アインシュタインは1915年に一般相対性理論を完成するのですが、ここではその完成に至るまでのアインシュタイン自身の模索過程(1907年〜1914年)をたどります。
この歩みを始める出発点となった特殊相対性理論については別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」をご覧下さい。特殊相対性理論を学ぶのに1905年の原論分に勝るものはありません。
そのとき、特殊相対性理論(1905年論文)を学ばれた後に、アインシュタインが1916年(一般相対性理論を完成した翌年)に書いた一般向け啓蒙書“U¨ber die spezielle und allgemeine Relativita¨tstheorie”邦訳名『我が相対性理論』(新版『特殊および一般相対性理論について』)の第1部を読まれることを勧めました。
ここでは、その第1部に続きまして第2部を最初に読んでおかれることを勧めます。一般相対性理論への導入として、この啓蒙書の第2部に勝るものはありません。
一般相対性理論は数学的に極めて込み入っており理解するのが非常に難しい。そのため、最初にこの第2部を読まれるのが良いと思います。もちろん、Born文献6の第Z章をお読みになるのも有益ですが、これはアインシュタインの文献3.第2部を踏襲したものです。その主なところは上記文献の第2部引用稿中の()書きの節で引用・紹介していますので、とにかく文献3.第2部をお読み下さい。
それをお読みになられた後に以下の順番で進まれることを勧めます。
[補足説明1]
改造社「アインスタイン全集」から引用した論文を読まれるときには下記のPaisの注意に留意されたし。
上記の注意の中で、特に座標成分に関してですが、反変成分であるので dxμ や ∂xμ と記すべきです。それにもかかわらず dxμ や ∂xμ と記す事をかなり後の論文まで(1922年のプリンストン大学四講義録に於いてさえも)続けています。
この点については、共立出版社「アインシュタイン選集」から引用した論文はすべて修正されています。
また、Σ記号を省略する“アインシュタインの規約”による表現は1916年3月の総説論文[A3]以降について言えるだけですから注意されて下さい。
さらに補足すると、クリストッフェルは今日と違う記号を用いたのですが、アインシュタインはクリストッフェルの用いた記号を踏襲しています。すなわちの記号を用いた。
この点についても、共立出版社「アインシュタイン選集」から引用した論文はすべて今日の記号に修正されています。
アインシュタインはシュタルクの要請を受けて、彼が発見した特殊相対性理論の総説論文を1907年に書きます。
A.Einstein, “U¨ber das Rela¨tivitatsprinzip und die aus demselben gezogenen
Folgerungen”, Jahrbuch der Radioaktivita¨t und Elektronik, vol.4, p411〜462,
vol.5, p98〜99, 1907年12月,
(https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-doc/468)
(https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/266)
この論文は改造社「アインスタイン全集」第1巻 2番目論文「相対性原理とそれから導かれる結論」として邦訳版があります。
この論文の第X章で、後の一般相対性理論に繋がる最初の着想を説明しています。とても興味深い内容なのでこの説明から始めます。
この論文をお読みになるとき、Paisの解説第9章p233〜を別Windowsに表示して平行して読まれる事を勧めます。Pais文献中に青色でマークした「アインシュタインの言葉」は下記引用文でも青色でマークしてあります。
アインシュタインは、この論文の最初に記されている着想が生まれた状況を、1922年の京都講演(別稿のp84〜)で語っています。ここは引用されることが多い有名な箇所ですが、この事の重大性はなかなか理解しがたい。文献6.の「一般相対性理論の起源についてのノート」などをご覧いただくのも良いかもしれません。
以下の訳文は改造社「アインスタイン全集」第1巻 2番目論文より引用。
この論文の段階では一様に加速される系に限られていることに注意されて下さい。つまり加速度が時間的に変化する分けではありません。
ここがPais文献7のp233で言っている1.等価原理 の所です。ここは、Pais文献7のp230のモーガン原稿の説明を参照して下さい。
ここの意味は解りにくいが、おそらく次のことを言っているのだろう。
特殊相対性理論によると物体の変形(進行方向の収縮)は速度に依存した。だから速度が存在すれば物体の変形があるのだが、加速度が積算しないと速度の変化とならない。だから(進行方向の収縮は)各瞬間の速度には依存するだろうが、加速度そのものへの依存の影響は考えなくて良いであろう。
