方程式です。
 
 ここで、ベクトルの表現を(4行1列)ではなくて、(1行4列)で現すと

となります。この場合の電磁テンソル場は最初のテンソル場の“転置行列”に成ります。
 これは、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.でテンソルを導入したとき説明した事情と同じで、行列の積の定義による制約から生じることです。

補足説明1
 上記の電磁テンソル場は普通の教科書の表記と少し違いますが、それは4元ベクトルの第4成分の定義を普通の教科書と違って定義していることと、単位系として(MKSA有利化単位系ではなくて)非有利化gauss単位系を用いているからです。
 4元ベクトル量の定義として別稿「4元速度、4元加速度と4元力」6.(1)で説明した右側のものを用い、“ローレンツの力の法則”をMKSA有利化単位系での形に変更すると、普通の教科書の表記と一致することが確かめられます。

補足説明2
 上記結論のベクトル表記に於いて前者のベクトル表現を“反変ベクトル”、後者のベクトル表現を“共変ベクトル”と言う場合があります。これは単に縦に並べるか、横に並べるかの違いを意味するだけです。
 このことを添え字の付ける位置で区別すると便利です。つまり前者を の様に添え字を右上に記し、後者を の様に添え字を右下に記すのです。ここでの添え字は i=x,y,z,t を意味します。
 テンソルについても同様な考え方を適用します。前者のテンソルは“混合テンソル”と呼ばれその成分を  で表します。ここで行の添え字が上側に、列の添え字が下側に成っていることに注意して下さい。
 また後者のテンソルも“混合テンソル”ですが、その成分を  で表します。この場合は行の添え字が下側に、列の添え字が上側に成ります。
 このように添え字を表記をするのは、行列の積計算に於ける和算をsummation記号“Σ”を使って表すときに便利だからです。
 実際にΣ記号で前者の場合を表してみると

となります。
 同じく後者の場合を表してみると

となります。
 添え字の上付き・下付と掛け算する組合わせが旨く対応している事を読み取って下さい。このとき 両方に重なって現れている添え字について掛け算して和を取るのですが、和を取る添え字は必ず上付きと下付の対角の位置にある添え字の組になることに注意して下さい。

補足説明3
 ちょうど良い機会ですから、“テンソル”(tensor)の説明を岩波「理化学辞典」から引用しておきます。
 “テンソルとは複数の成分をもち,空間の座標変換に対していくつかのベクトルの成分の積に対応した変換をうけるものをいう。”
 例えば3階テンソル ij の変換は

となる。ここで l、m、n のように同じ添字が2度現われる場合は,その添字についての和をとる(縮約)ものと約束(これを“アインシュタインの規約”という)してΣを省略した。
 上の添字がM個,下の添字がN個なら

階テンソルとよばれる。

階テンソルはスカラー

階テンソルはそれぞれ反変ベクトル共変ベクトルであり、

のものは反変テンソル(contravariant tensor)共変テンソル(covariant tensor)ともよばれる。
また一般のテンソルは混合テンソル(mixed tensor)という。
 同種のテンソルの和はやはり同種のテンソルであり、またベクトルの内積を一般化した意味での縮約を上の添字と下の添字の対について行ない、例えば次のように別種のテンソルを作ることができる。

 ベクトルの内積をきめる計量テンソル gij

階テンソルの一種であるが、それと

の関係にある 逆行列 gij を導入すれば、テンソルの添字は、例えば

のように上下できる。
 また ij=Tji のとき対称テンソルij=-Tji のとき反対称テンソルという。
 
《これらの意味の詳細は4.(4)“テンソルとは何か”を参照して下さい。》

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(3)電磁4元テンソル場のローレンツ変換

 以下の議論では、ベクトルテンソル“成分添え字”の上下の位置も考慮して添え字を付けることにする。

.一般的議論

 前項の結論を用いれば電磁4元テンソル場のローレンツ変換とは何かが判明します。以下では前節二種類のテンソル表現の内で、前者の表現を採用します。一般的に論じるために前項の“電磁テンソル場”を  で表す事にする。つまり

とします。
 また、S系からS’系へのローレンツ変換の行列表現とS’系からS系へのローレンツ逆変換の行列表現を下記のように記す事にします。逆変換であることを表すために成分表示Lの右肩に-1を付けています

 今S’系に於けるローレンツの力の法則を行列表示する。“ローレンツの力の法則”は相対性原理を満たしており、S’系においても同様な方程式で表せるとします。すべての成分に ’ を付けることでS’系での値である事を表しています。
 これをローレンツ変換に拠って変形していく。




