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対称テンソルと反対称テンソルの独立成分の数

 物理学に出てくるテンソルは対称性を持つことが多い。それらの対称性はテンソル成分の内で独立なものの数を制約する。本稿では[対称性][独立成分の数]との関係を考察する(対称テンソル反対称テンソルについては別稿「微分幾何学」3(2)7.や別稿「ミンコフスキーの4次元時空」3(3)2.などをご覧下さい)。
 その祭、一般相対性理論で重要な4次元4階反変テンソルκλμνを例として取り上げて考えるが、状況により3階テンソルや2階テンソル、あるいは3次元テンソルや2次元テンソルも考える。
 またここでは反変テンソルで考えるが、混合テンソルや共変テンソルの場合も同様に考える事ができます。

1.完全対称テンソルの独立成分の数

 テンソルκλμνにおいて、任意の二つの添字を交換しても成分値が等しいとき、つまり

が成り立つとき、そのテンソルを“完全対称テンソル”という。この場合の独立成分の数を階数ごとに調べる。

)4次元4階完全対称テンソル Tκλμν

 独立成分の数は下図のピンク着色部分の個数と一致する。つまり添字の値が左から κ≦λ≦μ≦ν に成るように左上隅から順に選んでいけば良い。そうしなければならないのは完全対称テンソルの対称性を考えれば明らかです。このことのもう少し数学的な説明は文献1.を参照されたし。

結局、独立な成分の数は35個です。独立成分の選び方は、上図のピンク着色セルの配列パターンを検討されればすぐに解ります。

 

)4次元3階完全対称テンソル Tλμν

 この場合も同様に、添字の値が左から λ≦μ≦ν に成るように左上隅から順に選んでいけば良い。

独立な成分の数は20個です。独立成分の選び方は、(1)と同様です。

 

)4次元2階対称テンソル Tμν

 この場合も同様に添字の値が左から μ≦ν に成るように左上隅から順に選んでいけば良い。

独立な成分の数は10個です。
 2階テンソルの場合、この数は、 [テンソルの次元]×([テンソルの次元]+1)÷2 で簡単に計算できます。

補足説明
 この場合の重要な例が相対性理論で必須の“エネルキー・運動量・応力テンソル”です。ただし、混合テンソル表現にすると対称テンソルでは無くなります。もちろん一般相対性理論の“基本計量共変テンソル”gij“基本計量反変テンソル”gijも対称テンソルの重要な例です。

 

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2.完全反対称テンソルの独立成分の数

 テンソルκλμνにおいて、任意の二つの添字を交換すると成分値の符号が逆になるとき、つまり

が成り立つとき、そのテンソルを“完全反対称テンソル”という。この場合の独立成分の数を階数ごとに調べる。

)4次元4階完全反対称テンソル Tκλμν

 反対称テンソルでは異なる添字に同一な数字が現れる場合、そのテンソル成分は0となります。その様にならないと反対称の条件を満たせないからです。
 そのため完全反対称成分で独立な成分の個数は1.(1)で数えた完全対称テンソルの独立な成分の内で異なる添字に同じものが含まれている部分を取り除けば良い。それは下図において黄緑色着色成分(34個)です。

よって、独立な成分の数は添字の数字がすべて異なるピンク着色部分1個です。
 これは4個の異なる数字から同じものを選ぶこと無く4個を選ぶ組み合わせの数 44=4×3×2×1÷(4!)=1と一致します。

[補足説明]
 “4階の完全反対称相対テンソル”の重要な例として“Levi-Civitaのテンソル密度”εkjih=εkjih がある。これは k,j,i,h が 1234(0123とする場合もある) から偶置換で得られる場合は+1、奇置換で得られる場合は−1なる成分を持つ4階テンソルのことです。4階テンソルの4×4×4×4=265個の成分の中で 0 でないものは 4!=4×3×2×1=24個 だけですが、そのすべてが1か−1です。だから独立なものは1つだけで、その独立な成分の値が1(あるいは−1)であると言って良い。
 このテンソルの詳細については別稿「ミンコフスキーの4次元世界」3.(5)[例2]を参照。このテンソルは、「ミンコフスキーの4次元世界」3.(8)で説明する様に、あるテンソルに対して双対なテンソルを作るときなどに用いられます。

 

)4次元3階完全反対称テンソル Tλμν

 この場合も2.(1)と同様に考えて、1.(2)で数えた完全対称テンソルの独立な成分の内で異なる添字に同じものが含まれている部分を取り除いたものが、完全反対称成分で独立な成分の個数となる。それは下図において黄緑色着色成分(16個)を除いたピンク着色部分です。

よって、独立な成分の数は添字の数字がすべて異なる4個です。
 これは4個の異なる数字から同じものを選ぶこと無く3個を選ぶ組み合わせの数 43=4×3×2÷(3!)=4 と一致します。

補足説明
 この場合の重要な例がMaxwell方程式(非有利化Gauss単位系表現)の

です。これらの方程式は一緒になって(0,3)階共変テンソル方程式を構成します。そしてこの方程式系の64個の成分は完全反対称性を満たします。
 このことに付いては別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」5.(3)を、あるいは別稿「ミンコフスキーの4次元世界」4.(2)2.をご覧下さい。

 

)4次元2階反対称テンソル Tμν

 この場合も2.(1)と同様に考えて、1.(3)で数えた完全対称テンソルの独立な成分の内で異なる添字に同じものが含まれている部分を取り除いたものが、完全反対称成分で独立な成分の個数となる。それは下図において黄緑色着色成分(4個)を除いたピンク着色部分です。

