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6.テンソル解析学(絶対微分学)

 テンソル解析学(絶対微分学)は、1901年のRicci、Levi-Civita共著論文『絶対微分学の方法とその応用』で確立された。
 本稿は、“リーマン空間”の上で展開されるテンソル解析学の説明です。テンソル解析学を理解するには、あらかじめ別稿「微分幾何学3」を読まれて“リーマン空間”とは何かを理解しておくことが必要です。テンソル解析学とは時空の計量を表す基本計量テンソルgijが場所と共に変化する空間を取り扱うものだからです。
 別稿「ミンコフスキーの4次元世界」で説明したテンソル代数学は空間の全領域で計量テンソルが変化しない場合です。それはユークリッド空間の様に一様で直交した空間でした。ミンコフスキーの4次元時空はその様なものだったのです。ところが一般相対性理論では歪んだ時空(リーマン空間)を取り扱わねばなりません。歪んだ空間を取り扱う数学がテンソル解析学です。
 基本計量テンソルgijが解らないと上記の文章の意味がお解りにならないかもしれません。本稿を読まれる前に別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分(計量テンソルとは何か)」をご覧下さい。
 本稿は文献1.第6章“テンソル解析学”からの引用です。ただし、節(No.)を細分した項No.の題目は私どもが適当に追記した。

(1)一般の座標変換に対するテンソル
   1.スカラー
   2.ベクトル
   3.テンソル
(2)クリストッフェルの3添字記号
   1.対称性
   2.jiとの関係
   3.jiとの関係
   4.クリストッフェル記号の縮約
   5.変換則(その1)
   6.変換則(その2)
(3)絶対テンソルと相対テンソルの共変微分
   1.スカラーの共変微分
   2.反変ベクトルの共変微分
   3.共変ベクトルの共変微分
   4.テンソルの共変微分
   5.和・差・積の共変微分
   6.テンソル gji,gih,δ,ejkih,ekjih の共変微分
   7.相対テンソルの共変微分
(4)ベクトルの平行移動
   1.平行移動の定義
   2.平行移動の性質
(5)リーマン・クリストッフェルのテンソル
   1.リーマンの曲率テンソル
   2.平行移動と曲率テンソル
   3.曲率テンソル=0の空間
   4.測地線座標系
(6)リーマン・クリストッフェルのテンソルの性質
   1.曲率テンソルの性質
   2.リッチテンソルとスカラー曲率
   3.ビアンキの恒等式
(7)勾配・回転・発散
   1.勾配
   2.回転
   3.発散

 

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(1)一般の座標変換に対するテンソル



[補足説明]
 上記の“関数行列式”の表記は下記のものを略記したものです。

(ξ’,ξ)(ξ,ξ’)は互いに逆変換の関数行列式を定義していますので注意して下さい。




 

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1.スカラー


 

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2.ベクトル



 ここは何を言っているか解りにくいが、曲がった空間では有限の長さを持つ位置ベクトルはベクトル(1階テンソル)とは見なせないが、微小な長さの位置変位ベクトルはその場所での座標変換と同じ変換係数で変換されるからベクトル(1階テンソル)と見なせるということです。





ここが解りにくい方は、別稿「微分幾何学」3.(2)2.参照。

 

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3.テンソル







第3章§2はこちらを参照

注意


上記赤波線のことについては3.(9)[補足説明1]を参照されたし。また、線素が ds2=gjidξdξ で与えられる“リーマン空間”については別稿「微分幾何学」3.(2)2.[補足説明3]を参照されたし。

 

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(2)クリストッフェルの3添字記号



 “前章の終わり”クリストッフェルの記号の記述はこちらを参照。この記号のもともとの由来については別稿「微分幾何学2(曲面論)」2.(8)2.や別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分(計量テンソルとは何か)」4.(4)などを参照されたし。
 また、“リーマン空間”については別稿「微分幾何学」3.(2)2.[補足説明3]4.(2)2.や別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分(計量テンソルとは何か)」4を参照。

 

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1.対称性


“対称”であることは別稿「微分幾何学」2.(8)2.も参照されたし。

 

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2.gjiとの関係



この式については、別稿「微分幾何学」3.(3)[例題1]も参照されたし。

 

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3.gjiとの関係



 この式については、別稿「微分幾何学」3.(3)[補足説明1]も参照されたし。
 また、この式の重要な応用については、6.(3)6.1“Ricciの補助定理”を参照されたし。

 