となります。
 上記の式変形で用いた[ローレンツ逆変換行列][ローレンツ変換行列]の積が[単位行列]に成ることは、実際に行列の乗算を行ってみれば簡単に確認できます(別稿3.(2)[補足説明3]など参照)。

 右辺の三つの4元テンソルの積は当然のことですがS系での電磁場4元テンソル場に一致しなければ成りません。つまり

と成らねばなりません。
 この両辺について、それぞれ左からローレンツ変換行列を、右からローレンツ逆変換行列を乗じる。
 そして左辺に関して

となることを考慮すると、左辺はS’系での電磁4元テンソル場に帰る。そのため以下の式が得られる。

 これが最終的に求めたかった電磁4元テンソル場ローレンツ変換を表す式です。つまり、“電磁4元テンソル”“ローレンツ変換”とは、“電磁4元テンソル”の右側からローレンツ逆変換行列を乗じ、左側からローレンツ変換行列を乗じる事です。

補足説明1
 上記の“ローレンツの力の法則”は相対性原理を満たしており、S’系においても同様な方程式で表せるとします。」の記述についてですが、“ローレンツの力の法則”が相対性原理を満たしているかどうかは先験的に解ることではありません。
 アインシュタインは電磁場のローレンツ変換共変の変換則を導くとき、Maxwell方程式がローレンツ変換不変であることを拠り所にして導きました。そのとき、Maxwell方程式が相対性原理を満たしているかどうかは先験的に保証されたものでは無かったことを思い出して下さい。
 それと同じで取りあえず相対性原理を満たしていると仮定して調べてみようと言うことです。

補足説明2
 ここの証明法から解るように、テンソルに対するこのローレンツ変換手順は、電磁テンソル場以外の任意の4元テンソルに対しても適用できます。つまり4元ベクトル4元ベクトル=Tで結びつける任意の4元テンソル場Tに対して言えます。

補足説明3
 証明過程の途中で出てきた

はローレンツ逆変換を示している。
 つまり、“電磁4元テンソル”“ローレンツ逆変換”とは、“電磁4元テンソル”の右側からローレンツ変換行列を乗じ、左側からローレンツ逆変換行列を乗じる事です。

補足説明4
 テンソル“ローレンツ変換”という言い方には注意が必要です。テンソルの成分をS系での値からS’系への値へ変換する“座標変換則”を意味しており、4元ベクトルの座標変換(いわゆるローレンツ変換)と同じ形をしているわけではありません。
 また、後の4.(4)6.で説明するように、もっと違う形の座標変換則で変換される4元テンソルもあります。ここで解ったのは“電磁4元テンソル”の変換則に付いてであることに注意して下さい。

 

.具体的確認

 実際にそうなっていることを具体的な成分表示で確認してみます。
 別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換」1.(1)に記したローレンツ変換式とその逆変換式により、右辺を計算すると




となる。
 これを、左辺のS’系に於ける電磁4元テンソル場の具体的表現である

と等置すると、アインシュタインか求めた変換式(別稿「アインシュタインの相対性理論(1905年)」3.(1)を参照)

が確かに成り立っていることが確認できる。
 ここで注意して欲しいのは、アインシュタインが導いた式のvは電荷の移動速度ではなくて“座標系の移動速度”だった事です。だからアインシュタインが導いた式と比較するときは、アインシュタインの電磁場変換式のvをVで置き換えて比較しなければ成りません。もちろんβ中のvについても同様です。
 “4元ベクトル”を導入すると、“物体(電荷)の移動速度”“座標系の移動速度”が錯綜して現れますがくれぐれも両者を混同しないで下さい。

補足説明1
 ここでは特殊ローレンツ変換の場合で確認しましたが、別稿で求めた一般ローレンツ変換を用いると、電磁テンソル場のより一般的なローレンツ変換公式が得られます。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(4)テンソルとは何か

.テンソルの定義

 テンソルとは或る座標点(時空点)に於けるベクトルを同じ座標点(時空点)に於ける別なベクトルに変換する関数の様なものでした。もう少し具体的に言うとそのテンソルとベクトルの内積を作って新たなベクトルB=TAを構成するようなもので、行列で表して行列の積の定義を利用すと旨く表せる様な量のことでした。もちろんテンソルTはベクトルAやベクトルBと同じ座標点(時空点)の各点で定義されているある種の場を表します。この当たりは別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)4.で説明した所です。
 そのときB=TAは一つの“ベクトル方程式”となり、一つの“物理的法則”を表します。ここで相対性理論により、あらゆる物理法則は座標変換(ローレンツ変換)に対してその形を変えない“相対性原理”を満たしているべきです。
 そのため、4.(3)1.で説明したようにテンソルは座標変換に対して

