微分幾何学３（曲面幾何学）

ＨＯＭＥ　　１．曲線論　　２．曲面論　　３．曲面幾何学（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（10）（11）END［フレーム版］　４．リーマン幾何学　

３．曲面上の幾何学

　ここでは、３次元ユークリッド空間の曲面（２次元リーマン空間）の上に導入された座標に対して座標変換を考え、それによって幾何学的な量がどのように変換されていくかを問題にするテンソル解析の解説をします［３．（２）２．［補足説明３］参照］。
　そして、テンソルの性質を保持する演算、“共変微分”を定義し、それと曲率テンソルおよび曲面上の平行性に関するレヴィ=チヴィタの平行性との関係を明らかにする。
　相対的最短線としての測地線を考察し、最後に２次元ユークリッド平面における定理“三角形の内角の和は２直角である”の曲面上への拡張である大域的微分幾何学の重要な定理“ガウス・ボネの定理”を証明する。

ＨＯＭＥ　　１．曲線論　　２．曲面論　　３．曲面幾何学（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（10）（11）END　　４．リーマン幾何学

（１）座標変換

１．座標変換

　一般に曲面をたがいに独立な２つの径数ｕ¹、ｕ²によって、ｘ＝ｘ（ｕ¹，ｕ²）と表した。そして１組の（ｕ¹，ｕ²）に対応して曲面上の１点が定まり、逆の対応も考えられるから、この１組の（ｕ¹，ｕ²）を曲面上の点と見て、“曲線座標”という。
　ｕ¹，ｕ²を他の径数

の一価関数としてそれぞれ

と表して、逆に

と解ける必要十分条件

のもとで新たに曲面の曲線座標として径数

を用いる。
　変換（3-1）式の関数行列式と（3-2）式に関する関数行列式の間には

なる関係があるから、それらの要素の間には

なる関係がある。
　このような係数の変換すなわち座標変換によって幾何学的な量がどのように変換されていくかを考える。

［補足説明］
　ここは別に難しい事を言っているわけではありません。（3-1）式は微小変分に関しては一般に

と書け、（3-2）式は

と書けます。
　（3-3)式はこれらが互いに逆変換の関係になって逆に解けるために必要な条件です。Cramerの公式参照。
　そのとき、(3-4)式は変換行列が互いに逆行列の関係になっていることを示しているにすぎません。(3-5)式は(3-4)式の行列式の積の成分表示を表しているだけです。（高木貞治著「解析概論」§83や、適当な線形代数教科書、あるいは代数・幾何教科書を復習されたし。）
　
　ここで注意して欲しいことは、上記の座標変換係数は(ｕ¹，ｕ²）の場所ごとに変化しても良いことです。その点に関して今は何らの制限は課していません。ここでは2次元リーマン空間である曲面を取り扱い、その上に任意に引かれた座標曲線の網目（ｕ¹，ｕ²）と、同じ曲面上に引かれた他の座標曲線の網目（

）を想定しているのですから。

２．座標変換とスカラー

　曲面上の座標系を（ｕ^ｉ）から

に変えるとき、曲面に接する１次独立な２つのベクトル

は次のように変化する。
　(ここのｘの様に、ベクトル量は太字の文字を使って表しています。フォントが悪くて解りにくいかも知れませんが、今後その様に読み取ってください。)

ここで

と置けば

　逆変換は

と書くことができる。

　一般に、ｕ^ｉの関数ｆ（ｕ^ｉ）があって、座標変換によつてその値を変えないとき、ｆ（ｕ^ｉ）を“スカラー”という。
　つまり、空間の各点で一意に定まる値を持つような量をスカラーと言います。その空間点を定める座標値は座標系が異なれば異なった数の組で表されますが、その座標値の組が異なっても同じ空間点に対してはｆは同じ値になると言うことです。

［補足説明１］　　この注意は重要です。！
　ここの（3－7）式と（3-7'）式の意味は非常に解りにくい。先に注意したように2次元リーマン空間である曲面上に任意に引かれた座標曲線の網目（ｕ¹，ｕ²）と、同じ曲面上に引かれた他の座標曲線の網目（

）を想定してください。
　そのとき、ベクトルの組（ｘ₁，ｘ₂）は網目（ｕ¹，ｕ²）の座標曲線に沿ったｕ¹方向の接単位ベクトルとｕ²方向の接単位ベクトルを意味します。また、ベクトルの組（

）は網目（

）の座標曲線に沿った

方向の接単位ベクトルと

方向の接単位ベクトルを意味します。いずれもそれぞれの座標値で測ったときの“単位ベクトル”です。
　これらの間の変換式（3-7）式は丁度、別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」３．（１）で説明する基底ベクトルの組の変換（Ｃ）式に相当します。だから、このときの変換係数は座標変換の逆変換（3-1'）式の変換係数になっています。順方向の変換式（3-2'）式の係数では無いことに注意して下さい。何故そうなるかは上記引用文３．（３）をご覧下さい。
　故に、ここでのベクトルの組（ｘ₁，ｘ₂）、あるいは（

）はいずれも“基底ベクトル”を意味しますので添字は右下に付けています。そして座標曲線の網目（ｕ¹，ｕ²）、あるいは（

）の座標値は正に“反変成分”での座標値を意味します。そのため成分を表す添字は右上に付けています。
　
　
　ここで下記の事柄に注意して欲しい。
　別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」２．（１）では、まず“単位接ベクトル”である“基底ベトクル”ａ_ｉ を定義し、そのベクトルの伸びる方向へ座標曲線を伸ばし、その座曲標上にその基底ベクトルの長さを単位として座標値ｕ^ｉを記入していった。
　
　ところが、ここでは、まず曲面上に格子状の網目曲線を引き、その網目を構成する曲線に沿って座標値ｕ^ｉが記入してある。その座標値の目盛りは場所に依存して変化しても良いが、縦横の座標曲線には隙間無く座標値ｕ^ｉが記入されています。そのとき網目上の任意の点において、その縦横の網目線に沿った“接線ベクトル”を引き、その長さを、その網目位置での単位の長さとします。それが本稿での“単位接ベクトル”ｘ_ｉ です。これが、上記別稿における“基底ベクトル”ａ_ｉ に相当します。
　
　
　本稿では、まず曲面上に網目を引き、その座標曲線上の目盛りを与えます。それから“接単位ベクトル”（すなわち“基底ベクトル”）を与えています。
　しかし、上記別稿では、まず“基底ベクトル”（すなわち“単位接ベクトル”）を与えてそれが場所と共に長さも方向も変化するとして、座標曲線が曲線状になり、その座標曲線上の目盛り幅も基底ベクトルの長さの変化に応じて変化していくとしている。
　両者は、“リーマン空間”を表す方法を逆の方向から説明していますが、どちらも全く同じ事を言っています。

［補足説明２］　　ここも重要です。！
　“基底ベクトル”と“双対基底ベクトル”の間の変換と、“基底ベクトル”を別な新しい“基底ベクトル”に変換することを混同しないで下さい。
　つまり、別項「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」２．（１）のベクトル変換式と、３．（１）の変換式（Ｃ）を混同しないで下さい。
　
　“基底ベクトル”を別な新しい“基底ベクトル”に変換するとは、曲面上に引いた網目曲線を別な新しい網目曲線に変換すると言うことです。つまり新しい網目曲線に接する“基底ベクトル”にすると言うことです。
　
　そのとき“基底ベクトル”と常に表裏一体の関係にある“双対基底ベクトル”は、変換された新しい“基底ベクトル”に追従して必然的・決定論的に新しい“双対基底ベクトル”に変換されます。“基底ベクトル”と“双対基底ベクトル”の間の変換とは、そのことを指しています。

［例題］　曲面の“単位法線ベクトル”は、座標変換によってどのような変換を受けるか。

［解］　単位法線ベクトルの定義に（3-6）式を適用する。

ただし

です。特に座標変換（3-1）式を（3-3）式が正なるものに制限しておけば、“単位法線ベクトル”は座標変換不変です。

（２）ベクトルとテンソル

１．反変ベクトル

　座標変換

に対して、両辺の微分を考えれば

となる。これと同じ様な変換を受ける量を“反変ベクトル”と言う。つまり、変位ベクトル ｄｕ^ｉは反変ベクトルの代表例です。
　一般的に言って、座標変換

によって変換される数の組（Ｘ^ｉ）（ｉ＝1，2）が反変ベクトルです。このときＸ¹，Ｘ² を“反変ベクトルの成分”という。成分を表す添え字を右上に付ける。

［補足説明］
　別稿で説明したように、変位ベクトル、速度ベクトル、運動量ベクトル、電流密度ベクトル、加速度ベクトル、力のベクトル、等々はすべて反変ベクトルです。正確に言うと反変成分で表されたベクトルです。
　ただし、ここで注意して欲しいのですが、位置座標の組(ｕ^ｉ）そのもの（3-8）式は、（3-10）式を満たしません。（3-9）式のようにその微分（微小変位）が満たすだけです。そのため、座標値そのものはここで定義する“ベクトル”ではありません。それは、“曲線座標間の変換”とは局所的な空間においてのみ考えることが出来るようなものだからです。

２．共変ベクトル

　スカラーｆ（ｕ^ｉ）を

で偏微分すると

となる。これと同じ様な変換を受ける量を“共変ベクトル”という。スカラー ｆの勾配（３．（４）１．で説明）は共変ベクトルの代表例です。
　一般的には座標変換で

のような変換をうける数の組（Ｙ_ｉ）（ｉ＝₁，₂）が共変ベクトルです。このときＹ₁，Ｙ₂ を“共変ベクトルの成分”という。成分を表す添え字を右下に付ける。

　スカラーｆ（ｕ^ｉ）のそれぞれの変数での偏微分

は（3-11）式によって共変ベクトルの成分で、これらの組を特にスカラーｆ（ｕ^ｉ）の“勾配ベクトル”という。これはベクトル解析で出てくるいわゆる勾配ベクトル grad ｆ＝▽ ｆと同じです。つまりスカラー場ｆの勾配は共変ベクトルです。

［補足説明１］
　直交座標系における点の座標成分をｘ^ｉとし、ｘ^ｉがスカラーｔ（時間の様なもの)の関数であるときの微分係数をｄｘ^ｉ／ｄｔとする。また、直交座標上のスカラー関数 φ（ｘ^ｉ）の偏微分係数を ∂φ／∂ｘ^ｉ (スカラー関数のgradの様なもの)とする。
　そのとき、ｘ^ｉから直交座標変換で新たな直交座標系ｘ^ｉ’ への座標変換

を考える。この座標変換の変換係数ａ^ｉ_ｊは普通場所(ｘ^ｉ）に依存しない定数です。もちろんスカラーｔにも依存しません。この逆変換の変換係数は順方向の変換係数の転置行列になります。そのことは別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」２．(１)と(２)を復習されればすぐに了解できます。さらにそこの方向余弦の関係式から変換行列は対称行列ですから、結局元の変換行列と同じ事が解ります。つまり

が成り立ちます。
　そこでまず上記変換式の両辺をｔで微分します。ａ^ｉ_ｊはｔに関係しませんから、ただちに

が得られます。つまりこれがベクトル（ｄｘ^ｉ／ｄｔ）の座標変換公式です。
　次にベクトル（∂φ／∂ｘ^ｉ）

の座標変換を考えます。

つまり、これがベクトル（∂φ／∂ｘ^ｉ）の座標変換公式です。
　以上の様に、“直交座標変換”の時には、ベクトル（ｄｘ^ｉ／ｄｔ）の座標変換公式とベクトル（∂φ／∂ｘ^ｉ）の座標変換公式はまったく同一で、共変とか反変の違いは生じません。
　
　
　ところが、本稿での座標変換の様に“曲線座標間の変換”である場合には

で表すとしますと、上記前半の変換式は

となり、後半の変換式は

となる。つまり曲線座標の変換に伴う

の変換法則は異なり、いわゆる“共変変換”と“反変変換”の違いが生じる。
　そのとき、座標の次元を分子にもつ微分線要素が共変的に変換され、座標の次元を分母にもつスカラーの勾配の様な量が反変的に変換されると言って良い。

［補足説明２］
　一般的な時空に於いても極小さな領域では（斜交座標にはなるが）直線座標系ｘ^ｉでもって時空の世界間隔は

で与えられる。このことは２．曲面論（２）３．や２．（７）１．ですでに説明したところです。
　このときのｇ_ｉｊは、その時空世界を特徴づける基本計量共変テンソルと言われるものです。具体例として、
　特殊相対性理論に於ける“ミンコフスキー４次元時空”の時は

となります。
　あるいは、我々にお馴染みの“ユークリッド３次元空間”ならば

になります。
　一般相対性理論で扱う“リーマン４次元時空”に於いては、ｇ_ｉｊは対角要素以外も 0 ではない一般的な４元テンソルになります。
　
　このとき、前記［補足説明１］で言うところの共変と反変の区別が生じないのは空間を特徴ずける“計量テンソル”ｇ_ｉｊが