上記の式はおそらく別稿「双子のパラドックスと一般相対性理論」5.(4)1.と同じ様な考察で求めたのだろう。
注(1)は gh ではなく、GM/r の場と言うこと。両者の違いは別稿「仕事とエネルギー」2.(3)(5)を参照。
A.Einstein, “U¨ber den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes”, Ann. Der Phys. [4], 35, p898〜908, 1911年
この論文をお読みになるとき、Paisの解説第11章11b.を平行して読まれる事を勧めます。また別稿で引用したインフェルトの記述を参照。さらに、1907年論文のS、Σ、S’系が、この論文ではK、K’、K0系に記号が置き換えられていることに注意されて下さい。
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol3-doc/523
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol3-trans/393#,
以下の訳文は共立出版社「アインシュタイン選集」第2巻 [A1]より引用。
なお、この論文は改造社「アインスタイン全集」第2巻 14番目論文として邦訳があります。
[補足説明1]
上記の考察は独創的!です。この考察の元になった「特殊相対性理論(1905年)」§8を是非復習されて下さい。
(1)式について少し補足します。この式は、地点S2にある質量m=(E2/c2)の光子が重力場を落下する間に、重力場のポテンシャル差Φ=γ・h (γは重力加速度gに相当する)によって仕事をされて、その結果 mgh=(E2/c2)γ・h だけ余分のエネルギーを持つようになったと考える事もできる。
それが、「重力場の中の位置エネルギーが高い位置にいる光子はもともとその位置エネルギー分だけ余分のエネルギーを持っていた。」と言う考え方になるわけです。
こういった考え方は、やがて一般相対性理論の赤方偏移の検証実験であるPoundとRebkaの実験の解釈「光子はhν/c2に等しい慣性質量を持つと同時にそれと同じ重力質量を持っている。(静止質量はもちろん 0 ですが、光子は光速度で移動する)」に通じるものです。
そのとき、光子が重力場からの仕事を受けたからと言って、普通の粒子のように速度が増大するわけではありません。光子の速度は一定不変の光速です。光子の増大したエネルギーはその振動数が変化することで実現されます。すなわちプランクが発見した「光量子の持つエネルギー表現E=hν」に従って振動数が変化する。
つまり、重力場中でポテンシャルが低いところへ進む光子の振動数は増大(青方偏移)するのです。逆に、重力場の深いところから浅い所へやってく光の振動数は低く(赤方偏移)なります。そして、この現象は一般相対性理論で説明するところのメカニズムで解釈することができます。つまり別稿§22.1.[補足説明1]や、別稿7.(9)3.で説明する方法です。
以上の3通りの説明はそれぞれ異なりますが、互いに論理矛盾はありません。すべて正しい解釈です。光というものはその様なものであり、一般相対性理論の世界とはその様なものなのです。
[補足説明2]
上記の説明は錯綜していて解りにくいので図で示す。
[補足説明1]
上記*訳者注における非相対論的なドップラー効果の公式はこちら、あるいはこちらで復習されて下さい。
もちろん相対論的ドップラー効果の公式を用いても同様に導けます。
[補足説明2]
最初に、ポテンシャルΦの次元は速度の次元の2乗に等しい事を確認する。
次に、太陽表面から地球に届くスペクトルの変化分に対する上記の見積値を確認しておく。 Φ=−GM/R に具体的な値を代入すると
となり、確かに上記でEinsteinが求めている値が得られる。
* 訳者注: で紹介されている論文[A3]p.112,(74)式はこちらです。
[補足説明1]
§4の説明は解りにくいので補足します。
光速度cはあくまで一定不変で上記の様にcが場所によって変化するのではありません。上図の中で、cが場所によってc1や、c2の様に変化しているのは以下で説明する意味に於いてです。
下図のP1点とP2点では、太陽に近いP1点の方がP2点より時間がゆっくり進む。そのためP1点に設置された時計の針が1秒進む間に光が進む距離がc1です。同様にP2点の時計(P1の時計より早く進む)の針が1秒進む間に光が進む距離がc2です。図では1秒間ではなくて、dt秒にしてあります。
図ではP1点とP2点で同じdtを用いていますが、これは同じではありません。例えばP2点での時計の針の1.000・・・秒分の進みをdtで表しているとすると、その時にP1点に存在する時計の針の進みでは0.999・・・・秒を示しています。つまりその分の時間の進みをP1点のdtで表しています。それがP1点の方がP2点よりも時間がゆっくり進むと言うことの意味です。