の様に変換されるべきものでした。
 ならば、逆にこのようなやり方の座標変換によって変換されるものをテンソルと定義しても良いでしょう4.(3)[補足説明3]で引用したテンソルの定義はまさにそのことを言っています。

 “テンソルとは複数の成分をもち,空間の座標変換に対していくつかのベクトルの成分の積に対応した変換をうけるものをいう。”
 例えば3階テンソル ij の変換は

となる。ここで l、m、n のように同じ添字が2度現われる場合は,その添字についての和をとる(縮約)ものと約束(これを“アインシュタインの規約”という)してΣを省略した。

 

.4元電磁テンソル場はテンソル定義を満たしている

 4元電磁テンソル場がその定義を満たしていることを確認します。ここでの説明は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)で説明した一般ローレンツ変換を用います。

 ベクトルは或る時空点に於ける粒子の4元速度ベクトルであり、それは以下のように座標変換(ローレンツ変換)された。

同様に、ベクトルは同じ時空点に於ける(先の4元速度を持つ)粒子に働く4元力ベクトルで、以下のように座標変換(ローレンツ変換)される。

 所で、時空座標そのものは次のように変換された。

そのため座標変換の行列要素を

と置くことが出来る。この表現を用いるとローレンツ変換の行列要素は

と置くことが出来る。
 またローレンツ逆変換の行列表現は

となる。

 これらの表現を用いると電磁テンソル場のローレンツ変換は

となる。
 文字表示を解りやすくするために(x,y,z,t)を(xx,xy,xz,xt)と、(x’,y’,z’,t’)を(x’x,x’y,x’z,x’t)と置くことにし、かつ行列要素の計算式を4.(2)[補足説明2]で説明したsummation記号“Σ”を使った表示にすると各行列要素は

となる。

 さらに、重なった添え字に付いて和を取る“Σ”記号を省略する“アインシュタインの規約”に従った表示にすると

となり、まさに

(“2階混合テンソル”)の定義を満たしていることが確認できる。

 

.その他のテンソル

 4.(2)[補足説明3]の定義に従って様々なテンソルが得られる。たとえば、本稿で議論している“4元力ベクトル”“4元速度ベクトル”の座標変換は

となるので、

である。
 また、これらを横に並べて表示したものの座標変換は

となるので

となる。

 それでは、3階のテンソルや4階のテンソルとはどの様なものであろうか。
 本稿で説明したベクトルA(1階テンソル)をベクトルB(1階テンソル)に変換するものが2階のテンソルTであったから、3階のテンソルとはベクトル(1階テンソル)を2階テンソルに変換したり、逆に2階テンソルをベクトル(1階テンソルに変換するようなものであろう。
 また4階のテンソルとは2階テンソルを2階テンソルに変換する様なものであろう。

 

.反変ベクトルと共変ベクトル

 前項や4.(2)[補足説明2]で、4元ベクトルを横に並べるとそのローレンツ変換はローレンツ変換行列の転置したものを乗じると見かけ上(成分のΣ表現が)共変ベクトルと同様な変換表現になると言いましたがそれは見かけ上同じような表現に成ると言うだけで本当は4.(4)1.で説明しましたように4元ベクトルが従う座標変換の違いによって決まります。

 普通の“ローレンツ変換行列”との積に従って変換されるものが、反変ベクトルでした。すなわち変換行列が

であるものです。

 ちなみに別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」で説明した“4元変位、4元速度、4元運動量、4元電流密度、4元加速度、4元力”はすべて“ローレンツ変換行列”との積に従って変換されましたから、すべて“反変ベクトル”です。

 それでは共変ベクトルの定義とは何なのでしょうか。その例はすでに出てきています。3.(1)[補足説明3]で出てきた4元座標微分演算

がそうです。

 4元座標の微分演算と同じ様に、座標変換に際して“ローレンツ逆変換の転置行列”との積に従って変換されるもの、すなわち

に従って変換されるものを共変ベクトルと定義します。

 もちろん共変ベクトルを(1行4列)で表示すると変換行列は右側からかけることになって見かけ上ローレンツ逆変換となりますが、それは見かけ上そうなると言うことであって本来の変換行列はローレンツ逆変換の転置行列です。
 この変換行列は(L-1と表されますが、これはローレンツ変換Lミンコフスキー時空計量テンソルGと以下の様な関係にあります。