のように、対角要素が全て１で、それ以外の要素が 0 の場合です。その場合には座標変換に対する変換則に違いが生じないからです。
　もし、ｇ_ｉｊがそれ以外のテンソルであったらならば、前記［補足説明１］で言うところの“共変変換”と“反変変換”の違いが生じる。
　
《ここで注意》
　特殊相対性理論に於ける“ミンコフスキー４次元時空”の、ｇ_ｉｊは対角要素以外は全て 0 ですが対角要素が全て１となるわけではありません。つまり１と－１が入り交じっています。
　そのため、ミンコフスキー４次元時空は全空間に渡って一様であり、かつ直交する時空なのですが、その時空に於けるベクトル量やテンソル量に共変成分と反変成分の違いが出てきます。この当たりは別稿「Maxwell方程式系の先見性とベクトルポテンシャル」６．（４）［補足説明５］で注意しました。
　
　あとで解りますが、任意のテンソルの共変性・反変性は“基本計量共変テンソル”ｇ_ｉｊや“基本計量反変テンソル”ｇ^ｉｊを乗じで縮約することにより、任意に変更することができます。だから、その様にテンソルの添字を上げ下げしてできるＴ_ｉｊ^ｋ，Ｔ_ｉｊｋ，Ｔ_ｉ^ｊｋ，・・・・は、いずれも同一の幾何学的・物理学的対象をあらわしています。共変的とか反変的とかは、それぞれを成分で表すときに見かけ上表れる性質に過ぎません。見かけ上のことですが、成分表示を用いないとその物理学を論じることができませんから、やはり重要な違いです。
　
　
《更に注意を続ける》
　ここの “基本計量テンソル” ｇ_ｉｊ と、［補足説明１］に出てきた “座標変換係数テンソル” ａ^ｉ_ｊ や ∂ｘ’^ｉ／∂ｘ^ｊ を混同しないで下さい。両者はまったく異なるものです。
　 ｇ_ｉｊは空間そのものの性質をあらわしており、“ミンコフスキー時空”ではその中での座標系の取り方で変化するようなものではありません。このことについては別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（３）［補足説明２］参照。
　上記の言い方には少し注意が必要です。ｇ_ｉｊはその時空の各点での時空の性質を表しているので、ミンコフスキー時空からより一般的な“リーマン時空”になっても、ｄｓ²＝ｇ_ｉｊｄｕ^ｉｄｕ^ｊの値がそこでの座標系の取り方で変化するわけではありません。つまり座標がｄｕ’^ｉｄｕ’^ｊに変わっても、ｄｓ²＝ｇ’_ｉ’ｊ’ｄｕ’^ｉｄｕ’^ｊが不変に保たれるようにｇ_ｉｊが座標変換によってｇ’_ｉ’ｊ’に変わる様なものです（［補足説明３］の後半で説明）。そのとき、リーマン時空の別の場所に移動するとそこでのｇ_ｉｊは座標の変化に依存して変化します。そういった意味では座標の関数になります。このことについては、別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（１）３．［注意］を参照されたし。
　ｇ_ｉｊはリーマン空間の基底ベクトル（接単位ベクトル）から定まります。基底ベトクル（接単位ベクトル）とは何かが解らないと何のことか解らないと思います。
　
　一方座礁変換係数テンソルａ^ｉ_ｊや ∂ｘ’^ｉ／∂ｘ^ｊ は、ｇ_ｉｊで特徴づけられる空間の中に取った座標間の変換を表す係数で、変換する座標ごとに異なります。
　例えば“ミンコフスキー４次元時空”の“基本計量テンソル” ｇ_ｉｊ は常に

ですが、その空間での座標変換係数を表すローレンツ変換

は、変換先の座標ごとに異なる。
　実際、元の座標系に対して変換先の座標系が速度Ｖで動いていたり、さらにその運動方向が（Ｖ_ｘ，Ｖ_ｙ，Ｖ_ｚ）方向だったりしたら、変換係数がどの様に変わるのかは別項「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」で説明したところです。
　ただし、計量テンソルの表現には［世界間隔の定義の仕方］、［物理量の表し方］、［単位の取り方］などに依存する任意性があります。だから、そこでは“ミンコフスキー時空計量テンソル”を前記とは異なって

の様に表していました（３．（３）［補足説明１］参照）。　

［補足説明３］　《計量テンソルとは何か？》
　ここは吉田伸夫著「完全独習相対性理論」§8-2-1“リーマン幾何学の考え方”のほぼそのままの引用です。
　２．曲面論で説明したように、ガウスが微分幾何学の手法を用いて曲面論を展開したとき、3次元ユークリッド空間の内部に2次元の曲面を埋め込むという前提の下で議論を進めた。このとき、当初曲面上の在る点の曲率を定義するときに、曲面のその点に立てた法線を含む面で曲面を切るといった、曲面の外に出る方法論が使われた。それが２．（４）１．の第2基本微分形式であり、そこで定義された第2基本量Ｌ，Ｍ，Ｎ（ｈ₁₁，ｈ₁₂＝ｈ₂₁，ｈ₂₂）という量でした。
　ガウスは、同時に２．（３）３．の第1微分形式というものも考察するのですが、それはどちらかというと曲面の曲がりと言うよりも曲面上の線素の長さを表すための微分形式で曲面上の座標微小変分との関係を与えるものでした。そのとき線素の長さを定めるのに関係する量が２．（３）３．で定義された第1基本量Ｅ，Ｆ，Ｇ（ｇ₁₁，ｇ₁₂＝ｇ₂₁，ｇ₂₂）でした。
　ガウスはこの2つの基本量（2つの基本微分形式）を使って曲面の幾何学を研究していたのですが、２．（９）３．で説明する“ガウスの驚異の定理（Theorem egregium）”を発見する。これは曲面の曲率を定めるのに第2基本量は必要なく第1基本量だけで良いという驚くべき定理でした。つまりガウス曲面に限れば、曲面の外に出なくても、曲面内部で決定できる量（第1基本量)だけを使って曲面の幾何学が議論ができる。
　この考えを更に進めて、外部に3次元ユークリッド空間が存在する事を前提とせず、歪んだ2次元空間だけを議論の対象にするのが“リーマン幾何学”です。つまり歪んだ二次元空間内の長さを測定するだけで、その歪みが議論できるとするのがリーマン幾何学です。（ここも解りにくい所です。別稿［補足説明１］をご覧下さい。）
　実際別稿Einstein著「我が相対性理論」§25　や　Bornの説明の特にp320　で説明されているように、２次元曲面上に住む2次元人が曲面上の1点から等距離ｒにある円周の長さを測定するとそれは一般に2πｒにならないのですが、円周長が2πｒからどれぐらい異なるかでその点での曲面の曲がり具合を知ることができる。また半径ｒの円の面積はπｒ²にならないのですが、円の面積がπｒ²からどれくらい異なるかでその点での曲面の曲がり具合を知ることができます。この当たりのもう少し詳しい説明を吉田伸夫著「完全独習相対性理論」§8-1-2から引用。
　
　
　リーマンは2次元に限らず任意の次元で定式化したのですが、ガウスの曲面論を2次元リーマン幾何学に書き換えることで、リーマン幾何学のやり方を説明すると以下のようになる。
　２．（３）３．の

で表された第1基本形式はガウスの曲面論では、曲面が埋め込まれた3次元ユークリッド空間での長さを使って導かれるが、リーマン幾何学の立場からすると、外部のユークリッド空間は存在しないので、（2-10）式は導かれるものではなく線素の定義として議論の出発点となる。曲面上の位置を指定するのに使われるｕ，ｖは、ガウスの曲面論ではユークリッド空間Ｘ，Ｙ，Ｚ座標を補助する便宜的な変数という扱いだったのに対して、リーマン幾何学では、空間座標そのものとなる（３．（１）２．［補足説明］を参照）。
　リーマン幾何学を一般の次元に拡張しやすいように、座標ｕ，ｖと第1基本量Ｅ，Ｆ，Ｇを、次のように表すことにする［２．（７）１．参照］。

　このｇ_ｉｊ（ｉ，ｊ＝1，2）を使うと第１基本形式（2-10）式は、次式で表される。

同じ添字が上と下に表れる場合は全ての次元に渡って和を取るという“アインシュタインの規約”を採用すれば、次の形に簡略化できる。

　（2-48）式がリーマン幾何学において線素を定義する基本式であり、係数 ｇ_ｉｊ は長さを決める量であることから“リーマン計量”と呼ばれる。
　リーマン計量が与えられた数学的な空間をリーマン空間という。ｊ，ｊの範囲を1～ｎまで広げたリーマン計量ｇ_ｉｊを与えれば、ｎ次元のリーマン空間が定義される。
　リーマン計量はきわめて難しい概念ですから、別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」２．（４）～（７）の3次元リーマン計量の説明、さらに同稿４．（３）［例８］最後の文節をご覧下さい。また内山「相対性理論」のp119～やp121～をご覧下さい。
　
　
　２．（２）３．で（第1基本量を用いて）定義された面積素を表す式

も、リーマン計量で表わすと

となる（ここは、「２．曲面論」（２）３．［補足説明２］のメラーの説明が解りやすい）。根号内部は、リーマン計量を行列と見なしたときの行列式なので、2次元以上にも拡張できる。
　ｄＳの替わりに次元によらず使える体積素の記号ｄＶを用いると

となる。3次元の場合の計算例は別稿２．（７）参照されたし。ｎ次元の場合は、別稿「重積分の変数変換とヤコビアン（リーマン空間における多重積分）」の第4章を参照されたし。
　
　
　すなわち ｇ_ｉｊ とはこのようにして導入された量です。このとき、物理的実体である線素の長さは座標の取り方によって変わってはならないのですから、（2-48）式の線素ｄｓ²が座標によらないと言う要請を式で表すと

となる。
　ここで、微分演算を遂行すると座標変換に対するリーマン計量の変換則として次式が得られる。

　この式は、リーマン計量が2階共変テンソルであることを示している。ここは別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」３．（４）もご覧下さい。
　このようにして導入されたリーマン時空の計量テンソルは、ミンコフスキー時空に於ける計量テンソルと違って座標変換によって変化しますし、またその成分の値そのものも座標の関数です。そのとき、［リーマン計量］と［リーマン時空の微小座標変分］の2次微分形式で表される［線素ｄｓ²］は座標変換に対して不変でなければなりません。
　
　つまり、リーマン幾何学とは線素を表す2次微分形式の不変式論として空間の性質を論じるものです。“計量テンソル”とは何なのか非常に解りにくいのですが、このようにして導入されたもの以外の何者でもありません。このことについては、別稿「２．曲面論」（２）３．と別稿「４．リーマン幾何学」（２）１．を参照されたし。
　
　別ページで引用する吉田伸夫著「完全独習相対性理論」の§8-1-1“ガウスの曲面論”と、§8-1-2“ガウス曲率と驚異の定理”をご覧下さい。また、３．（１０）１．［補足説明２］“ガウスの曲面論と相対性原理”もご覧下さい。
　さらにアインシュタインの　京都講演、　グラスゴー講演、　自伝ノート　等々をお読み下さい。

３．テンソル

　一般にｐ＋ｑ個の指標を持った 2^p+q個の関数

によって表される幾何学的対象があって、これらの量が座標変換で

なる変換をうけるとき、その対象を“（ｐ，ｑ）型のテンソル”という。これは“反変ｐ階共変ｑ階のテンソル”とも言う。
　（3-13）式右辺は、同じ指数が出てくる文字については和を取るアインシュタインの規約に従った表現です。
　
　例えば（1，1）型テンソルＴ^ｉ_ｊの場合は

の事です。この場合指標の個数は２個ですから、右辺は２²＝４個の項の和となる。
　指標がｐ＋ｑ個の場合の右辺は 2^p+q個の項の和となります。もちろん座標がｎ次元になればｎ^p+q個の項の和となります。
　例えば一般相対性理論に於ける“４次元リーマン時空”の“リーマンの曲率テンソル” Ｒ^ｉ_jkl は 4¹⁺³＝4⁴＝256項の和となる。だからのＲ^ｉ_jkl 座標変換式は256×256個の係数からなる線形の連立式となる。
　
　このとき

をそれぞれ

に関する“テンソルの成分”という。そしてａ₁，･･･，ａ_p あるいはｉ₁，･･･，ｉ_p を“反変指標”、ｂ₁，･･･，ｂ_p あるいはｊ₁，･･･，ｊ_p を“共変指標”と言う。
　
　反変指標のみを持つテンソルを“反変テンソル”、共変指標のみを持つテンソルを“共変テンソル”、両方の指標を持つテンソルを“混合テンソル”という。

［補足説明］
　テンソルの定義から明らかなように、反変ベクトルは（1，0）型テンソル［あるいは１階反変テンソル］と見なすことができる。
また、共変ベクトルは（0，1）型テンソル［あるいは１階共変テンソル］と見なすことができる。
さらに、スカラー ｆは 0階(次)のテンソルと言っても良い。

［テンソルの例２］
　“第１基本量” ｇ_ｉｊは３．（１）［問題］の考察から

です。故にｇ_ｉｊは“２階共変テンソル”あるいは“（0，2）型テンソル”であることが解る。
　これを“基本テンソル”と言う。あるいは“基本計量共変テンソル”と呼ぶのが最も解りやすいかも知れない。

４．テンソルの和、差、積

　2つ以上のテンソルに対して、次の加法・減法定理、乗法定理が成り立つ。

［定理］
（１）同じ型のテンソルの和、または差は同じ型のテンソルです。
（２）２つのテンソルの積はまたテンソルです。
　　　例えば（ｐ，ｑ）型テンソルと（ｒ，ｓ）型テンソルの積は（ｐ＋ｒ，ｑ＋ｓ）型テンソルとなる。

［証明］
（１）
　２つの同種のテンソルＲ_ｉｊ^k とＳ_ｉｊ^k のそれぞれの成分から

なるＴ_ｉｊ^k とＵ_ｉｊ^k を考える。それぞれのテンソルの座標変換したものを

とすると

となるので、和、または差は同じ型のテンソルとなる。

（２）
　例としてテンソルＲ_ｉｊ^k とＳ_ｌ^m の積Ｔ_ｉｊｌ^km を考える。

それぞれのテンソルを座標変換したものを

とすると

となるので、確かに（2＋1，1＋1）型テンソルとなることが解る。
［証明終］

５．テンソルの縮約

　いま（1，2）型テンソルＴ_ｉｊ^k においてｉ＝ｋとおけば、Ｔ_ｉｊ^ｉは共変ベクトルです。何となればテンソルの変換式

に於いてｋ＝ｉとおいて指標ｉについて総和をとれば

となる。このように、反変指数と共変指数を同一にして総和を取ることによって （p．q）型テンソルから （p-1、q-1）型テンソルが得られる。これをｉとｋに関する“縮約”という。

　“縮約”の意味は解りにくいので、2次元（1，２）型テンソルを縮約した場合を“アイシュタインの規約”を用いないで表示して座標変換則がどのようになるか調べてみる。

となり“共変ベクトルの変換式”に従っていることが解る。
　すなわち、縮約の結果（1-1，2-1）＝（0，1）型テンソルつまり共変ベクトルに成ります。
　
　同様な計算を4次元（1，２）型テンソルの場合でやってみられることを勧めます。かなり面倒な計算になりますが、それを実行されれば“縮約”の意味が良く解ると思います。

