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3.曲面上の幾何学

 3次元ユークリッド空間の曲面の上に導入された座標にたいして座標変換を考え、それによって幾何学的な量がどのように変換されていくかを問題にするテンソル解析の解説をします。
 そして、テンソルの性質を保持する演算、“共変微分”を定義し、それと曲率テンソルおよび曲面上の平行性に関するレヴィ=チヴィタの平行性との関係を明らかにする。
 相対的最短線としての測地線を考察し、最期に2次元ユークリッド平面における“定理三角形の内角の和は2直角である”の曲面上への拡張である大域的微分幾何学の重要な定理“ガウス・ボネの定理”を証明する。

(1)座標変換
(2)ベクトルとテンソル
(3)共変微分
(4)勾配・回転・発散
(5)曲率テンソル
(6)測地線
(7)測地座標
(8)ベクトルの平行移動
(9)曲線の展開
(10)等長変換
(11)ガウス・ボネの定理

(1)座標変換

(2)ベクトルとテンソル

(3)共変微分

(4)勾配・回転・発散

(5)曲率テンソル

(6)測地線

(7)測地座標

(8)ベクトルの平行移動

(9)曲線の展開

(10)等長変換

(11)ガウス・ボネの定理

END(参考文献)

この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝!

  1. 前田儀郎著「幾何学X・Y(微分幾何学」玉川大学通信教育部(1969年初版刊)3章“曲面上の幾何学”