 このことは別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明しました。それ以外にも重要な関係式をそこで説明しましたから適宜参照して下さい。
 今後は“反変ベクトル”を表すのに指標を右上に付け、“共変ベクトル”を表すのに指標を右下に付けることにします。そのように変換されることは(1行4列)の横表示であろうと、(4行1列)の縦表示であろうと変わりませんので、どちらの表現でも指標の位置は同じです。

 ただし、行列表示した方程式を座標変換するときに、(1行4列)の横表示した“反変ベクトル”の場合は右側からローレンツ変換行列の転置行列をかけることになり、一方 (1行4列)の横表示した“共変ベクトル”のときには右側からローレンツ逆変換逆行列の転置行列の転置行列(つまりローレンツ逆変換行列)をかける事になります。
 このあたりはすでに説明した幾つかの例(3.(1)[補足説明3]3.(2)[補足説明3])で行っていますのでそれらを復習して下さい。

補足説明1
 ベクトルに関して説明した反変・共変の定義は2階テンソルに関してもそのまま成り立ちます。4.(3)で導入した電磁4元テンソル場は4.(4)2.で説明したように2階混合テンソルであると言いました。実際、電磁4元テンソル場の座標変換則は

で表されましたが、左からローレン変換行列を右側からローレンツ逆変換行列をかけています。このとき右側からかけた為に見かけ上“ローレンツ逆変換行列の転置行列”“転置行列”、即ちただの“ローレンツ逆変換行列”をかけることになったのです。
 その当たりは、行列要素の計算式を4.(2)[補足説明2]で説明したsummation記号“Σ”を使った表示で見ると、ちゃんと混合テンソルの変換に成っていることが解ります。

補足説明2
 f(x,y,z,t)=f(x’,y’,z’,t’)をS系とS’系の同一点で定義されているスカラー場とすると、それを座標で偏微分したベクトル(∂f/∂x,∂f/y,∂f/∂z,∂f/∂t)つまりスカラー場 f の4元勾配ベクトルは座標変換に於いて“ローレンツ逆変換行列の転置行列”で変換されます。このことは偏微分の座標変換に伴う表現に帰ってみれば明らかです。

だから、“スカラー場 f の4元勾配ベクトル”“共変ベクトル”の代表例です。

 

.反変と共変の変換と計量テンソル

 別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明した計量テンソルGとローレンツ変換テンソルLの性質を利用すると反変ベクトルを共変ベクトルに変換するには元の反変ベクトルに計量テンソルGを乗じておけば良いことが解る。
 実際、反変4元ベクトルで表し、それをローレンツ変換したものをA’で表して、その変換式の両辺にGをかけると

となる。ただしローレンツ変換行列を表す。
 これは“反変4元ベクトル”A左側から計量テンソルGをかけたもの GA“ローレンツ逆変換の転置行列”によって新たな座標での4元ベクトルに変換されることを意味している。つまり GA は “共変4元ベクトル” となる。
 
(1行4列表示)した反変4元ベクトルの場合は右側から計量テンソルG を乗をじたものが共変ベクトルになります。なぜなら(1行4列表示)した反変4元ベトクルのローレツン変換は右から を乗じることになるからです。実際

となりますから、(1行4列表示)した AG が共変4元ベクトルの変換式に従っていることが解ります。

 全く同様にして、共変4元ベクトルで表し、それにローレンツ逆変換の転置行列で新しい座標系での4元ベクトルB’に変換したとする。そのとき

となる。
 これは“共変4元ベクトルB”左側から計量テンソルの逆行列G-1をかけたもの -1“ローレンツ変換”によって新たな座標での4元ベクトルに変換されることを意味している。つまり -1 は “反変4元ベクトル” となる。
 
(1行4列表示)した共変4元ベクトルの場合は右側から計量テンソルの逆行列-1 を乗をじたものが反変ベクトルになります。なぜなら(1行4列表示)した共変4元ベトクルのローレツン変換は右から (L-1 の転置行列 -1 を乗じることになるからです。実際

となりますから、(1行4列表示)した BG-1 が反変4元ベクトルの変換式に従っていることが解ります。

 以上をまとめると、反変4元ベクトルに“計量テンソル”を乗じると共変4元ベクトルになり、共変4元ベクトルに“計量テンソルの逆行列テンソル”を乗じると反変4元ベクトルになる事が解る。