［補足説明］
　例えば、共変ベクトル ｖ_ｉと反変ベクトル ｗ^ｊとの積（別項４．（４）６．の“直積”を参照）をつくればｖ_ｉｗ^ｊという（1，1）型テンソルが得られる［３．（２）４．［定理］の（２）参照］。
　ここで指標ｉと指標ｊに関して“縮約”すればｖ_ｉｗ^ｉはスカラーとなる。これは第１章や第２章で何度も出てきた内積に相当するものです。
　ここでもｖ_ｉとｗ^ｊの“内積”と呼ぶことにする。つまり内積は縮約の一種です。

６．テンソルの商法則

　前々項の［定理］と前項の結論より、Ｒ^h_ｉｊとＳ^kｌとがテンソルであるとき、その２つの積を ｉｊについて“縮約”してできるＲ^h_ｉｊＳ^ｉｊ＝Ｔ^h もまた１つのテンソルの成分となります。そのとき逆について以下のことが成り立つ。

［定理］
　Ｓ^ｉｊ（2，0）型とＴ^h （1，0）とがテンソルの成分であるとき、Ｒ^h_ｉｊＳ^ｉｊ＝Ｔ^h で表されるＲ^h_ｉ_ｊは（1+0，0+2）＝（1，2）型テンソルであることが証明できます。つまり（ｐ-0，ｑ-2）＝（1，0）よりｐ＝1+0，ｑ＝0+2だからです。
　今は特定な階数のテンソルについて説明ししているが、任意の階数のテンソルに付いても同様な事がが言えます。これを“テンソルの商法則”という。

［証明］
　座標変換によって変換されたテンソルをそれぞれ

とすると

となる。ここで

はテンソルであるから

となる。
　これと前記の式を一緒にすると

となる。ここでＳ^bcは任意のテンソルであるから

となり、Ｒ^h_ｉｊもテンソルです。
　もっと任意の階数のテンソルに付いても同様に証明できる。
［証明終］

［補足説明１］
　“商法則”が何を言っているのか解りにくいので補足します。
　例えばｎ次元座標系（多様体）上の各座標値（ｕ^ｉ）に対して数値の組Ｔ_ｉｊが定まり、任意の反変ベクトル ｖ^ｊを用いてつくったｖ_ｉ＝Ｔ_ｉｊｖ^ｊが共変ベクトルの成分ならば、Ｔ_ｉｊはテンソルの成分であると言うことです。
　つまり、階数の低いテンソル（今の場合反変ベクトルｖ^ｊと共変ベクトルｖ_ｉ）から階数の高いテンソルを定めることができると言うことです。
　
　この商法則の使い方として、例えば別稿６．（４）の水色背景色の説明文、　３．（２）［問題３］、　３．（５）１．などを参照されて下さい。
　さらに別稿【反変ベクトル場ｗの共変微分】や【共変ベクトル場ｗの共変微分】で説明した様な使い方もできます。

［補足説明２］
　このあたりの説明をEinsteinの1916年論文「一般相対性理論の基礎」§７（共立出版「アインシュタイン選集2」p73～76）より引用しておきます。ただし、解りやすくする為に、少し改変しています。以下の説明から“商法則”の意味を読み取って下さい。

　
《以下“テンソルの商法則”の説明》

７．対称テンソルと交代テンソル

［テンソルの例３］
　テンソルＴ_ｉｊが

を満たすとき、それぞれｉ，ｊに関して対称、および交代であると言う。それぞれのＴ_ｉｊを“対称テンソル”および“交代テンソル（反対称テンソル）”と言う。

［例題１］　一般的な任意のテンソルＴ_ｉｊに対して

を作るとき、Ｓ_ｉｊは“対称テンソル”、Ａ_ｉｊは“交代テンソル（反対称テンソル）”であることを証明せよ。

［補足説明］
　上記の 対称テンソルＳ_ｉｊと 交代テンソルＡ_ｉｊの和を作ると

となりますから、任意の テンソルＴは 対称テンソルＳと 交代テンソルＡの和の形に書けます。
　だから、先ほどの表現

は任意のテンソルＴ_ｉｊの対称部分と反対称部分を分離して取り出す公式だと解釈できます。
　さらに補足しますと反変テンソル Ｔ^ｉｊ についても同様な公式が成り立つのは言うまでもありません。

［例題２］　テンソル Ｒ_ｉｊｋｌが

を満たせば

が成立する事を示せ。

［問題１］　テンソル Ｔ_ｉｊｋが

を満たせば、Ｔ_ｉｊｋは 0 テンソルであることを証明せよ。

［解］　条件式を用いると

と変形できるのでＴ_ｉｊｋは 0 テンソルです。

［問題２］　任意のテンソルを Ａ_ｉｊｋ とするとき

は対称テンソルで

は交代テンソルであることを示せ。

［解］　Ｔ_ｉｊｋの指数ｉ，ｊ，ｋの入れ替えに関して

となるので

の関係がある。つまり、Ｓ_ｉｊｋの任意の２つの指数の順番を入れ替えてもテンソルは同じだからＳ_ｉｊｋは対称テンソルです。
　Ｔ_ｉｊｋの指数ｉ，ｊ，ｋの入れ替えに関して

となる。故に

の関係がある。つまり、Ｔ_ｉｊｋの任意の２つの指数の順番を入れ替えるたびに符号が反転するのでＴ_ｉｊｋは交代テンソルです。

［補足説明１］
　ここは何を言っているのか解りにくいが、［例題１］で説明した２階テンソルについて成り立つ事情が３階テンソルについても成り立つと言うことです。
　３階テンソルの三つ添字の並び方の順列組合せは3×2×1＝6通り（2階テンソルは2×1＝2通り）あるので６項の組み合わせが必要になるということです。
　3階テンソルの場合、この6項の内の3つが2回の添字の入れ替えで互いに移れるグループであり、残りの3つが一回の添字の入れ替えで移れるグルーブです。このことを強調するには

の様に書いたほうが良いかも知れません。また、［例題１］では 1／2＝1／2! を掛けていますが、ここでも 1／6＝1／3! を掛けても事情は変わりませんのでそうした方が良いかも知れません。。そうすると

となる。
　もちろん、同じ事が３階反変テンソル Ａ^ｉｊｋ についても言えます。

［補足説明２］
　さらに一般のｎ階テンソルについては

と表される。（ここは　https://tmcosmos.org/cosmology/cosmology-web/node245.html　から引用した）
　ここでΣ和は、添字の置換の仕方すべてについて取る。また交代テンソル表示の（－）^ｐは、その置換が偶置換のとき＋を、奇置換のとき－とする事を表す。このことの意味は３階テンソルの場合で確認して下さい。
　また、証明は３階テンソルの証明法を一般化すればよい。証明から明らかな様にｎ! で割っておく必要は特にありません。
　もちろん、同じ関係式がｎ階反変テンソル Ａ^{ｉ₁･･･i_ｎ} に付いても成り立ちます。

［問題３］　3．（２）３．［テンソルの例２］で説明した ２階共変テンソルｇ_ｉｊ に対して

で定義される ｇ^ｉｊ は“２階反変テンソル”であることを証明せよ。
　
　ちなみに、ｇ_ｉｊはその定義（あるいはこちらの定義）から明らかな様に対称テンソルです。もちろん、ｇ^ｉｊもこちらの定義から明らかなように対称テンソルです。ここでは対称テンソルの重要な例として取り上げられている。

［解］　ｇ_ｉa、ｇ^aｊ、δ_ｉ^ｊの座標変換によって変換されたテンソルをそれぞれ

とする。３．（２）３．［テンソルの例１］で説明したように、“クロネッカーのデルタ”δ_ｉ^ｊは（1，1）型の混合テンソルであるから、条件式を用いると

となる。
　一方ｇ_ｉa は３．（２）３．［テンソルの例２］で示したように２階共変テンソルだから

となる。これと前式を比較すると

となるので、ｇ^ｉｊは“２階反変テンソル”であることが解る。これは３．（２）６．［テンソル商法則］を適用すれば証明するまでもない。

［補足説明］
　あるいはもっと簡単に次の様にしても良い。いまあるベクトルの反変成分をａ^kとし、これにｇ_ikをかけ、 k について和を取り縮約すると

となる。この両辺にｇ^il を乗じてｉについて和を取り縮約すると

となる。ところでａ_ｉはまったく任意の共変成分と考えて良いので３．（２）６．［テンソル商法則］からｇ^ｉ^ｌは２階テンソルの反変成分でなければならない。

（３）共変微分

　“共変微分”はテンソル解析学で最も解りにくい所であると同時に、最も重要な所です。一般相対性理論において、ミンコフスキー時空をリーマン時空に拡張するときに是非とも必要になる概念です。

１．共変微分

　“基本テンソル”の変換式

の両辺をｕ^k で偏微分すると

を得る。
　同様にｇ_kj，ｇ_ik の変換式の両辺をそれぞれｕ^ｉ，ｕ^ｊで偏微分すると

を得る。
　ここで、２．（８）２．［定義］の（2-61）、（2-62）で導入したクリストッフェルの３添字記号

を得る。
　（3-17）式の両辺にｇ^kl を乗じてｋについて総和をとり、（3-16）式と３．（２）［問題３］の結論を用いて

を得る。
　これは、クリストッフェル3添字記号の座標変換を表す式でとても重要な式です。あとで共変微分係数の定義式を導くときに繰り返し使用します。
　また、この座標変換式はクリストッフェルの記号

がテンソルの成分ではないことを示している。この事は重要な意味を持ちますが、それについては藤井文献（1979年）§15-4をご覧下さい。

［補足説明１］
　上記 《クリストッフェル記号の座標変換則（3-18）式》 は 《計量テンソルの座標変換式》 に 《クリストッフェル記号の計量テンソルによる表現式》 を適用して導いています。微分幾何学（リーマン幾何学）を学ぶときに最も苦労するのは、クリストッフェル記号の意味を理解することです。
　
　クリストッフェル記号は“平行移動の概念”（別稿１．（５）参照）や“基底ベクトルの変化”（別稿４．（４）参照）を表すための変分ベクトルの係数として導入されたものです。
　だから、クリストッフェル記号の座標変換則は、クリストッフェル記号の計量テンソル表現を用いないで、直接導くことができます。別稿「平行移動とリーマン幾何学」２．（２）では、“平行移動の概念”によってクリストッフェル記号の座標変換則（3-18）式が導かれていますのでご覧下さい。
　
　さらに、補足しますと、別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（２）５．のように測地線方程式を利用しても求めることもできます。

　スカラーから作られる勾配ベクトルは例外的に1階共変テンソルに成りますが、一般にベクトルやテンソルの成分をその座標について偏微分して得られる偏微分係数はテンソルの成分とはならない。
　たとえば反変ベクトルｖ^ｉの変換式

の両辺をｕ^ｊについて偏微分すると

が得られるが、これは、

がテンソルの成分ではないことを示している。

　そこで、上式を次のように変形してみる。

　ここで

と表せば、（3-19）式は

と書ける。
　これは（3-20）式で定義されたｖ^ｉ，_ｊが（1，1）型テンソルの成分であることを示している。つまり、この形の微分であればテンソルを微分したものもまたテンソルとなる。したがって、（3-20）式で定義されたｖ^ｉ，_ｊを反変ベクトルｖ^ｉのｕ^ｊに関する“共変微分係数”と言うことにする。
　
　共変微分係数にｄｕ^ｊを乗じてｊについて総和をとって縮約したものを

で表し、反変ベクトルｖ^ｉのｄｕ^ｊ方向への“共変微分”と言うことにする。

　同様に、共変ベクトルｖ_ｉのｕ^ｊに関する“共変微分係数”を

で定義する。そのとき、ｖ_ｉ，ｊば、（0，2）型テンソル［２階共変テンソル］となることが証明できます。（詳細は３．（３）［問題１］参照）
　
　このとき、共変微分係数にｄｕ^ｊを乗じてｊについて総和をとって縮約したものを

であらわし、これを共変ベクトルｖ_ｉのｄｕ^ｊ方向への“共変微分”という。

［補足説明３］
　“共変微分”の事を“絶対微分”、“共変微分係数”の事を“絶対微分係数”と呼ぶ事もあります。“テンソル解析学”の事を“絶対微分学”という場合がありますが、要するにこの“共変微分学”の事です。この当たりの議論については別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（３）も参照されて下さい。

２．テンソルの共変微分

　前項のベクトルの共変微分の考えを一般的なテンソルに拡張することができる。

　例えば（1，2）型テンソル Ｔ^k_ｉｊに対しては

となり、（1，3）型テンソルが得られる（３．（３）［問題２］参照）。これを（1，2）型テンソル Ｔ^k_ｉｊの“共変微分係数”という。ここで、右辺第２項、第３項、第４項で総和を取る指数ａはそれぞれの項ごとに異なった指数添字記号を用いても良いことに注意されたし。
　
　一般に（p，q）型テンソルに対してもｕ^ｊに関する“共変微分係数”が考えられ、共変階数が１つ多くなった（p，q+1）型テンソルが得られる。このことは［例題２］、［問題１］、［問題２］、［問題３］を比較検討すれば確かめることができます。
　また、“共変微分”は、微分した座標変数のｄｕ^ｉを乗じてｊについて総和を取って縮約していますから、微分前のテンソルと同型の（p，q）型テンソルです。

３．共変微分の性質

［定理］　テンソルの和、差およぴ積の“共変微分”については、通常の微分と同じ法則が成り立つ。

［証明］
　和と差については明らかです。
　積については以下のように証明できる。例えばテンソルＴ^h_ｉとＳ_ｊk の積は（1，3）型テンソル（３．（２）４．［定理］参照）です。（1，3）型テンソルに対する共変微分（その形は３．（３）［問題２］などから推測できる）を実施すれば

となる。この証明に於いて、“通常微分”の“ライプニッツの公式”を用いているが、この方法は任意階のテンソルの積に対して拡張できるので任意階数のテンソルの積に対しても同様な関係が成り立つ。
　つまり、“共変微分”に対しても“ライプニッツの公式”が成り立つ。
［証明終］

［解］　最初にクロネッカーのデルタの共変微分を求める。（3-25）式を参考にすると

であることが解る。クロネッカーのデルタは成分がすべて定数のテンソルですからこうなることは当然です。

　次に第１基本量（基本テンソル)のｕ^k に関する共変微分係数を求める。

したがって、“基本計量共変テンソル”ｇ_ｉｊは共変微分に対して定数のように振る舞う。

　この事実はとても重要です。共変微分というものは、元々時空が歪んでいる（つまり計量テンソルｇ_ｉｊやｇ^ｉｊが場所と共に変化する）ことを考慮に入れて、ベクトルやテンソルなど対象の微分変化量を論じるものでした。だから、計量テンソルｇ_ｉｊやｇ^ｉｊが場所と共に変化していても、それらを（通常微分では無くて）共変微分したものが変化しないようになる（共変微分に対して定数のように振る舞う）というのはある意味当然の結果といえます。そうであるべき事は、共変微分の考え方から当然要求されることです。