よって、独立な成分の数は添字の数字がすべて異なる6個です。
 これは4個の異なる数字から同じものを選ぶこと無く2個を選ぶ組み合わせの数 42=4×3÷(2!)=6 と一致します。
 また、2階テンソルの場合、この数は、 [テンソルの次元]×([テンソルの次元]−1)÷2 で簡単に計算できます。

補足説明
 この場合の重要な例が相対性理論で重要な“電磁場テンソル”です。ただし、定義の仕方により、そうならない場合もあります。また混合テンソルにすると対称でも反対称でもなくなります。

 

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3.リーマン・クリストッフェルの曲率テンソル Rκλμν

 “曲率テンソル”κλμν は、完全対称でも完全反対称でもありませんが、以下の性質を持ちます。

 (1)は最初の二つの添字κとλの入れ替えに対して反対称であることを、(2)は後の二つの添字μとνの入れ替えに対して反対称であることを示している。また、(3)は最初の二つの添字κλと後の二つの添字μνをセットで入れ替えた場合には対称である事を示してる。さらに(4)は最初の添字κを固定して、残り3つの添字λμνをサイクリックに入れ替えた3成分要素の和は 0 となることを示している。
 これらの性質については別稿「微分幾何学」3.(5)2.や、「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(6)1.をご覧下さい。ただし曲率テンソルの定義の違いには注意が必要です。
 いずれにしても、これらの対称性・反対称性のために独立な成分の数はかなり少なくなります。独立成分数の計算法は別稿4章§18の[補足説明]で説明していますので、そこを参照しながらお読み下さい。

 

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(1)4次元4階曲率テンソル Rκλμν

 まず(1)の最初の二つの添字の入れ替えに対する反対称性からκ=λの成分はすべて0とならねばならないので独立なものから除かれます。また(2)の後二つの添字の入れ替えに対する反対称性からμ=νの成分もすべて 0 となります。これらの 0 となる成分が下図の黄土色着色部分(112個)です。

 さらに、(3)κλ添字とμν添字のセットでの入れ替えに対する対称性から下図の黄色着色部分が独立なものから取り除かれます。結局、条件(1)(2)(3)から独立な成分として残るのは下図の白抜きセル36個のみです。

 上記白抜きセルの中でも条件(3)により独立でないものもあります。それを洗い出すために白抜きセルの左上隅から順番に調べていきます。そのとき独立なものはピンク色で着色していき、前に出たピンク着色セルに対して独立でないものが現れたときには黄緑色で着色していきます。黄緑色セルとなるメカニズムも下図の黄緑色セルパターンの現れ方を検討されればすぐに解ります。
 いずれにしても、結局下図のピンク着色部分21個だけが独立なものとして残ります。

 上図ピンク着色セルの中で、下図の赤線□で囲った3つが4種の指数の数字がすべて異なる成分です。つまり1234、R1324、R1423の3成分です。所で1324(2)の性質により1342と見なしても良い。
 このとき、性質(4)により −R1342=R1423+R1234 と表せますから、赤線□で囲った3つ内で独立なものは二つだけです。

 結局、独立な成分の数は上図のピンク着色部分から赤線□で囲った3つ内のどれか一つを取り除いた20個となります。

 

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(2)3次元4階曲率テンソル Rκλμν

3.(1)と同様に考えると条件(1)、(2)より下図の黄土色着色成分がすべて 0 となり独立なものから取り除かれます。

 さらに条件(3)を適用すると黄色着色部分が独立なものから外れて白抜きセルのみが残ります。

 上記白抜きセルの中でも条件(3)により独立でないものもあります。それを洗い出すために白抜きセルの左上隅から順番に調べていきます。そのとき独立なものはピンク色で着色していき、前出のピンク着色セルに対して独立でないものが出てきたときには黄緑色で着色していきます。

 結局、上図のピンク着色部分6個だけが独立なものとして残ります。

 

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(3)2次元4階曲率テンソル Rκλμν

 2次元の場合も3.(1)と同様な手順で進めれば良い。まず条件(1)、(2)より

 条件(3)より

 結局、独立なものは下図のはピンク着色部分1個だけになります。

 このようになることは別稿「微分幾何学」2.(9)2.でも説明していますので参照して下さい。

 

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4.補足事項

(1)対称性、反対称性は座標変換に対して不変

 対称性や反対称性は座標変換に対して不変的な性質です。
 例えば2階反変反対称テンソル Tij反対称性は座標変換しても保たれることが以下のようにして証明できる。

 対称性に対しても同様です。
 任意階数の共変・反変・混合テンソルでも、対称性・反対称性が座標変換に対して不変である事が同様にして証明できます。

 

(2)対称テンソル、反対称テンソルの構成法

 このことに関しては別稿「微分幾何学」3.(2)7.[例題1][問題2]を参照して下さい。

 

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参考文献

 この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝!

  1. 「Scientific Doggie 数理の楽しみ」http://www.wannyan.net/scidog/riemann.htmの中から
     リーマン幾何学 第2章 http://www.wannyan.net/scidog/riemann/ch02.pd [1.(1)で参照]
               第5章 http://www.wannyan.net/scidog/riemann/ch05.pdf [3.(1)で参照]
  2. S.Weinberg,“Gravitation and Cosmology”,(1972年刊)
     この中の§7“Discription of Curvature in N Dimensions” [3.(1)で参照]
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