補足説明1
 別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明1]で説明したミンコフスキー4次元時空の4元座標ベクトルローレンツ変換に従って新しい座標系の値に変換されましたから、これは反変ベクトルです。
 そのとき、[4次元座標ベクトル][同じ4次元座標ベクトルに計量テンソルをかけたもの]の積は[反変ベクトル][共変ベクトル]の内積となります。

そのとき、これは座標変換で変わることのないスカラーと成るのでした。そのことは簡単に証明できました。

 二つの4元ベクトルがそれぞれにローレンツ変換に関わる性質と整合性を保つために上記の様に右側からかける4元ベクトルを共変ベクトルにしておかねば成らなかった。内積の結果得られるスカラーをΣを使った表現、さらにアインシュタインの縮約表現にすると

となり、上下が互いに対角の位置にある添え字 についての和を取ることになっている。
 
 3.(2)[補足説明3]でダランベール演算子を含んだ電磁ポテンシャルの非同次波動方程式の行列表現に於いて微分演算子の内積の間に計量テンソルの逆行列G-1を挟んでおかねば成らなかったのも同じ理由です。
 また、そのときの電磁ポテンシャル(Ax,Ay,Az,φ/c)と4元電荷密度(jx,jy,jz,ρ)は添え字を下に付けていますが、反変4元ベクトルですから、本当は添え字を上に付けるべきだったことに注意して下さい。

 

.混合テンソル・反変テンソル・共変テンソル

 2階テンソルに付いても同様に反変、共変、混合テンソルが定義出来ます。
 まず混合テンソルですが、4.(4)4.[補足説明1]で説明した様に、4.(2)で導入した“電磁4元テンソル場”がその例です。
 それ以外に混合テンソルの例として、反変ベクトルA=(Ax,Ay,Az,At)と共変ベクトルB=(Bx,By,Bz,Bt)の“直積”があります。実際

となりますが、これは確かに、2階混合テンソルの変換規則に従って座標変換されます。

 
 このとき反変ベクトルA=(Ax,Ay,Az,At)と共変ベクトルB=(Bx,By,Bz,Bt)のかける順番を入れ替えた“直積”もあります。この場合

となります。これも確かに、2階混合テンソルです。しかし、 の添え字の上下が先ほどの の上下と入れ替わっていることに注意して下さい。添え字の位置の上下入れ替わりは重要です。座標変換の変換則の形が異なるからです。実際、この混合テンソルの座標変換規則は

となります。
 同じ2階混合テンソルと言っても前者の場合と座標変換規則が異なります。両者の違いは行列要素に付けた添え字の上下の位置関係が逆転していることで読み取れます。

 同様に考えれば、反変ベクトルA=(Ax,Ay,Az,At)と反変ベクトルC=(Cx,Cy,Cz,Ct)の“直積”2階反変テンソルとなります。

これの座標変換則は

となります。
 この場合添え字 が両方とも右上に付けられていることに注意して下さい。添え字の位置関係とテンソルの座標変換則が対応しています。

補足説明1
 別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明したように 計量テンソルの逆行列G-1

の性質を満たします。
 これは 計量テンソルの逆行列G-1 は座標変換に対して不変である事を示しているとどうじに、-12階反変テンソル であることを示しています。
 だからこそ。4.(4)5.で述べた様に任意の共変ベクトルにG-1をかけると、[G-1の上付き添え字][G-1をかけられたテンソルの下付添え字]が縮約されて[上付き添え字]の反変ベクトルに成ったのです。 

 さらに、、共変ベクトルB=(Bx,By,Bz,Bt)と共変ベクトルD=(Dx,Dy,Dz,Dt)の“直積”2階共変テンソルとなります。

これの座標変換則は

となります。
 この場合添え字 が両方とも右下に付けられていることに注意して下さい。添え字の位置関係とテンソルの座標変換則が対応しています。

補足説明2
  別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明したように 計量テンソル行列G

の性質を満たします。
 これは 計量テンソル行列G は座標変換に対して不変である事を示しているとどうじに、2階共変テンソル であることを示しています。
 だからこそ。4.(4)5.で述べた様に任意の反変ベクトルに G をかけると、[Gの下付き添え字][Gをかけられたテンソルの上付添え字]が縮約されて[下付き添え字]の共変ベクトルに成ったのです。 

 

.2階テンソルの反変←→共変の変換

 テンソルに “計量テンソル” G“計量テンソルの逆行列テンソル” G-1 を乗じることで、テンソルの添え字を下げたり上げたりできます。そのとき、左側から乗じると左側の添え字が、右側から乗じると右側の添え字が上げ下げされます。