［補足説明１］
　このことを用いると、重要な公式がさらに導ける。
　３．（２）［問題３］で説明した

の両辺をｕ^k で偏微分したものに上記の公式を用いれば

が得られる。
　すなわち、基本テンソルの商に相当する２階反変テンソルｇ^ｉｊのｕ^k に関する共変微分係数に付いても以下の関係式が成り立つ。

したがって、“基本計量反変テンソル”ｇ^ｉｊもまた共変微分に対して定数のようにふるまう。

［定理］

ここで、右辺で総和を取る指数ａはそれぞれの項ごとに異なった指数添字記号を用いても良いことに注意されたし。
　ｇ_ｉｊやｇ^ｉｊの成分は一般に座標ｕ^k の関数ですから、このように共変微分が常に0となることはとても重要です。このことを示す下の２式を“リッチ（C.G. Ricci）の補助定理”という。

［補足説明２］
　上記［定理］の２番目の関係式 ｇ_ｉｊ，ｋ＝0 は、２．（８）２．で説明した“クリストッフェル(Christoffel)三添字記号”の定義から直接求めることもできる。

　また、３番目の関係式 ｇ^ｉｊ_，ｋ＝0 を求めるには、ｇ_ｉｌｇ^ｌｊ＝δ_ｉ^ｊの両辺でｕ^kに関する“共変微分”を実行して、３．（３）３．［定理］と１番目、２番目の式を用いてもよい。

［例題２］
　反変ベクトル ｖ^ｉの“２回の共変微分係数” ｖ^ｉ，_ｊ，_k＝ｖ^ｉ，_ｊk を求めよ。

［解］　ｖ^ｉを１回共変微分したｖ^ｉ_，ｊは３．（３）１．（3-21）式で示したように（1，1）型テンソルとなるから、これをもう一度共変微粉するときには、ベクトルの共変微分（3-20）式ではなくて、３．（３）２．で示したテンソルの共変微分（3-25）式を用いなければならない。
　そのためｖ^ｉ_，ｊの共変微分は次のようになる。

すなわち

となる。

［補足説明］
　ｖ^ｉ_，ｊk は（1，2）型テンソルであることが以下のようにして証明できます。それは［問題２］で証明するのと全く同様なやり方を繰り返すことです。そこのＴ^h_ｉｊに関する証明をＴ^h_ｉに対する証明に置き換えて得られる関係式に於いてＴ^h_ｉをｖ^ｉ_，ｊに置き換えればよい。
　ｖ^ｉ_，ｊはＴ^h_ｉと同じ（1，1）型テンソルであることが３．（３）１．の（3-21）式ですでに証明されているからその置き換えは可能です。指数添字も置き換えに応じて入れ替える。
　そうして得られる

はｖ^ｉ_，ｊ，k が（1，2）型テンソルであることを示している。

［問題１］
　共変ベクトルｖ_ｉのｕ^ｊに関する共変微分係数 ｖ_ｉ，_ｊは２階共変テンソルの成分であることを証明せよ。

［解］　共変ベクトルの変換式

の両辺をｕ^ｊについて微分すると

となる。すなわち

と置くと

となるので、ｖ_ｉのｕ^ｊに関する共変微分係数 ｖ_ｉ，_ｊは（0，2）型テンソル（２階共変テンソル）の成分であることが解る。

［問題２］
　（1，2）型テンソル Ｔ^h_ｉｊのｕ^kに関する共変微分係数 Ｔ^h_ｉｊ，_k は（1，3）型テンソルの成分であることを証明せよ。

［解］　Ｔ^h_ｉｊは（1，2）型のテンソルだから、その変換式は

と書ける。
　この両辺をｕ^k について偏微分する。［拡大表示］

　これを整理すると

となるが、これは

と置くと

となるので、Ｔ^h_ｉｊのｕ^k に関する共変微分係数 Ｔ^h_ｉｊ．_k は（1，3）型テンソルの成分であるとが解る。

［問題３］
　共変ベクトル ｖ_ｉの２回の共変微分係数を求めよ。

［解］　［例題２］と同様にすればよい。そのとき　ｖ_ｉを１回共変微分したｖ_ｉ，ｊは３．（３）［問題１］で証明した様に（0，2）型テンソルとなるから、これをもう一度共変微粉するときには、ベクトルの共変微分（3-23）式ではなくて、３．（３）２．で示したテンソルの共変微分（3-25）式を用いなければならない。
　そのためｖ_ｉ，ｊの共変微分は次のようになる。

すなわち

となる。

［補足説明］
　ｖ_{ｉ，ｉ，k} は（0，3）型テンソルであることは、３．（３）［例題２］［補足説明］で説明した方法で証明できます。それは３．（３）［問題１］で証明したｖ_ｉ，ｊが（0，2）型テンソルであることを用いて［問題２］で行ったのと同様な手順を繰り返すことです。
　そうすると最終的に

が得られる。これはｖ_{ｉ，ｊ，k} が（0，3）型テンソルであることを示している。

（４）勾配・回転・発散

１．勾配

　スカラーｆの共変微分は、３．（２）２．で説明した様に通常の微分と一致するから（3-11）式によって

と置いて得られる共変ベクトルをスカラー ｆの“勾配ベクトル”という。スカラーに対する共変微分は普通の微分と同じになることに注意されたし。
　このベクトルは３．（２）２．で説明した様に“共変ベクトル”の一種です。

２．回転

　共変ベクトル ｖ_ｉの共変微分係数

は３．（３）［問題１］で示したように（0，2）型テンソル（２階共変テンソル）の成分となる。
　今、これと、ｉとｊを交換したものとの差

を考えれば、３．（２）４．［定理］により、これも１つの（0，2）型テンソル（２階共変テンソル）となる。これはｉとｊを交換すると符号が変わる交代テンソルです。これを 共変ベクトルｖ_ｉ の“回転”という。
　このとき、クリストッフェル記号の対称性のため共変微分回転は普通の微分の回転となることに注意されたし。

　共変ベクトルｖ_ｉ がスカラーｆの勾配ベクトルであるときは、常に

が成り立つ。よって次の定理が得られる。

［定理］　 共変ベクトルｖ_ｉ がスカラーの勾配ベクトルである必要十分条件は、その回転が零テンソルであることです。

　これはデカルト座標のベクトル解析で重要な定理でしたが、それがもっと一般のリーマン座標系に対して拡張できると言うことです。

３．発散

　３．（３）１．（3-21）式で説明した様に、反変ベクトルｖ^ｉ の共変微分係数

は（1，1）型テンソルです。
　ここで ｊ＝ｉと置いて総和をとり縮約して得られる ｖ^ｉ，_ｉ

は１つの成分のみからなる“スカラー”です。これを反変ベクトルｖ^ｉ の“発散”という。共変微分の発散ということで“共変発散”という場合もある。

　［補足説明１］の公式を用いると、 反変ベクトルｖ^ｉ の発散は

と表すことができる。

［補足説明２］
　上記は反変ベクトルに付いての発散でしたが、当然テンソルに対しても共変発散を考える事ができる。そのとき、共変微分は反変成分とでないと縮約できませんから、作用するテンソルは当然反変指標を持ったものでなければ成りません。
　詳細については別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（７）３．などを参照されて下さい。
　
　もちろん、縮約操作を伴わなければ、共変ベクトルや共変指数を持ったテンソルを共変微分することはできます。その場合の共変微分係数は共変階数が一つ増えたテンソルに成るわけです。このことについては、本稿３．（３）や、別稿４．（５）５．などを復習されたし。

４．微分演算子

《ベルトラミの第１微分係数》

　スカラー ｆに対して、その勾配ベクトル ｆ，_ｉの長さの平方は

で与えられる。
　さらに他のスカラーφに対して

をつくれば、（2-11）式で示したように、このスカラーは２つの共変ベクトル ｆ，_ｉと φ，_ｊとのつくる角に比例する。

　ここでこれらのスカラー量を

と置いて“ベルトラミ（E. Bertrami）の第１微分係数”と言うことにする。

　ベルトラミの第１微分係数は二つのベクトル　ｆ，_ｉと φ，_ｊ　あるいは　ｆ，_ｉとｆ，_ｊ　の内積によって作る“不変量”（スカラー）の様な量です。この当たりは別稿２．（５）などを復習されて下さい。

《ベルトラミの第２微分係数》

　スカラー ｆの勾配ベクトル ｆ，_ｉ（これは共変ベクトル）をさらに共変微分して得られる２階共変テンソル ｆ，_ｉ，_ｊ＝ｆ，_ｉｊ（これが２階共変テンソルであることは３．（３）［問題１］で証明した）に対して、 ｇ^ｉｊを乗じてｉ，ｊについて総和を取り縮約した

を考え、これを“ベルトラミの第２微分係数”と言うことにする。

　このとき、３．（４）２．［定理］よりｆ，_ｉｊ＝ｆ，_ｊｉであり、ｇ^ｉｊ，_ｊ＝ｇ^ｉｊ，_ｉ＝0 （３．（３）［例題１］リッチの補助定理）だから

と書ける。この形の意味は別稿３．（２）［補足説明６］などをご覧下さい。
　つまり、ベルトラミ第２微分係数は反変ベクトル ｇ^ｉｊｆ，_ｉ（下記［補足説明１］参照）の発散と見なせて、以下に述べるように“スカラー”となります。

　ベルトラミ第２微分演算は、デカルト座標系に於ける“ラプラス演算子”（ｄｉｖｇｒａｄ＝△）あるいはミンコフスキー時空座標に於ける“ダランベール演算子”□に相当するスカラー演算子であると見なすこともできます。スカラー演算子であるということの意味は別稿３．（２）［補足説明５］などをご覧下さい。
　そのときスカラー ｆにスカラー演算子を作用させてもスカラーになるだけです。

［補足説明１］
　ｇ^ｉｊｆ，_ｉが反変ベクトルとなることを示しておきます。
　３．（２）［問題３］で説明した様に　ｇ^ｉｊ　は２階反変テンソルです。また３．（２）２．（3-11）式で示した様に　ｆ，_ｊ　は共変ベクトルです。そのため両者の成分の積に於いてｉに関して総和を取り縮約したｇ^ｉｊｆ，_ｉは

となり、反変ベクトルになることが解ります。
　一般に共変ベクトル ｆ，_ｉに基本計量テンソルの逆行列テンソルすなわち“基本計量反変テンソル” ｇ^ｉｊを乗じてｉについて総和を取り縮約すると反変ベクトルになります。
　この当たりの議論の意味が解りにくい所ですが、別稿４．（４）５．や、さらに別稿２．（４）などを参照して下さい。

［補足説明２］
　ダランベール演算子については別稿３．（２）［補足説明４］や［補足説明５］に於ける

などを復習されて下さい。
　ミンコフスキー時空に於ける基本テンソルの逆行列テンソルすなわち“基本計量反変テンソル” ｇ^ｉｊの成分要素は場所的に変化しない定数でしかも対角要素以外は0となります。
　しかし一般相対性理論ではｇ^ｉｊは座標の関数となり、対角要素以外も 0 とはなりません。対称テンソルにはなりますが、16個の成分の内で10個が独立な座標の関数となります。そのために、単純な座標の偏微分ではなくて、共変微分なるものを考えなければならなくなります。
　いずれにしても、別稿最後の［補足説明３］で引用した、ミンコフスキーの業績に関するアインシュタインの説明を熟読して下さい。

［解］

　この問題の意図が良く解らないが、おそらく反変位置ベクトルｕ^ａにスカラー演算子であるベルトラミの第２微分演算を施した結果は、そのまま右辺の形の反変ベクトルになるということを言いたいのだろう。

［解］　条件式より

が言える。
　これを用いると、まず

が言える。
　同様に、上記条件の値を（3－35）式に代入すれば

が得られる。
　これは（3-34）式からも得ることができる。

ここでは２．（８）［問題１］で求めた、クリストッフェルの記号の表現式を用いている。
　あるいは、［問題１］の結論を用いてもよい。

（５）曲率テンソル

１．曲率テンソル

　反変ベクトル ｖ^ｉの２回共変微分係数 ｖ^h，_ｊk （３．（３）［例題２］参照）に対して、ｊとｋを交換したｖ^h，_kｊとの差を取れば

を得る。

　ここで

と置き、“リーマン（G.F.E. Riemann）・クリストッフェルの曲率テンソル”、あるいは簡単に“曲率テンソル”と言うことにする。
　これは２．（９）２．で説明した（2-72）式と同じものですが、この曲率テンソルは共変微分演算の交換関係からも定義することができると言うことです。
　ただし、この曲率テンソルの定義記号に関しては注意すべきことがありますので、別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（５）１．［補足説明］をご覧下さい。

　これを用いれば、（3-36）式は

と表すことができる。
　３．（３）［例題２］［補足説明］で証明した様に、左辺は（1，2）型のテンソルです。また、右辺のｖ^ｉは（1，0）型テンソル（反変ベクトル）です。Ｒ^h_ijkにｖⁱを乗じてｉについて縮約してできるテンソルが（1，2）型のテンソルですから、３．（２）６．で説明した“テンソルの商法則”により　Ｒ^h_ｉｊk は（1＋0，2＋1）＝（1，3）型の4階テンソルの成分であることが解る。

　一般にＲ^h_ｉｊk は恒等的に0ではないから共変微分はその順序に関係することが解る。つまり共変微分の順番を変えたときの違いが、空間の歪みに関係する。そのことから空間の曲率テンソルが規定されると言うことです。