だから図中のc2dtはP2点での時計で測った1秒分で光が進んだ距離を表しています。同様に図中のc1dtは、その時のP1点での時計で測った0.999・・・・秒分に相当する時間で光が進んだ距離を表しています。だから図中の光が進んだ距離はc1dt<c2dtとなるのです。
さらに補足すると本当は重力場中では空間も縮みますから、P1点のc1dtがP2点のc2dtよりも短くなる割合はもっと大きくなります。ただし、本論文を発表した時点(1911年)のアインシュタインは重力場による空間の縮みについてはまだ知っていませんから、上図にはその効果は含まれていません。(この効果も考慮すると、別稿E.(22)2.[補足説明1]で説明する様に湾曲角は2倍になります。)
図から明らかな様に、光線がcdt(≒c1dt≒c2dt)進むあいだに、光線が受ける湾曲角dαは
となる。ただし、光線がn’の増加する方向と反対側に湾曲するとき(図の場合)の湾曲を正としている。
そこで、光が単位の長さ(cdt=1)だけ進む間(dt=1/c秒間)に受ける湾曲角dαは
となる。
そこで結局、光が任意の道のり s だけ進むときに、n’の増加方向とは逆向きに湾曲する角αは
となる。
なお、上記の積分は、次図の状況下の光線径路に沿って、y=−∞からy=+∞まで行われたものであることに注意して下さい。実際にはyの変化と共にx座標も少し変化するのですが、その変動は微少なので、積分操作の中では無視できてxはすべて一定値であると見なせます。その様に一定と見なしたときのxの値が図中の
Δ です。
さらに補足すると、この結論には重力場に依って空間が縮む効果はまだ考慮されていません。そのことも考慮した湾曲角の半分となっています。
空間の縮む効果を考慮した計算がどの様になるのかは、別稿E.(22)2.でEinsteinが説明しています。そこの計算と比較して見て下さい。
[補足説明2]
Einsteinは、本論文で、重力場の中では時間がゆっくりと進むことを証明したのですが、重力場の中では物指し棒が縮む(すなわち空間が縮む)ことにはまだ気付いていません。
そのため本論文で導かれている重力場に依る光線の屈曲角度は、時間の遅れの効果しか考慮されていませんので、真に正しい屈曲角の半分の値しか得られていません。
また、Einsteinは、本論文中で、重力場中からやってくるスペクトル線の赤方偏移も導いています。こちらは空間の歪みの効果は関係しませんので、正しい結果が得られています。
実際、上記で求めた
は別稿E.(22)1.でEinsteinが説明している結果と同じです。
(補足しますと、この結論は1907年12月論文§19ですでに導かれています。その導き方について、Paisの解説は秀逸です。)
いずれにしても、“重力場中では時間がゆっくり進む”ことが証明できたのは大成果です。その事を導く本稿の考察は、インフェルトが賞賛している様に、独創的!! です。
“Entwurf einer verallgemeinerten Relativita¨tstheorie und eine Theorie
der Gravitation”
T. Phsikalischer Teil von A. Einstein. U. Mathematischer Teil von M. Grossmann.,
Leipzig, Teubner. 38pp., 1913年 この論文は草案なので、最初は小冊子として出版された、後に学術誌(1914年)にも掲載された。
この論文をお読みになるとき、Paisの解説第12章p284〜291を平行して読まれる事を勧めます。
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-doc/324
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-trans/163
以下の訳文は共立出版社「アインシュタイン選集」第2巻 [A2]から引用しています。ただし、Einstein執筆部分の改造社「アインスタイン全集」翻訳版も別ページで引用していますので、微妙な翻訳部分は比較検討に利用されて下さい。
また、Grossmann執筆部分のU.数学の部は改造社「アインスタイン全集」第2巻 19番目論文より引用しています。
4-058-02 1.導入 4.1913共著 T.物理学の部(Einstein)
内山先生は上記の様に言われていますが、「一般相対性理論を理解するための数学的準備」を読了された方には、この論文で採用されている記法の特殊性は殆ど障害とはならないと思います。そのため改造社「アインスタイン全集」第2巻19番目論文からグロスマン担当部分を引用しておきます。なお、内山先生が推奨されている[A3]のB.はこちらです。
4-201-02
補遺の末尾で述べているPhys. Zeitschrift に載せる予定の論文とは下記のものです。
Einstein , Albert (1913), "Zum gegenwartigen Stande des Gravitationsproblems."