 添え字の上げ下げに付いて幾つか例を挙げて説明します。証明には別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(3)[補足説明3]で説明した関係式を用いればよい。

[例1]
 2階混合テンソルT右側から -1 を乗じた TG-12階反変テンソルTij となることは以下のようにして解ります。
 まず 2階混合テンソルT

で新しい座標系へ変換されます。
 このときTG-1 が新しい座標へ変換されるときの変換則は

となります。これは TG-12階反変テンソルTij の変換則に従って変換されていることを示している。

[例2]
 2階反変テンソルVij右側から を乗じた VG2階反変テンソルV となることは以下のようにして解ります。
 まず2階反変テンソルVij

で新しい座標系へ変換されます。
 このとき、VG が新しい座標へ変換されるときの変換則は

となります。これは VG2階混合テンソルV の変換則に従って変換されていることを示している。

[例3]
 2階共変テンソルWij左側から -1 を乗じた -12階反変テンソルW となることは以下のようにして解ります。
 まず2階共変テンソルWij

で新しい座標系へ変換されます。
 このとき、-1 が新しい座標へ変換されるときの変換則は

となります。これは -12階反変テンソルW の変換則に従って変換されていることを示している。

[例4]
 2階共変テンソルWij右側から -1 を乗じた WG-12階混合テンソルW となることは以下のようにして解ります。
 まず2階共変テンソルWij

で新しい座標系へ変換されます。
 このとき、WG-1 が新しい座標へ変換されるときの変換則は

となります。これは WG-12階混合テンソルW の変換則に従って変換されていることを示している。

他の組み合わせについても同様に証明できます。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

5.Maxwell方程式

(1)Maxwell方程式の4元テンソル表現

 2.(3)1.で説明したMaxwell方程式を以下の様に並べてみると

及び

の二つのグループに分けられる。このうち前者の4つの方程式は電磁場テンソルと旨く対応しているので、直ちに以下の行列形式の方程式であることがわかる。
 このとき、4元電流密度ベクトルの行ベクトル表示の右側にもミンコフスキー時空計量テンソル を乗じておかねば成りません。このように計量テンソルを用いて反変と共変の性質を変換しておかないと方程式の係数も旨く合いませんし、ローレンツ変換不変の方程式表現に成りません。

これがローレンツ変換不変の方程式であることは直ちに解ります。

補足説明1
 上記では右辺の右側から計量テンソルをかけた形の方程式にしたが、この両辺の右側から計量テンソルの逆行列-1 を乗じた下記の形でも良い。このようにすると電磁場4元テンソルは2階反変テンソルになりますが、方程式の係数も旨く変換されてつじつまが合っていることに注意して下さい。普通の教科書では、この形の記述が多い。

この形のとき、これがローレンツ変換不変式であることの確認は以下のようになる。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

6.電磁場の[応力・運動量・エネルギーテンソル]

)導入

 別稿「電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)[補足説明3]《電磁場のエネルギー収支》を表す“スカラー方程式”を説明した。また、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.[補足説明1]《電磁場の運動量の収支》を表す“ベクトル方程式”を説明した。そして、互いの関係はそれぞれの[補足説明]の中で注意しました。
 これらの方程式の構成要素をよくよく眺めてみて、さらに本稿3.(2)で説明した非同次波動方程式(ベクトル方程式+スカラー方程式)の4元化や、4.(2)で説明した“ローレンツ力の法則”の4元化のプロセスを振り返れば、上記の“スカラー方程式”“ベクトル方程式”は4元的に統合されて、4元方程式となり、ローレンツ変換不変方程式を構成するのではないかと予想される。
 実際、そうであることを以下で確認する。そのためにまず、上記方程式を本稿で用いている非有利化Gauss単位系で導き直しておきます。そのとき磁場としてではなくてを用います。このようにするのはすでに述べたようにランダウ・リフシュツ著「場の古典論」との対応を考慮してのことです。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(2)電磁場エネルギー収支のスカラー方程式

 別稿「電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)の結論を非有利化Gauss単位系で導き直す。
 Mazwell方程式の(2)と(4)式を用いる。

ここで、・(4’)式+・(2’)式の辺々を足し算する。

成分表示にすると

となります。
 さらに電流密度 をρで置き換える表示も可能です。もちろん =(vx,vy,vz)は電流密度要素の移動速度ベクトルです。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(3)電磁波運動量収支のベクトル方程式

 別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.の説明をGauss単位系で議論し直すと、Maxwell応力テンソルは