　同様な関係式が共変ベクト ルｖ_ｉ　２回共変微分係数についても成り立つ。

　また混合テンソル Ｔ^h_ｉｊなどの２回共変微分係数についても成り立つ。

（3-39）、（3-40）式の証明は［問題１］でする。これらの関係式を“リッチの公式”と言う。

［補足説明］
　これは、ベクトルやテンソルを微分したとき微分の順序、つまりｊとｋ、ｋとｌの順番が重要だと言っている。空間が歪んでいない平坦な空間（つまりＲ^h_ｉｊk＝0 ）の場合には微分の順番を入れ替えても同一の微分係数が得られます。ところが、微分の順番を変えたものと変える前のものの差を作ってみてそれが零に成らなければ（Ｒ^h_ｉｊk≠0 であって）空間が歪んでいることが解ると言うことです。
　そのとき、その差には空間の歪みを表すＲ^h_ｉｊk が、元のベクトルやテンソルとの積の形で、いつも同じよう表れる。これは驚くべき事で、大発見と言ってよい。
　このことは“一般相対性理論”で重要です。そのことについては別稿《フライシュ文献４．の説明》を参照して下さい。

２．曲率テンソルの性質

　リーマン・クリストッフェル曲率テンソル Ｒ^h_ｉｊk は次の性質を満たす。

さらに次の関係式も成り立つ。

［証明］
　（3-41）式は定義（3-37）式から明らか。
　（3-42）式は以下のように証明できる。

［証明終］

　リーマン曲率テンソルに基本計量共変テンソル ｇ_ha を乗じてａに付いて総和をとり縮約したものを

と置く。これは２．（９）２．で説明した（2-78）式と同じものですが、そこと同様に“第１曲率テンソル”と呼ぶことにする。

　このようにすれば、（3-41）、（3-42）式は

となり

が成立する。

［証明］
　ここで、（3-44）と（3-46）は ｈｉｊｋ の内の ｊとｋ 、あるいは ｈとｉ の指数入れ替えに対して“交代（反対称）”であることを示しており、（3-46’）は ｈｉｊｋ の （ｈｉ）と（ｊｋ） をセットで入れ替えた場合も“対称”であることを示している。
　
（3-44）、（3-45）、（3-46）が成り立つことは、すでに２．（９）２．で第２基本量の性質を用いて証明した。
また、（3-44）、（3-46）については２．（９）３．［補足説明１］でも、リーマン曲率テンソルと基本テンソルの定義式から直接証明した。
　
　大事な所なので、（3-44）～（3-46’）式すべてを［問題２］で証明します。
［証明終］

３．リッチテンソル

　リーマンの曲率テンソル Ｒ^h_ｉｊk は（1，3）型のテンソルであるから　ｈ＝ｋ　とおいて縮約して得られる

は（0，2）型のテンソルです。これを“リッチのテンソル”と言う。［問題３］で証明するように、リッチテンソルは対称テンソルです。

　さらにリッチテンソル Ｒ_ｉｊ　に基本計量反変テンソル　ｇ^ｉｊ　を乗じてｉとｊについての総和を取って縮約して得られるスカラー

を“曲率スカラー（スカラー曲率）”と言う。

　リッチテンソル　Ｒ_ｉｊ　が基本計量共変テンソル　ｇ_ｉｊ　に比例するような空間を“アインシュタイン（A. Einstein）空間”と言う。

［例題１］　リーマンの曲率テンソル Ｒ^h_ｉｊk に対して

が成り立つことを証明せよ。この関係式を“ビアンキ（L. Bianchi）の恒等式”という。

［証明］　共変ベクトルｖ_ｉ の共変微分ｖ_ｉ，ｊ（2階共変テンソル）に対して“リッチの公式”を適用する。
　まず

が成り立つ。このことの証明は（3-40）式の証明［問題１］と同様にすれば良い。
　この指数添字ｊ，ｋ，ｌを循環的に入れ替えれば、次の３個の公式

が得られる。このとき、左辺の第１項と第２項の意味をよく考えて循環的に入れ替えると、第２式の左辺第２項と第３式の左辺第２項が上記の様にならねばならない事に注意されたし。
　次に“リッチの公式”（3-39）式

の両辺をｕ^ｌで共変微分すれば、３．（３）３．［定理］“ライプニッツの公式”が成り立つので

が得られる。ここでｊ，ｋ，ｌを循環的に入れ替えれば３個の公式

が得られる。このとき、左辺の第１項と第２項の意味をよく考えて循環的に入れ替えると、第２式の左辺第２項と第３式の左辺第２項が上記の様にならねばならない事に注意されたし。
　以上６個の公式の辺々を加えれば

が得られる。
　ここで第１項は（3-42）式によって 0 である。またｖ_ｈは任意の共変ベクトルだから第２項が常に 0 であるためには

でなければならない。
［証明終］

　（3-40）式の証明
　まず、３．（３）［問題２］よりＴ^h_ｉｊ，k は（1，3）型のテンソルです。そのとき３．（３）２．テンソルの共変微分（3-25）式を参照すると、（1，3）型テンソルの共変微分Ｔ^h_{ｉｊ，kｌ} は以下のように成る。［拡大版］

　上記の指数添字ｋとｌを入れ替えれば、全く同様にして、

が得られる。
　両者の差をつくると下記の様に大半の項が互いに打ち消し合う。

ここで、総和をとる指数添字ａとｂに関しては、項ごとでａとｂを交換した表記にしても良い事と、クリストッフェル記号について成り立つ

，等々・・・
を用いている。
　最後まで残る項のみを書き出すと以下のようになる。［拡大版］

故に

となる。
［証明終］

［問題２］　３．（５）２．で説明した“第1曲率テンソル”Ｒ_ｈｉｊｋについて成り立つ公式

を証明せよ。

［証明］　　［拡大版］

最後の表現式を用いれば３．（５）２．の（3-44）～（3-46’）が証明できる。
　後方の二つの指数添字ｊとｋを入れ替えれば符号が反転して次の式が成り立つことが解る。

　同様にして、前方の二つの指数添字ｈとｉを入れ替えたとき次の式が成り立つことが解る。

　前方のｈｉと、後方のｊｋをセットで入れ替えると符号は反転せずに次の式が成り立つことが解る。

　（3－44）と（3－46）を組み合わせて用いれば、前方の二つの指数添字ｈとｉを入れ替えと後方の二つの指数添字ｊとｋを入れ替えを同時に行えば符号が反転せずに次の（3－46”）式が成り立つことが解る。

　また、（3－44）と（3－46）と（3－46’）を組み合わせて用いれば、中のｉｊと外側のｈｋをセットで入れ替えると符号は反転せずに次の（3－46”’）式が成り立つことが解る。。

　また、計算は面倒ですが、Ｒ_hijkの後方三つの添字ｉ，ｊ，ｋを循環的に入れ替えた３個の表現を作り、それら３個を加えると次の式が得られる。

　同様に、Ｒ_hijkの前方三つの添字ｈ，ｉ，ｊを循環的に入れ替えた３個を加えると次の式が得られる。

　補足すると、３．（２）［例題２］で説明したように、（3-44）、（3-46）、（3-45’）が成り立てば、（3-46’）と（3-45）は簡単に証明できます。
［証明終］

［補足説明２］
　［問２］は“第1曲率テンソル”Ｒ_ｈｉｊｋが満たす公式に付いての説明でした。
　ところでテンソルが示す等式は座標変換に関して不変です。だからある特別な座標系で成り立つことが証明できれば、どんな座標系でもそれは成り立つ。故に任意の１点Ｐにおける局所Lorentz系で成り立つことを証明しておけば良い。（藤井1979年p102，p120、内山1978年p86）
　局所Lorentz系では計量テンソルｇ_ｉｊの座標ｕ^ｋに対する編微分係数は

と考えるとができる。もちろん今考えているのはリーマン空間だから、局所的にしかLorentz時空にできないので、ｇ_ｉｊの座標ｕ^ｋの二次以上の編微分係数は0になるとは限りません（このことの意味は別稿４．（５）３．［補足説明］参照）。
　つまり、座標の一次の編微分係数はすべて0（計量が局所的に定数で空間が平坦）にできるが、二次以上の編微分係数は残ります。そのため、前記証明の最後の式は

となります。
　この形なら、（3-44）（3-46）（3-46’）が成り立つことは容易に見取れる。また（3-45）もｉｊｋを循環的に入れ替えた３つを加えれば直ちに証明できます。

　もちろん元の式について確かめても良いのですが、その場合は項の数が多いので大変です。

［問題３］　３．（５）３．で説明した“リッチのテンソル” Ｒ_ｉｊはｉとｊについて対称であること

を証明せよ。
　この対称性の為に4次元リーマン時空（一般相対性理論の時空）での独立な成分は10個しか有りません。

［証明］ 　［拡大版］
　“リッチのテンソル” Ｒ_ｉｊは“リーマン・クリストッフェル曲率テンソル”Ｒ^h_ijk（3-37）式のｈとｋに付いて縮約したものだから

［証明終］

　上記の第２項がｉとｊの入れ替えに対して対称であることの証明に“リッチの補助定理”を使う所を補足する。３．（３）［定理］“リッチの補助定理”により

が成り立つ。故にそれぞれの積に対して

がいえる。このとき初項の係数は

となり、のｉとｊが交換可能です。これは他のすべての項の係数に対しても言えるので、結局

が成り立つ。

　さらに補足すると、上記の第２項がｉとｊの入れ替えに対して対称であることの証明に、３．（４）３．［補足説明］で求めた

を用いることもできる。
　実際（3-30）式を用いると

の様に直ちに証明できる。ただし、（3-30）式を求めるのは結構面倒です。

［別証明］
　リッチテンソルの対称性Ｒ_ｉｊ＝Ｒ_ｊｉについては平川浩正「相対論」４．（８）の証明法も簡潔で解りやすい。
　その手順を紹介すると、３．（５）［問題２］の（3-46”’）式を用います。

［証明終］

［証明］
　３．（５）［例題１］で証明したビアンキの恒等式をｈ＝ｋとおいて縮約すると

が得られる。ここで、計量テンソルを乗じてその内の一つの添字について縮約すると残りの添字を上下に移動させる効果があることと、二つの添字で縮約すると階数が2階減じる効果があることを用いている。また、同じｋでも共変微分の添字とは縮約できないことに注意されたし。
　上式にｇ^ｉｊを乗じてさらに縮約する。

　補足すると、上式は

と書かれる場合もある。
　この関係式の“重要性”については別稿７．（１）２．をご覧下さい。
［証明終］

［補足説明］
　ここの共変微分が絡んでいる項の縮約は、《３．(２）４．のテンソルの“乗法定理”》と《３．（２）５．の“縮約”》、そして《３．（３）３．の“ライプニッツの定理”》と《３．（３）［例題１］の“リッチの補助定理”》を用いて得られる下記の事実に依る。
　つまり、“リッチの補助定理”は基本計量テンソルの共変微分は常に0になると言っていたのですが、これと“ライプニッツの定理”を組み合わせると、“任意のテンソルに対する［基本計量テンソルを乗じて指数を上げ下げする操作］と［共変微分］は交換可能”です。これはとても重要な性質です。

（６）測地線

１．オイラーの微分方程式

　曲面上の２点ｘ（ｕ₁¹，ｕ₁²），ｘ（ｕ₂¹，ｕ₂²）を結ぶ曲線

の弧の長さｓは

で与えられる。

　曲線の両端Ｐ，Ｑを固定し、曲面上を少し変化させたときの曲線をＣ’ とすれば、その方程式は

で与えられる。
　ここで ε は絶対値が十分小さい定数で、λ^ｉ（ｔ）は径数ｔについてのＣからの変位を表す微分可能な関数である。そして両端は変化しないから

をみたす。
　Ｃ’ の弧の長さｓ’ は

で与えられる。
　故に、２点Ｐ，Ｑを結ぶ曲線の弧長の変化量ｓ’－ｓ＝δｓは

となる。ここで、Ｏ（ε²）は、展開に於けるεの2次以上の無限小の項を表す。
　元々の弧長Ｃの長さが最小の極値であるためには、εの係数が0でなければならないから

を満足しなければならない。これを測地線に対する“オイラーの微分方程式”という。

２．測地線の微分方程式

　（3-50）式より

となるから、オイラーの微分方程式は

となる。これを“測地線の微分方程式”と言う。

　“測地線方程式”の変分法による導出はEinsteinの1916年論文「一般相対性理論の基礎」§9（共立出版「アインシュタイン選集2」p79～81）の説明が明快です。別稿で引用していますので是非ご覧下さい。

　２径数の場合を具体的に書くと

となります。つまり、2元連立2階常微分方程式です。
　もちろん、一般相対性理論の４次元リーマン時空では4元連立2階常微分方程式に成ります。

　２．（１４）２．に於いて、測地的曲率が 0 であるような曲面上の曲線を測地線といった。そして測地線である条件（2-136）式はちょうど上の（3-54）式と一致する。よって次の定理を得る。

［定理］　曲面上の２点を結ぶ測地線弧 は、それらの２点間の最短曲線弧を与える。

［補足説明１］
　別稿で引用した説明の様に一般相対性理論では、上記の測地線の微分方程式は自由な質点がたどる軌跡の方程式となる。それはニュートン力学で与えられる直線の方程式の拡張となっている。

［補足説明２］
　2元連立2階常微分方程式（3-54）式で

と置けば（3-54）式は

となり、ｕ，ｖ，ｗ，ｚに関する１階の連立常微分方程式（つまり4元連立1階常微分方程式）となる。
　常微分方程式論により、初期条件ｕ（0），ｖ（0），ｗ（0），ｚ（0）を与えれば、つまり曲面上の１点ｐ₀ とそこでの単位接ベクトルｖ₀

を指定すれば、この形の連立微分方程式はｓ＝0の近くで一意の解を持つことが証明されている。
　また解曲線（ｕ（ｓ），ｖ（ｓ））に対応する曲面上の曲線ｘ（ｕ（ｓ），ｖ（ｓ））に対してｓが弧長に成っていることも確かめられる。