Physikalische Zeitschrift 14, 1249-1262..discussion 1262-1266(この中にBornとの議論がある)
(https://Einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-doc/509)
英訳版“On the Present State of the Problem of Gravitation”
(https://Einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-trans/210)
上記のURLからダウンロードできます。
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-doc/593
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol4-trans/294
以下の邦訳は、改造社「アインスタイン全集」第2巻 21番目論文から引用。
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/34
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/18
以下の邦訳は、改造社「アインスタイン全集」第2巻 20番目論文から引用。
この文献につきましてはPaisの解説第14章p317〜319を参照されたし。
7-254-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
A.理論の基礎
§ 1.緒論
§ 2.万有引力の場
B.共変性の理論抄説
§ 3.四元ベクトル
§ 4.二階および高階のテンソル
§ 5.テンソルの乗法
§ 6.基本テンソルgに関する二三の関係について
§ 7.最短線ならびに点運動の方程式
§ 8.微分によってテンソルを構成すること
C.与えられた万有引力の場における物理的現象の方程式
§ 9.“物質現象”に対する運動量・エネルギー定理
§10.連続的に分布する質量の運動方程式
§11.電磁的方程式
D.万有引力の場の微分法則
§12.座標系選択の制限の必要なことの証明
§13.一次的変換に関する共変性、適合せる座標系
§14.H-テンソル
§15.場の方程式の演繹
§16.理論の基礎についての批判的注意
E.ここで展開した一般法則の物理学的内容についての二三
§17.種々の見方による近似方程式を立てること
END.【訳者注】数式番号についての注意
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/100
https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/42
以下の邦訳は、改造社「アインスタイン全集」第2巻 22番目論文から引用。
7-255-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-260-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
上記(2b)式に付いての説明に関しては別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分」3.[補足説明1]を参照されたし。
7-263-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
以下のB.共変性の理論抄説は、1916年論文[A3]「一般相対性理論の基礎」B.でも繰り返し説明しています。そちらの方が読みやすいと思います。
[補足説明1]
反変を上付指数で表し、共変を下付指数で表す事はこの論文から実施されたことに注意されたし。
このとき、座標成分は本来反変成分であるので dxμ や ∂xμ と記すべきです。それにもかかわらず dxμ や ∂xμ と記すとしています。この取り決めはかなり後の論文(1922年のプリンストン大学四講義録でさえも)まで続けていますので注意されて下さい。1.[補足説明1]を参照されたし。
7-266-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-274-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-276-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-288-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-292-01
補足しますと、(23’b)式がNewtonの運動方程式を一般相対性理論に拡張したときの運動方程式に相当する“測地線方程式”です。この論文で初めて導かれた。
7-292-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-308
7-310-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-311-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-320-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-330-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-338-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-339-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-342-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-349-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-357-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-366-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-373-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-374-00 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
7-379
7-383-02 TOP A1 2 B3 4 5 6 7 8 C 9 10 11 D 12 13 14 15 16 E 17 END
この稿を作るに当たって、下記文献を参照した。