となります。
 時間的な変化をする電磁場内の任意の体積領域Vの表面に働くMaxwellの応力の表面積分を考えます。つまり

のそれぞれのベクトル成分の表面力の和を計算する。
 Maxwellの応力テンソクの各行をそれぞれ一つのベクトルと見なしたとき、そのベクトルと領域表面の面要素dSの内積を領域表面全体にわたって表面積分します。そのときベクトル解析におけるガウスの定理により体積積分に直せる。




微少体積要素dVに対する微分型の方程式にすると

となる。
 さらに電流密度 をρで置き換える表示も可能です。もちろん =(vx,vy,vz)は電流密度要素の移動速度ベクトルです。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

(4)方程式の統合と4元化

 前節と前々節の結論を一緒に並べてみると

となる。
 この方程式の意味は別稿「電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル」2.(3)[補足説明3]《電磁場のエネルギー収支》を表す“スカラー方程式”と、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(3)5.[補足説明1]《電磁場の運動量の収支》を表す“ベクトル方程式”の説明で尽くされています。空間次元に付いてはベクトル方程式として、時間次元に付いてはスカラー方程式として別個に解釈すればよい。
 これを行列表示の方程式にすると

となります。
 ここで元の応力テンソルの表現に帰り

であることに注意すると

となる。このとき“Maxwellの応力テンソル”はもともと対称テンソル t=T だったことに注意して下さい。

 今までの議論から、4元Div演算(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z,∂/∂t)共変ベクトル4元電流密度(jx,jy,jz,ρ)反変ベクトル、右辺の[電磁4元テンソル]2階混合テンソルであることは解っています。
 だからローレンツ変換不変の方程式であるためには、右辺にミンコフスキー時空計量テンソル G を挟んでおかねばなりません。このの働きは4元電流密度ベクトルを共変ベクトルに変換すると考えても良いし、あるいは[電磁4元テンソル]を2階共変テンソルにすると考えても良い。いずれにしても両方を掛け算して縮約したとき右辺は共変ベクトルに成ります。
 また、右辺の様子から左辺の[応力・運動量・エネルギーテンソル]2階混合テンソルでなければならないことが解ります。なぜなら、共変ベクトルである、4元Div演算[応力・運動量・エネルギーテンソル]を掛け算して縮約した結果が共変ベクトルに成らねばならないからです。この事実を用いると、必然的に[応力・運動量・エネルギーテンソル]の構成要素のローレンツ変換共変の座標変換公式が定まります。

 この方程式がローレンツ変換不変であることは簡単に証明できます。

補足説明1
 4.(4)7.あるいは5.(1)[補足説明1]で説明したように上記の両辺の右側からミンコフスキー時空計量テンソルの逆行列 G-1 を乗じておくと、両辺のそれぞれのテンソルは2階反変テンソルになります。

 このようにしても、方程式のローレンツ変換不変性は変わりません。その証明は簡単です。普通の教科書ではこの形の記述が多い。

補足説明2
 ここで導いた方程式が正しいかどうかが、何かもっと別の根本的な原理から証明できるわけではありません。
 ここで統合したベクトル方程式とスカラー方程式は、もともとMazwellの電磁気学で個別に正しいだろうと思われていた式です。それらを統合したとき、その右辺の形を見ると4.(2)で導いた4元的なローレンツの力の法則の運動方程式に出てきた電磁場のテンソルが現れています。そして、上記で説明した様に、この運動方程式がローレンツ変換不変であることを利用して応力・運動量・エネルギーテンソルに対するこの方程式はローレンツ変換に対して不変な形をしているはずだと考えたわけです。
 それだからこそ、これは[応力・運動量・エネルギーテンソル]という物理量に対して成り立つ正しい方程式だと予想されると言うことです。つまり、この方程式がローレンツ変換に対して不変であり相対性原理を満たしていれば電磁場のローレンツ変換式を始めとして、Maxwell方程式を含めたすべての電磁気学理論と矛盾なく共存することが確かめられるという事です。
 物理法則とは、現実の現象を旨く説明し且つその法則から導かれるすべての事柄が無矛盾で、その無矛盾性が未来永劫に渡って破綻することが無いだろうと予想されることでしか、その正当性を証明することはできないようなものです。
 ところで、この“応力・運動量・エネルギーテンソル”は一般相対性理論で中心的な役割を担います。

 