［例題１］　直円錐面ｘ²＋ｙ²－ｚ²＝0 上の“測地線の微分方程式”を求めよ。

［解］　直円錐面の径数表示は

となる。（図3-2参照）

　これから

が得られるので、第１基本量は２．（２）３．（2-9）式により

となる。
　これから、２．（８）［例題］および［問題１］に依って

となる。他は0となる。
　故に“測地線の微分方程式”（3-54）式は

第２式から

を得る。

［例題２］　ｕ²＋ｖ²＋ｗ²＝1 を満たすｕ，ｖ，ｗを用いて作った２次微分式

を線素とする曲面の測地線は、ｕとｖとの間の１次式であることを証明せよ。

［解］　ｕ²＋ｖ²＋ｗ²＝1 を微分すると

であるから、これを線素を与える式に代入して

を得る。したがって第１基本量は

となるから、２．（８）［例題］および［問題１］に依って

となる。
　故に、ｓを径数とする測地線ｕ＝ｕ（ｓ），ｖ＝ｖ（ｓ）の微分方程式は

となる。
　ここで、測地線をｖを径数として、ｕ＝ｕ（ｖ）とすれば

であることに注意して、上記の（１）、（２）式より

を得る。

［問題１］　ｕ曲線が測地線であることの条件は

であることを示せ。

［解］　２．（１４）１．の（2-135）式と測地線の定義ｋ_g＝0より、ｕ曲線が測地線であるための条件は、ｄｕ²／ｄｓ＝0であることを考慮すると

となる。
　ここで、２．（８）［問題１］に依って

となる。

［問題２］　ｖ曲線が測地線であるための条件は

であることを示せ。

［問題３］　半径ａの球面

の上の“測地線の微分方程式”を求めよ。

［解］　

となる。
　故に“測地線の微分方程式”（3-54）式は

第２式から

を得る。

（７）測地座標

１．測地座標

　曲面上の１点Ｐとその点における曲面の接方向を与え、それらを初期条件として測地線の微分方程式を解けば、ただ１つの測地線 Ｃ₀ が決まる。次にＣ₀ 上の各点を通り、これに直交する測地線も同様にして決まるから、Ｃ₀ の適当な領域を取れば、互いに交わることのない測地線群によってその領域を単純に覆うことができる。

　そしてＣ₀ 上の径数をｖ，Ｃ₀上の点から出る測地線に沿って測った長さを径数ｕに取れば、ｕ，ｖはこの領域における座標系を定める。定め方から径数曲線は直交するから、線素は

と表すことができる。
　次に、この線素を与える式を変形してみよう。ｕ曲線は測地線であるから、その測地的曲率　ｋ_gは　0　である。そのときｖ＝一定であるから、（3-55）式と２．（２）３．（2-9）式より

となる。また、２．（８）［問題１］から

である。
　そのためｕ曲線の測地的曲率 ｋ_g は２．（１４）１．の（2-135）式から

となるので、結局

となる。これはＥがｕだけの関数であることを示すものであるから

と置いて新しい径数

を用いる。これを改めてｕと書けば（3-55）式は

と書ける。線素のこのような型を“測地形式”と言い、座標系（ｕ，ｖ）を“測地座標”と言う。

２．直交截線（ﾁｮｯｺｳｾｯｾﾝ）

　２つの測地線 ｕ＝ｕ₁ とｕ＝ｕ₂ （ｕ₁＜ｕ₂）の間にはさまれた測地線（ｖ＝一定のｕ曲線）の弧長ｓは（3-56）式によって

となるから、次の定理を得る。

［定理１］　測地線Ｃ₀に直交する測地線上で、Ｃ₀ から一定の距離にある点の軌跡は、Ｃ₀ から出る測地線族に直交する曲線群となる。この曲線群を“直交截線”（チョッコウセッセン）と言う。

３．測地的極座標

　曲面上の１点Ｏにおいて曲面に接するすべての方向に出る測地線を考えれば、適当な領域において、互いに交わらない。
　これらの測地線をｕ曲線に、その直交截線をｖ曲線にとれば、点Ｏを含む適当な領域に１つの座標系が導入される。

　そのとき、線素の形は（3-55）式の様になる。したがってｕを

に取り直せば、線素の型は（3-56）式となる。そのときの座標系（ｕ，ｖ）を“測地的極座標”という。前項［定理1］によって、ｖ曲線（ｕ＝一定）は、点Ｏから測地的距離が一定な点の軌跡となる。このような曲線を“測地円”という。

　測地的極座標系では、ｖ＝0 とｖ＝ｖ₁ との間に挟まれた弧の長さは

で与えられる。
　任意のｖに対してｕ→0 とすれば、0 に近付くから

である。故に

を得る。

　点Ｏにおいて２つの測地線 ｖ＝0 とｖ＝ｖ₁ のなす角ｖ₁ に対して弧長ｓは

で与えられる。これをｕについて展開すれば（3-57）式を用いて

を得る。ここでＯ（ｕ²）はｕについて２次以上の無限小の項をまとめて表したものである。したがって

を得る。
　以上をまとめると次の定理が得られる。

［定理２］
　曲面上の適当な領域において測地座標系がとれて、“第１基本形式”が（3-56）式のように ｄｓ²＝ｄｕ²＋Ｇ（ｕ，ｖ）ｄｖ² と書け、係数が

を満たすようにすることができる。
　同様に適当な領域において測地的極座標がとれて、“第１基本形式”が（3-56）式と書け、係数が（3-58）式を満たすようにすることができる。

［例題１］　測地座標ｕ，ｖを用いて測地線の直交截線（ｖ曲線）の“測地的曲率”（ｋ_g）_ｖと“ガウスの全曲率”Ｋを求めよ。

［解］　測地座標をｕ＝ｕ¹（＝一定）、ｖ＝ｕ²としておく。（3-56）式よりＥ＝1，Ｆ＝0であるから２．（８）［例題］［問題１］によって

となる。ｕ＝＝ｕ¹＝一定に対して

であることに注意して、測地線の微分方程式を求める。そして、２．（１４）１．の（2-135）式から、直交截線（ｖ曲線）の“測地的曲率”（ｋ_g）_ｖは

となる。

　次に、２．（９）２．の（2-72）（2-78）式と（2-82）式から

が得られる。これを２．（９）３．の（2-83）式に代入して

が得られる。

［例題２］　“ガウスの全曲率”Ｋが 0 である曲面の“測地形式”を求めよ。

［解］　問題の曲面上に測地的極座標をとれば線素は（3-56）式によって

と表すことができる。そのため“ガウスの全曲率”Ｋは［例題１］によって

と表される。仮定に依ってＫ＝0だから

を得る。
　ここで、［定理２］によって

だから

となる。よって

となるから、この曲面の線素は

となる。

［問題１］　“ガウスの全曲率”が

である曲面の“測地形式”を求めよ。

［解］　仮定により

となるが、この形の微分方程式は、別稿「調和振動子」２．（２）により、

の形の解を持つことが解っている。
　ここで［定理２］よりＡ（ｖ）＝０、Ｂ（ｖ）＝ａがただちに求まるので

が得られる。

［問題２］　“ガウスの全曲率”が

である曲面の“測地形式”を求めよ。

［解］　仮定により

となる。このとき

であることを考慮すれば、前問と同様にして、上記の微分方程式は、

の形の解を持つことが言える。
　ここで［定理２］よりＡ（ｖ）＝０、Ｂ（ｖ）＝ａがただちに求まるので

が得られる。

［補足説明］
　ここの［例題２］［問題１］［問題２］の“測地形式”を持つ曲面が具体的にどの様な曲面かは、それぞれ３．（１０）の［問題１］、［問題２］、［例題］をご覧下さい。　

（８）ベクトルの平行移動

１．平行

　曲面上の 反変ベクトルｖ^ｉ （３．（２）１．参照）の共変微分（３．（３）１．の（3-22）式参照）

は、曲面が特に平面の場合、平行座標系を取れば２．（８）２．の（2-61）式とｇの定義より

となる。つまり、“平面の場合”の平行座標系では共変微分は普通の微分となる。

　いま、ベクトルｖ^ｉ と ｖ^ｉ＋ｄｖ^ｉ とが平行であれば ｖ^ｉ＝一定、すなわち ｄｖ^ｉ＝0 であるから

である。
　このことを“曲面の場合”に拡張して 共変微分 δｖ^ｉ＝0 を満たすとき、 ベクトルｖ^ｉ と ｖ^ｉ＋ｄｖ^ｉ とは互いに“平行”であると言うことにする。そのとき共変微分 δｖ^ｉ は１つの反変ベクトルであるから δｖ^ｉ＝0 は座標系に関係しない幾何学的意味を持っている。つまり曲面上に貼り付けた網目状の曲線座標系が変わっても同様に成り立つということ。

［補足説明］
　ここは非常に解りにくいので補足する。
　別稿「平行移動とリーマン幾何学」１．（２）の図

から出発する。
　まず最初は、上図は２次元ユークリッド空間（平面）に引かれた斜交曲線座標と考える。そのとき図の青矢印が場所Ｐ→Ｑまで移動したときのベクトル場Ａの変化の様子を表しているとする。この青矢印Ａ’と黒矢印Ａとの差が共変微分δｖ^ｉです。それは黒矢印Ｂと青矢印Ａ’との差のいわゆる普通の微分ｄｖ^ｉと、黒矢印Ｂから矢印Ａ_∥に戻るための微分－Γ^ｉ_ｊｋｖ^ｊｄｕ^ｋとの差です。
　ここで、さらに座標系を斜交曲線座標ではなくて、平行座標系にすれば、クリストッフェル記号の掛かる部分はすべて０となりますので文中の説明の様に、δｖ^ｉ＝ｄｖ^ｉとなります。そのときδｖ^ｉ＝ｄｖ^ｉ＝０ならば、青矢印Ａ’と矢印Ａ_∥は一致して、青矢印Ａ’は黒矢印Ａを平行移動したものと成ります。
　
　次に上図は２次元リーマン空間（曲面）に引かれた斜交曲線座標と考える。そのとき、共変微分の定義はその場合も正しい。しかし、その場合に黒矢印ＡをＰ→Ｑへ平行移動した矢印Ａ_∥がどのようなものになるのかは解りません。それは曲面上での平行移動というものがどのような状況を言うのか定義できていないからです。
　そこで、曲面上でも正しい共変微分の定義から逆にこのことを“曲面の場合”に拡張して 共変微分 δｖ^ｉ＝0 を満たすとき、 ベクトルｖ^ｉ と ｖ^ｉ＋ｄｖ^ｉ とは互いに“平行”であると言うことにする。
　ここは別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（４）と、　別稿「平行移動とリーマン幾何学」１．（５）［補足説明１］の図を御覧下さい。

２．レヴィ=チヴィタの平行性

　このベクトルの平行性について直観的な意味を考えてみる。
　曲面ｘ＝ｘ（ｕ^ｉ）（ｉ＝1，2）上の接ベクトル

（ｉ＝1，2）によって点Ｐ（ｕ^ｉ）で曲面に接する反変ベクトルｖ は

で表すことができる。

　また、曲面上の１点Ｑ（ｕ^ｉ＋ｄｕ^ｉ）において曲面に接するベクトルｖ＋ｄｖ は２次以上の無限小を省略して、２．（８）５．（2-69）式の“ガウスの方程式”を用いると

と表せる。ここで、δｖ^ｉはベクトル ｖ^ｉの共変微分［３．（３）１．（3-22）式参照］を表す。

　したがって、このベクトルｖ＋ｄｖ を点Ｐ（ｕ^ｉ）における接平面上に正射影すれば、法線ベクトルｅ の方向の成分が消えて

が得られる。
　このベクトルｖ’とＰ（ｕ^ｉ）におけるｖとの差がベクトル

であり、これが “共変微分”δｖ^ｉの幾何学的意味です。

[定義]
　したがって、　共変微分 δｖ^ｉ＝0　であることは、Ｐ　で曲面に接するベクトルｖ と　Ｑ　で曲面に接するベクトルｖ＋ｄｖ の　Ｐ　への接平面上への正射影したベクトルｖ’ とが互いに平行になると言うことです。これがレヴィ=チヴィタ（Levi-Civita）の与えた平行性の直観的な意味です。
　共変微分 δｖ^ｉ＝0 によって定義されるベクトルの平行性を“レヴィ=チヴィタの平行性”という。

３．平行移動

　Ｃ上の１点ｕ₀^ｉ＝ｕ^ｉ（ｔ₀）（ｉ＝1，２）におけるベクトルｖ₀^ｉ＝ｖ^ｉ（ｔ₀）を与え、これを初期条件として常微分方程式（3-62）式を解いて、Ｃ上の任意の点における解 ｖ^ｉ（ｔ）が得られる。このベクトルはＣに沿ってベクトルｖ₀^ｉ を平行に移動したベクトルである。
　このとき図3-6の様に、曲面上のベクトルの“平行移動”はその道に関係する。

　例えば、曲面上で径数曲線によって作られる微小平行四辺形ＰＱＲＳの頂点を

の様に取るとすると、道Ｐ→Ｑ→Ｒを通って平行移動して得たベクトル V_PQRと、道Ｐ→Ｓ→Ｒを通って平行移動して得られたベクトルＶ_PSRとの差は、３．（５）１．の（3-36）式と（3-37）式により（つまり“リッチの公式”（3-38）式により）

となる。ここの内容のもう少し詳しい説明は別稿「テンソル解析学（絶対微分学）」６．（５）２．“平行移動と曲率テンソル”をご覧下さい。
　ここの証明から、共変微分の微分の順序の入れ替えが、ベクトルの平行移動に於けるベクトル偏差とどの様に関係するのかが良く解ります。

　このことを用いれば、一般的に曲面上の微小な単純閉曲線に沿って、ベクトルｖ^ｉ を“平行移動”で１周させたとき、始めと終わりのベクトルの差は

となり、曲率テンソル Ｒ^h_ｉｊk で表すことができる。
　つまり、曲面上の小さな閉曲線に沿ってベクトルを“平行移動”によって一周させてみれば、一周したベクトルの前後の違いから曲面の曲がり具合が決定できると言うことです。

［補足説明１］
　図3-7についてもう少し補足しますと、図中の曲線が“測地線”であれば、広義の“平行移動”の場合、ベクトルと移動が沿っている測地線とは同一角度を保ちます。しかし、広義の“平行移動”でも、それが沿う曲線が測地線ではない場合ベクトルと移動曲線のなす角は一定値を保ちません。このことにつきましては別稿３．（８）４．［補足説明］や別稿６．（４）２．［補足説明］で注意しました。
　そのとき、上図の移動経路Ｐ→Ｐ₁→Ｐ₃とＰ→Ｐ₂→Ｐ₃のそれぞれが測地線の場合、その移動曲線とベクトルのなす角は一定値を保ってＰ₃まで平行移動しますが、その場合でも空間が曲がっている場合には2つの経路で移動後の2つのベクトルが一致しないことが生じると言っているのです。これは別稿「平行移動とリーマン幾何学」１．（３）［補足説明］で取り上げた簡単な例からも明らかです。
　
　ここで何が言いたいのか解りにくいが、ここの結論は“一般相対性理論”で重要です。そのことについては別稿《フライシュ文献４．の説明》を参照して下さい。