 “反変”“共変”の違いや、“計量テンソル”というものを考えなければならなくなったのは、“ミンコフスキー時空”の特質によります。
 自然現象を記述する方程式はベクトル微分演算、ベクトル量、テンソル量の積の形の方程式(スカラー方程式、ベクトル方程式、テンソル方程式)で表現されます。そして“特殊相対性原理”により、それらの方程式が、座標変換に対して不変な形を保たねばなりません
 そのとき方程式を構成するベクトル微分演算、ベクトル量、テンソル量の座標変換が“ローレン変換”で変換されるものと、“ローレンツ逆変換の転置行列”で変換されるものがあることが解りました。その事を方程式の中で旨く表し、かつ座標変換に対して方程式が不変の形を保つためには、ミンコフスキー時空の特質を表す“計量テンソル”というものも旨く利用して方程式を表さねば成らない事が解ったのです。
 
 このようなことは、ミンコフスキーの着想に従ってあらゆる物理量をミンコフスキー時空の特質にマッチした4元的な量として捕らえ直すことで初めて解ってきたことであり可能になったことです。
 物理方程式をこのような形で捕らえ直すことは、ミンコフスキー時空よりもさらに一般的なリーマン時空を取り扱わねばならない一般相対性理論に向かうには避けて通れない道です。
 アインシュタインは最初ミンコフスキーの4元化のプロセスを「余分な学識」とみなして評価していなかったのですが、1912年以降この4元化のプロセスは避けて通れない過程であることを理解して、特殊から一般相対論への移行を大いに容易にした点でミンコフスキーの業績を高く評価する事になります。
 
 それにしても、これらの4元化のプロセスには電磁ポテンシャル、電磁場テンソルの4元性が深く関わっています。方程式の4元化の見通しを得るには、最初に述べた、Maxwellが“Treatiseの§615”に書き残した深謀遠慮が必要だったのではないでしょうか。

 

HOME  Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献

7.参考文献

  この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝!

  1. 広重徹著「物理学史 Ⅱ」倍風館(1968年刊)§10-6.Maxwell§10-8.電磁場とエーテルを引用
  2. 木幡重雄著「電磁気の単位はこうして作られた」工学社(2003年刊)
  3. Paul J. Nahin著「オリヴァー・ヘヴィサイド」海鳴る社(2012年刊)p206~209、p234~236を引用
  4. Nancy Forbes、Basil Mahon著(米沢冨美子、米沢恵美訳)「物理学を変えた二人の男(ファラデー、マクスウェル、場の発見)」岩波書店(2016年刊)
    とても面白い本です。このなかのp240~245を引用
  5. Edmund Whittaker著,“A history of the theories of aether & electricity (Two Volumes Bound As One)”, Dover, Ⅰ:The Classical Theories(1910年刊)、Ⅱ:The Modern Theories(1953年刊) 下記訳本はⅠの古典論の部分のみです。また、残念な事に訳本では引用文献のリストが省略されています。原本リストの参照が必要です。
    Edmund T. Whittaker 著「エーテルと電気の歴史(上・下巻)」講談社( 1976年刊)この中の第8章“マクスウェル”p273~315を別稿で引用しています。
  6. 太田浩一著「マクスウェル理論の基礎(相対論と電磁気学)」東京大学出版会(2002年刊)§5.1
  7. 太田浩一著「マクスウェルの渦アインシュタインの時計(現代物理学の源流)」東京大学出版会(2005年刊)§4.1、§4.2
    かなりマニアックに詳しく説明されています。引用文献のリストは貴重です。
  8. J.C.Maxwell著, “Scientific Papers Vol.Ⅰ”, “Scientific Papers Vol.Ⅱ”
    マクスウェルの科学論文集です。netから無料ダウンロードできます。
  9. 石井俊全著「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版(2017年刊)第1章、第2章、第4章
  10. ランダウ、リフシッツ著「場の古典論(増訂新版)」東京図書(1964年刊) Gauss単位系
  11. Ludwig Valentin Lorenz, “U¨ber die Intensita¨t der Schwingungen des Lichts mit den elektrischen Stro¨men”, Annalen der Physik und Chemie, 131, 243–263, 1867年英訳版はこちら
  12. 平川浩正著「相対論(第2版)」共立出版社(1986年)§2-1、§2-3、§2-5
  13. 吉田伸夫著「完全独習相対性理論」講談社(2016年刊)p41~47
HOME  1.Maxwell  2.電磁Potential(1)導入(2)gauge条件(3)gauge例  3.相対論(1)4元量(2)不変性  4.tensor(1)T場(2)導入(3)変換(4)tensorとは  5.Max方式  6.応力(1)導入(2)スカラー(3)ベクトル(4)テンソル  7.参考文献