［補足説明２］
　L. Infeld は“アインシュシタインの思い出”の中に、プリンストン高等研究所でのアインシュタインとレビィ=チヴィタの交流の様子を書き残しています。とても興味深い思い出話なので別稿で引用しておきます。

４．平行移動で成り立つ性質

［定理１］　曲線Ｃに沿っての“平行移動”によって、ベクトルの長さ、および２つのベクトルの間の角は不変である。

［証明］　ベクトルｖ^ｉ，ｗ^ｉ を曲線Ｃ：ｕ^ｉ＝ｕ^ｉ（ｔ）にそって平行移動すれば

である。
　そのため、ｖ^ｉ の長さを |ｖ| として、３．（３）［例題１］の“リッチの補助定理”を用いれば

が言える。つまり、 |ｖ| は不変となる。まったく同様にして、ｗ^ｉ の長さを |ｗ| とすると |ｗ| が不変であることが証明できる。
　そのため、 ｖ^ｉ と ｗ^ｉ のなす角を θ とすれば、２．（２）３．の（2-11）式と、平行移動であることの条件式を用いれば

であることが言える。故に θ も一定である。

［証明終］

［定理２］　曲線が測地線であるための必要十分条件は、その接線ベクトルがその曲線（測地線）に沿って“平行に移動”すると常にその曲線の接線ベクトルとなることである。

［証明］　曲線Ｃが測地線であるとき、径数ｓに対して３．（６）２．測地線の微分方程式（3-54）式によって

が成り立つ。
　ところが

は測地線の“単位接線ベクトル”であるから、測地線の接線はその測地線に沿って平行であるといえる。
　つまり、３．（８）２．の“レヴィ=チヴィタの平行性の条件”が

の様にして成り立っていると言うこと。
［証明終］

［注意］
　３．（３）の（3-22）式で説明した様に、上記証明の最後に得られた式は、反変ベクトルｖ^ｉのｄｕ^ｊ方向への“共変微分”δｖⁱがゼロである事を表している。つまり、“測地線方程式”はその事を意味している。
　このことに付いてはランダウ・リフシュツ「場の古典論」§87の説明も参照されたし。

［定理３］　測地線に沿って“平行に移動”するベクトルは、測地線と常に一定の角をなす。

［補足説明１］
　ここで重要な補足です。
　リーマン空間内における任意の曲線に沿ったベクトルの平行移動で、その曲線と平行移動するベクトルのなす角がその平行移動で常に一定値を保つかということですが、これは一般に成り立ちません。
　そのことが、成り立つのはベクトルが沿って移動する曲線が“測地線”である場合だけです。上記の［定理２］や［定理３］はその事を言っています。くれぐれも、そのことが一般の曲線についても成り立つと勘違いしないで下さい。

［補足説明２］
　さらに重要な補足です。
　リーマン空間内における任意の曲線を多数の点で分割し、その隣り合った点の間を測地線で結ぶことはできます。測地線とは任意の２点間を最短距離で結ぶ線の事ですから。だから任意の２点を結ぶ（測地線ではない）任意の曲線も微小な測地線の連なりで近似できます。
　故に、任意の曲線に沿ったベクトルの平行移動は、その様な微小測地線を連ねたもので近似して、その各微小測地線上を移動するときに測地線と一定の角をなすようにベクトルを移動させます。そして、隣の微小測地線に沿った移動に次々と引き渡せば良いのです。そうして次々と隣り有った測地線を渡り歩きながら平行移動してゆけば良い。
　そのようにして実現される平行移動は当然最初の任意曲線に対する平行移動なのですが、移動するベクトルと曲線のなす角は連続的に変化していくことになります。

［例題］　ｕ^a曲線（ａ＝1 または 2）の単位接線ベクトルが与えられた曲線Ｃにそって“平行”であるための条件は、Ｃが方程式

を満たすことである。

［解］　接平面上のベクトルｖ は基本ベクトル

の１次結合

で一意に表され、その長さは

である。
　いまｖをｕ¹曲線、またはｕ²曲線の単位接線ベクトルと考えれば、それぞれｖ¹＝0，ｖ²＝0 の場合となるから、その成分は

となる。曲線Ｃ：ｕ^ｉ＝ｕ^ｉ（ｔ）にそって“レヴィ=チヴィタの意味で平行”であれば３．（８）３．の（3-62）式によって

を満たす。そこで

（１）ａ＝1，ｂ＝2の場合
　ｖ²＝0であるから（１）式を（２）式に代入して

を得る。
　そこで、ｉ＝2（＝ｂ）（ａ＝1）とすると、δ₁²＝0から

が得られる。
　次にｉ＝1（＝ａ）の場合には、上の条件より

が得られる。

（２）ａ＝2，ｂ＝1の場合
　同様にして

が得られる。よって求める条件は

である。

［問題１］　曲面上の曲線ｕ^ｉ＝ｕ^ｉ（ｔ）に沿って“平行”なベクトルの共変成分ｖ_ｉは

を満たすことを示せ。

［解］　３．（３）１．の共変ベクトルの“共変微分”の定義（3-24）式と、３．（８）２．のベクトルの“平行性”の定義から明らか。

［問題２］　曲面上の線素が

の形をしているとき、ｕ^a曲線（ａ≠0）の接線はｕ^b曲線に沿って“平行”であることを示せ。

［解］　ｕ¹曲線の接線がｕ²曲線にそって平行であることを示す。ｕ¹曲線の単位接線ベクトルの成分は（1，0）であるから、３．（６）２．の測地線の方程式（3-54）式より

である。
　ところで、問題の条件式より、ｇ11＝ｇ22＝1，ｇ12＝cosｗだから

となる。同様に

が言える。
　ｕ¹とｕ²を逆にして考えれば同様のことがいえるので、ｕ^a曲線（ａ≠0）の接線はｕ^b曲線に沿って“平行”であることが言える。

（９）曲線の展開

１．展開

　曲面：Ｓ上に１つの曲線Ｃ：ｕ^ｉ＝ｕ^ｉ（ｔ）が与えられているとき、Ｃ上のすべての点で曲面に接する接平面を考えれば、径数ｔに関する接平面群が得られる（図3-9）。

　そのとき、これらの接平面群は１つの“包絡面”を作り、その包絡面はＣにそって元の曲面に接している。さらにその包絡面は２．（１３）で述べた“線織面”（ｾﾝｼｷﾒﾝ）となるので、そこで述べたように包絡面は“可展面”となり平面上に展開することが出来る。
　この様に、曲面上の曲線に沿って包絡面を作り、これを平面上に広げれば、曲線は平面上の曲線となる。この平面上の曲線を、曲面上の曲線の“展開”という。

　前節３．（８）２．で見たように、Ｃに沿って曲面Ｓに接するベクトル場ｖ（ｔ）が“レヴィ=チヴィタの意味で平行”であるというのは、点（ｕ^ｉ）における接平面に、近接する点（ｕ^ｉ＋ｄｕ^ｉ）のベクトルｖ＋ｄｖ　を正射影したとき接平面上にできるベクトルが、点ｕ^ｉ（ｔ）におけるベクトルｖ（ｔ）と普通の意味で平行である事であった。
　先に述べたベクトル場ｖ（ｔ）は（ｕ^ｉ（ｔ））における接平面上のベクトルであった。ところで、曲面Ｓと上記包絡面とは曲線Ｃに沿って接しているから、ベクトル場ｖ（ｔ）は包絡面に接するベクトル場でもある。そのためベクトル場ｖ（ｔ）は包絡面上でもＣに沿って“レヴィ=チヴィタの意味で平行”である。したがってこの包絡面を１つの平面に“展開”すれば、Ｃがうつされた曲線

に沿って普通の意味で平行なベクトル場である。以上をまとめると次のように言える。

“レヴィ=チヴィタの意味で平行”なベクトル場が曲面上の曲線に沿ってあったとき、この曲線上のすべての点における接平面族の包絡面（可展面）上で“レヴィ=チヴィタの意味で平行”で、包絡面を平面上に広げたとき、この平行なベクトル場は、平面上で普通の意味で平行なベクトル場となる。

　展開によって、曲面の曲線上の１点における径数曲線の接ベクトル

も平面上のベクトルとして展開される。この様に展開された曲線とベクトルｘ_ｉは、連立微分方程式

を平面上で解いたときの解として得られる。

２．例

　半径ａ、中心Ｏの球面上の小円Ｃ上の１点Ａで、Ｃに垂直な接ベクトルｖ を考える。

このベクトルをＣに沿って球面に接しながらレヴィ=チヴィタの意味で平行に移動させてＣを一周させる。再び帰ってきたときの接ベクトルｖ’ を求めてみる。
　Ｃに沿っての接平面族はＣで球面に接する直円錐面を包絡する。直円錐面の頂点をＶとし、∠ＶＯＡを θ とする。円錐面を平面に展開すると、Ｃは半径ａ tan θ で中心角 2πcos θ の扇形の弧となる。

Ｃを平面に展開したときの長さは2πａｓｉｎθだから、扇形の頂角は

となる。ｖとｖ’ は普通の意味で平行であるから、ｖ’ と半径ＶＡ’のなす角は 2πcos θ となる。よってｖ’ は元の球面上においてｖを2πcos θ だけ回転したベクトルとなることが解る。

［例題１］　曲面上の測地線の“展開”は直線であることを示せ。

［解］　測地線をｕｉ＝ｕｉ（ｓ）とすれば、それは３．（６）２．の（3-54）式により

を満たす。そして、その展開は（3-63）式の連立微分方程式

を解いて得られる。
　（２）式を微分したものに（３）を代入し、さらに（１）式を用いれば

が得られる。
　この解は

となる。これはａ，ｂを定ベクトルとする直線の方程式です。

（10）等長変換

１．等長変換

　２つの曲面Ｓと曲面

の線素をそれぞれｄｓ²と

とすると、Ｓと

の間に１対１連続な写像φがあって、対応点における線素が常に等しいとき、すなわち

であるとき、φを“等長写像”という。
　このような対応が付けられる２つの曲面を“等長”である、あるいは、互いに他の上に“展開可能”であるという。
　例えば、合同な平面は等長であるが、合同でなくても、平面と円柱面、又は円錐面は等長である。

［定理］　２つの曲面が“等長”ならば、対応点における２つの曲面の“ガウスの全曲率”は等しい。
　これが、（2-83）式で説明した“ガウスの驚異の定理（Theorem egregium）”の元々の形です。

［証明］

　したがって、線素を

とおけば

であるから

となる。ところが、２．（９）３．の（2-83）式で見たように“ガウスの全曲率”は第１基本量ｇ_ｉｊとその２階までの偏微分係数で表されるから、対応点におけるガウスの全曲率は等しい。
　すなわち、ガウスの全曲率Ｋは等長変換（等長写像）で不変に保たれる。つまり、曲面を（伸縮することなく）任意に変形しても（つまり曲げたりたわましたりしてその曲面形状を変えても）、曲面上の任意の点のガウス全曲率 1／Ｒ₁・Ｒ₂ は変化しないと言うこと。この大定理はガウスの曲面論の大論文（1827年）§12で発表された。詳細は文献８．をご覧下さい。
［証明終］　

［補足説明１］
　ここは何を言っているのか解りにくいので補足します。
　２．（９）３．［定理］で説明したように、ガウスの全曲率は、第１基本量およびそれらの偏微分係数だけで表せるのでした。だから、ｕ^ｉの関数としてのｇ_ｉｊ（ｕ，ｖの関数としてＥ，Ｆ，Ｇ）が値を変えない、つまり長さを変えない、範囲で空間の曲面に変形を施しても、ガウスの全曲率は不変であると言うことです。
　さらに、３．（６）１．で測地線を説明したとき、測地線とはその曲線に沿って積分した距離ｓが、その近傍の曲線に沿って積分した距離に対して極値を取る（つまり積分の変分を0にする）ような曲線でした。だからある曲線が曲面上の測地線であるという性質も曲面の等長変換で不変に保たれます。
　ガウスの曲率や、測地線の様に、曲面の“等長変換（等長写像）”で保たれる曲面の性質があるのだと言うことです。
　
このことは、ガウス自身が自分の1827年論文を概説したゲッチンゲン学報（1827年11月5日）で明確に説明しています。

　ガウスの全曲率が定数に等しい曲面を“定曲率曲面”と言う。定理によれば、２つの曲面が等長で１つの曲面が定曲率ならば、他方も同じように定曲率曲面である。球面や、次に述べる擬球面などは定曲率曲面の例である。

［例題］　“ガウスの全曲率”が

である曲面は、擬半径 ａの“擬球面”に“等長”であることを示せ。

［解］　３．(７)［問題２］において、Ｋ＝－1／ａ² である曲面の線素は測地座標

を用いると

となることが示されている。そこで擬半径 ａの“擬球面”の線素を求めこれが上記の線素と等しいことを示せば良い。
　擬球面はｘｙ平面上の追跡線tractrix（犬曲線）をｚ軸のまわりに回転してできる回転面である（図3-12）。追跡線とは、図3-11 のように、その上の任意の１点Ｐにおける接線が接点Ｐとｚ軸との交点Ｑによって切り取れられるとき、切り取られる線分ＰＱが常に一定（≡ａとする）である曲線の事です。これは最初Ｓに居た猟犬が、ｚ軸上を逃げる獲物を、獲物との距離を一定（＝ａ）に保ちながら追跡する軌跡なので追跡線と呼ばれている。

　ｘｚ平面上の追跡線の勾配は

と表される。接線がｚ軸の正方向となす角をｔとすれば、この微分方程式は以下のようにして解ける。

　故に、ｘｚ平面上の追跡線は

で与えられる。
　これをｚ軸の回りに回転してえられる回転面、すなわち擬半径 ａの“擬球面”の方程式は

となる。θ はｚ軸のまわりの回転角です。
　したがって擬球面の線素ｄｓは

となる。

なる対応をつければ

となるから

となり

を得る。

［補足説明］
　球面の全曲率Ｋ＝1／ａ² は至るところ正で一定です。これに対して追跡線（犬曲線）をｚ軸（漸近線）のまわりに回転してできる曲面は、至るところ負で一定の全曲率Ｋ＝－1／ａ² を持つ。全曲率が一定な球面になぞらえて、これを擬球面と呼んでいる。
　Ｅ．Beltoramiが非ユークリッド幾何学のモデルとして使用したのでベルトラミの擬球とも呼ばれる。実際、ボリア（Johann Bolyai, 1802～1856）とロバチェフスキー（Nicolai Ivnovitch Lobatchevski, 1793～1856）が見出した非ユークリッド幾何学は、測地線を直線とみれば、この擬球の上の幾何学と同等であることが示される。非ユークリッド幾何学がユークリッド幾何学と同じく矛盾を含まない幾何学であることは、このようにユークリッド幾何学の中に非ユークリッド幾何学のモデルを作って示された。
　ところで、発表されることは無かったが、ガウスもこの曲面を反球面と名付け、非ユークリッド幾何学との関係に気付いていたようです［別ページの補足引用２の 2）参照］。

［問題１］　ガウスの全曲率 Ｋが 0 である曲面は、局所的に平面と等長であることを示せ。

［解］　　３．(７)［例題２］において、Ｋ＝0である曲面の測地形式は

であることが示されている。
　これは平面上での極座標による線素の式と同一であるから、局所的に平面と等長である。

［問題２］　ガウスの全曲率 Ｋが性の定曲率 1／ａ² （ａ：定数）である曲面は、半径ａの球面と局所的に等長であることを示せ。

［解］　３．(７)［問題１］において、Ｋ＝1／ａ²である曲面の測地形式は

となることが示されている。
　これは、半径ａの球面の線素の式と同一であるから、局所的に球面と等長である。。

（11）ガウス・ボネの定理

１．グリーンの定理とモンジュの公式

　微分幾何学には、曲線、曲面または空間の１点の近傍に関する性質、いわゆる小域的性質を研究の対象とする小域の微分幾何学と、曲線、曲面または空間自身の全体としての性質を研究の対象とする大域の微分幾何学がある。
　この節で述べる“ガウス・ボネ(Gauss-Bonnet）の定理”は、微分積分学の“グリーンの定理”の１つの応用であって、曲面の大域の微分幾何学を代表する定理です。
　具体的には、この定理はユークリッド平面幾何学の基礎的定理“三角形の内角の和は２直角に等しい。”や、球面幾何学の定理“球面三角形ＡＢＣの面積はその球面過剰、すなわちＳ＝ａ²（Ａ＋Ｂ＋Ｃ－π)［ａ：球の半径、Ａ、Ｂ、Ｃ：頂角］に比例する。”の拡張になっている。
　まず、微分積分学に登場してくるグリーンの定理に注意しよう。

［定理１］　ｘｙ平面上で有限個のなめらかな曲線の弧からなる単純閉曲線 Ｃによって囲まれた有限な閉領域をＤとする。Ｄ上でｘ，ｙの関数、Ｐ，Ｑ，∂Ｐ／∂ｙ，∂Ｑ／∂ｘが連続であるとする。
　Ｃに沿っての線積分を、Ｄの内部を左に見るような向きにするとすれば

が成立する。これを“グリーンの定理”と言う。

［定理２］　曲面Ｓ上の単連結な領域 Ｄにおいて直交する径数曲線がとれるものとする。Ｄの曲線Ｃがｕ曲線となす角を θ とし、曲線Ｃ、ｕ曲線、およびｖ曲線の“測地的曲率”をそれぞれ k_g、（ｋ_g）_u、および（ｋ_g）_v とすれば

が成り立つ。これを“モンジュの公式”と言う。

２．ガウス・ボネの定理

［定理３］　Ｃ²級の曲面上に、ｍ個のＣ²級曲線Ｃ₁，Ｃ₂，･･･，Ｃ_m からなる単純閉曲線 Ｃによって囲まれた、向きのついた単連結で有界な領域をＤとする。Ｃ²級曲線弧の接合点における２つの曲線弧のなす内角をａ₁，ａ₂，･･･，ａ_mとすると

が成り立つ。これを“ガウス・ボネの定理”という。

　ここで、ｓはＤ向きに従うようにＣに向きを付けたときの弧長、ｋ_g はＣの測地的曲率、Ｋはガウスの全曲率、

はＣの向きにしたがって１周する線積分、ｄσ はＤの面素

を表す。

［証明］
（１）Ｄが１つの測地座標近傍の中に入る場合
　測地座標をｕ，ｖとすれば、線素は３．（７）１．の（3-56）式によって

と書ける。
　測地座標の径数曲線は直交するから、ｕ曲線の接線方向からＣの接線方向へＤの向きにしたがって測った角をθとすれば（図3-14）、２．（１４）［例題１］と同様に考えて

が得られる。
　ｕ曲線は測地線であるから、（ｋg）u＝0である。（3-65）式に上記の関係を代入すると

が得られる。
　次に、３．(７)［例題１］の（3-59）式、（3-60）式によってガウスの全曲率Ｋは

となる。
　こごで、グリーンの定理（3-64）式において、Ｐ＝0，Ｑ＝

と置けば、（3-67）式によって

となる。
　この左辺は（3-68）式によって

と表される。したがって

を得る。

（２）Ｄが１つの測地座標近傍の中に入らない場合
　Ｄを有限個の単連結な部分領域Ｄ₁，Ｄ₂，･･･，Ｄ_f に細分し、その各々が１つの測地座標近傍に入るようにする。Ｄ₁，Ｄ₂，･･･，Ｄ_f にはＤとおなじ向きをつけ、それぞれの範囲Ｃ₁ゃ，Ｃ₂’，･･･，Ｃ_f’ にはＤ₁，Ｄ₂，･･･，Ｄ_f のそれぞれにしたがった向きをつける（図3-15）。

　仮定により、各Ｄ_ｉ（ｉ＝1，･･･，ｆ）は測地座標近傍に入るから（１）により各Ｄ_ｉで

が成り立つ。ここでα_ｉｊはＤ_ｉの周Ｃ_ｉ’上の２つの弧の接合点における内角を表す。
　この関係はｉ＝1，･･･，ｆに対して成り立っているからｆ個の関係式を加えると

となる。
　ｋ_g は曲線の向きと領域の向きによって定まり、曲線の向きが反対であれば絶対値が等しく符号だけが異なる。
　Ｄvの細分に用いた分割曲線は、接する小領域の境界として、向きが反対となるように向きづけられるから、このような境界上でｋ_g は互いに消し合う（図3-16）。

したがって、Ｄの境界Ｃの部分の積分だけが残るから

となる。
　次に、

を求める。Ｄ₁，Ｄ₂，･･･，Ｄ_f の角点（頂点)となる点の個数をｖ個、そのすちＣ上にあるものをｍ個とする。Ｄ₁，Ｄ₂，･･･，Ｄ_f の隣接する２つの頂点間の曲線弧（辺）の全体をｅ個とする。Ｄkの頂点の個数と辺の個数は一致するから、Ｄの内部の辺は２つの小領域に共通である。

は各頂点についての総和であり、各々の小領域の頂点の個数の総和は２ｅ－ｍ個だから

である。さらに、Ｄの内部にある頂点の周りの内角の和は２πであり、Ｃ上の１頂点で接する小領域のこの頂点での内角の和は、Ｃにおけるこの点でのＤの内角となる。したがって

である。
　（3-71），（3-72），（3-73）式を（3-70）式に代入して

が得られる。
　Ｄの曲線弧を辺として曲線多角形に分割したとき、頂点の数ｖ、辺の数ｅ、面の数ｆ の間には

の関係がある（証明は別稿「キルヒホッフの法則（電気回路における）」２．を参照）。一般に

とおいて、χ(Ｄ) をＣ²級曲線による分割によってできた図形Ｄのオイラーの特性数（標数）と言い、分割の仕方にかかわりなく決まる数です。今は単連結で有界な領域ですからχ(Ｄ)＝1です。
　（3-75）式により（3-74）式は

となる。
　ここで、

を曲面上のＤにおける積分曲率と言う。
［証明終］

［補足説明］
　ある読者の方から教えていただいた“オイラーの特性数（標数）”についての補足です。
　Ｄが単連結で有界なハンカチの様な領域ならχ（Ｄ)＝1ですが、Ｄがスカートの様な穴が１つ開いた領域のときはχ(Ｄ)＝0、Ｄがズボンの様に穴が2つ開いた領域ならχ(Ｄ)＝-1、Ｄがセーターの様に穴が三つあいた領域ならχ(Ｄ)＝-2となります。

　それぞれの図形で頂点の数ｖ、辺の数ｅ、面の数ｆ の数を数えてみられたらそうなることが解ります。図では簡単な分割例を示していますが、もっと細かく分割しても同様です。
　同じ読者の方からガウス・ボネの定理に関係した面白い論文を教えていただきました。これを読むと“ガウス・ボネの定理”の本質が良く解ります。別ファイルで引用紹介していますのでご覧下さい。特に最後の付録は興味深いので下記に引用。

［例題１］　曲面上のｍ個の測地線弧からなる曲線Ｃで囲まれた単純閉領域 Ｄを“測地的多角形”という。各頂点における内角をａ₁，ａ₂，･･･，ａ_m とすれば

が成立することを示せ。

［解］　Cは測地線弧をつないだものであるからＣ上ではｋg＝0です。そのため、［定理３］の（3-66）式により

が得られる。
　特にｍ＝3の場合は、次のガウスの定理が得られる。

［定理４］　測地三角形ＡＢＣの“積分曲率”は、三角形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃにおける内角を同じ記号Ａ，Ｂ，Ｃで表すと

で与えられる。
　これは測地三角形の内角の和が、全曲率を三角形上で積分した値のみに依存すると言う驚くべき定理です。これはGaussが1827年に発表した論文『曲面の研究』に載っており、これを“ガウスの定理”と言う。

［問題１］　（3-75）式は分割の仕方に関係なく成り立つ事を証明せよ。

［問題２］　“ガウスの定理”を利用して、次の定理を証明せよ。
　（１）平面三角形の内角の和は２直角に等しい。
　（２）球面三角形の面積は球面過剰Ａ＋Ｂ＋Ｃ－πに比例する。
　（３）擬球面上の測地三角形の面積は角不足π－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）に比例する。
もちろん、これらの三角形は全て測地線を辺とする“測地三角形”のことです。

［解］
（１）平面のガウスの全曲率Ｋ＝0 だから、ガウスの定理により

となる。

（２）球面のガウス全曲率Ｋ＝1／ａ²（＝一定）だから、球面上の測地三角形の面積をＦとすれば、ガウスの定理により

となる。
　球面上の大円を辺とする測地三角形（例えば赤道と２つの子午線で囲まれた下図の様な三角形）を計算してみると確かに上記の関係式を満たしている。

つまり、この例ではφが二直角（π）からの余剰となる。
　また、図中に示す３つの大円からなる三角形Ａ’Ｂ’Ｃ’に対しても同様なことが言えるのだが、その三角形の大きさを縮小して面積Ｆを零に近づければ三角形の内角の和とπとの偏差Ａ＋Ｂ＋Ｃ－π＝Ｆ／ａ² は（ａ＝一定ならば）Ｆ→0 とともに限りなく 0 に近付くことも、この式は示している。

（３）擬球面のガウス全曲率Ｋ＝－1／ａ²（＝一定）だから、擬球面上の測地三角形の面積をＦとすれば、ガウスの定理により

となる。
　擬球面上に測地三角形を描くのは難しいが、（２）の例と同様な関係を示している。

［補足説明］
　ここで説明されているように、現実の空間に３地点を取り、それらを光学的に見通してそれらの地点の間の内角を測定し、その和がπよりどれだけずれるかで、現実の空間が球面的か、ユークリッド的か、擬球面的かが判定できる。
　実際、ガウスはホーヘンハーケン、ブロッケン、インゼルスベルクの山頂に設置した三角点標識からなる大三角の内角を測量してこのことを確かめようとした。しかし、それらの内角の和とπとの差は観測誤差の中に埋もれていて確認できなかったようです。（ガウス『曲面についての一般研究』（1827年）§28参照）
　ガウスは現実の土地測量に深く関わっていたし、非ユークリッド幾何学の思索を深く進めていました。そして実際に測量する地表は球面上の三角形で測量していくわけですから、地球の球対称の重力場に拠って現実の空間が球対称的に歪んでいるかもしれないと思っていたのでしょう。その様に考えると後のアインシュタインの一般相対性理論的な思想を持っていたわけですから、驚くべき先見性ですね。このことに付いては別稿p121［補足説明２］もご覧下さい。

　一般相対性理論による地球重力場に伴う空間の曲率を利用して計算したこの角度偏差は10^-15ｒａｄ程度

ですから、これは現代の観測技術を持ってしても検出不可能です。ただし、現在では太陽重力による太陽系レベルの大きさの空間の歪みならば検出可能です。別稿の“光の湾曲”や、“シャピロの実験”などをご覧下さい。
　いずれにしても、測量士は地表面を離れることなく、三角形の内角を測定したり、円周の長さと半径の長さを測定して比較することで、表面の幾何学が球面かどうかを知ることがてきる。つまり測量士が居る空間の曲率を、その空間内の測定から計算できるのです。
　そのとき、実際は光線が曲がって進んでいるために内角の和がπではないのかも知れません。また物指し棒の長さがそれを置く方向によって延び縮みしている為に円周の長さと半径の長さの比が2πに成らないのかも知れません。しかし、そういった光線の曲がりや、物指し棒の伸び縮みこそが空間が歪んでいることの表れなのです。（この言い方は誤解を招きやすい。このことの正確な意味は別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変微分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」４．をご覧下さい。）

END（参考文献）

　この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝！
　引用したテキストでは、練習［例題］［問題］の解答は省略されるか略解が示されているだけです。そのため、文中の［解］は私が解いたものが多いのですが、勘違いしているのではないかと疑問に思う所も多くて、今後時間を掛けて改善するつもりです。
　テンソル解析の（特に共変微分が絡んだ）計算は指数添字の取り扱いがとても面倒で、私は何度も計算間違いをしました。また、問題を解く過程で“アインシュタインの規約”の有り難さをイヤと言うほど実感しました。未踏の領域を切り開いていったアインシュタインの苦労は大変なものだったでしょう。