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4.クリストッフェル記号の縮約


補足説明
 上記の式を導いておく。 n 次元リーマン多様体の基本計量テンソル gij(x) は n×n の正方行列であると見なせることからその行列式 g

を定義することができる。
 ここで行列式 g の gij に対する余因子行列を Gij とすると、別ページで説明するように、余因子行列と行列式gの間には

が成り立つ。ゆえに、g を xk で偏微分すると

となる。
 さらにgij の余因子行列を行列式gで割ったものは逆行列の(i,j)成分となるが、それは“基本計量反変テンソル”(gijの(i,j)成分に他ならない。つまり、

です。
 よって

が言える。ここは2次元の場合の証明「微分幾何学」3.(4)3.[補足説明]こちらの計算も参照されたし。


この式の、2次元の場合の証明は別稿「微分幾何学」3.(4)3.を参照されたし。この式は6.(3)6.36.(3)7.[例]“相対テンソル”“共変微分”を考えるときに必要になります。

 

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5.変換則(その1)


“測地線の方程式”については5.(4)あるいは、別稿「微分幾何学」3.(6)を参照。



この変換式は別稿「微分幾何学」(3)1.でも求めています。そこの(3-18)式はここと同じものです。
これらの変換則から明らかなように“クリストッフェルの記号”テンソルではありません

 このことは、上式に於いて

が成り立つことを思い起こせば明らか。

 

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6.変換則(その2)

下記の3.(5)[例1]こちらを参照



 これは“クリストッフェルの3添字記号”上下の2添字を等しく置いて縮約したものの変換則であることに注意して下さい。また、(ξ,ξ’)と(ξ’,ξ)の意味の違いにも注意されたし。

 

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(3)絶対テンソルと相対テンソルの共変微分

3.(9)で説明したように


この工夫が必要なことで“絶対微分学”と言う。その工夫が“テンソル解析学”の本質です。
 この節題目の“絶対テンソル”とは、3.(5)の最後で述べたようにに、重さのある相対テンソルに対して、重さが 0 の相対テンソル、すなわち従来の意味のテンソルを絶対テンソルと呼んでいるだけです。絶対微分学の絶対とは関係ありません。

 

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1.スカラーの共変微分


[補足説明]
 ここは何を言っているのか解りにくいが、要するに

のことです。つまりスカラー f の微分に於いては、通常の“微分係数”“共変微分係数”の間に違いはない。
 この当たりは別稿「微分幾何学」3.(2)2.や、「微分幾何学」3.(4)1.を参照されたし。


スカラーについては、“微分”“共変微分”“微分係数”“共変微分係数”の間に違いは無いのですが、今後の事もふまえて上記の記号を用いるということ。

補足説明
 スカラーの場合には座標方向に関係する成分を持たず座標の曲がりに起因する成分分解の変化がないので、たまたま普通の微分と共変微分、および普通の微分係数と共変微分係数は同じになります。
 そのため、上記の説明の意味は解りにくいかも知れませんが、後で解るようにベクトルテンソルの場合“普通の微分”“共変微分”、および“普通の微分係数”“共変微分係数”は異なったものになります。だから上記の様な記号を今後用いると言うことです。
 例えばテンソル Tjiの場合、本稿では

の様に表すことになります。
 ただし、文献によってその表し方は様々です。本稿でたびたび引用する別稿「微分幾何学」(3)では

の様に表しています。
 また、平川浩正「相対論」(5)では

の様に表しています。
 さらに、本によって

の中の色々な取り合わせが用いられています。

 

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2.反変ベクトルの共変微分







ここは別稿「微分幾何学」3.(3)1.も参照されたし。

 

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3.共変ベクトルの共変微分





 

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4.テンソルの共変微分








ここは別稿「微分幾何学」3.(3)2.も参照されたし。

 

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5.和・差・積の共変微分









つまり、普通の微分と同じように“ライプニッツの公式”が成り立つ。ここは別稿「微分幾何学」3.(3)3.も参照されたし。

 

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6.テンソル gji,gih,δ,ekjih,ekjih の共変微分

ji と gih
 以下で用いる“クリストッフェルの記号の性質”とは6.(2)2.で求めた式のこと。

この式を“Ricciの補助定理”という。このことについては、別稿「微分幾何学」3.(3)[例題1]も参照されたし。
 以下で用いる“クリストッフェルの記号の性質”とは6.(2)3.で求めた式のこと。

別稿「微分幾何学」3.(3)[補足説明1]「補足説明2」、および[定理]“Ricciの補助定理”も参照されたし。

δh

別稿「微分幾何学」3.(3)[例題1]も参照。

kjih と ekjih




kjih と ekjih については3.(5)[例2]を参照。また、上記4.(2)4.の式はこちらを参照

 

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7.相対テンソルの共変微分


“相対テンソル”については3.(5)参照



これらの式については6.(2)5.6.(2)6.を参照されたし。






補足説明1

です。この両辺の微分をとって上記と同様な展開をすれば、重さpの“相対反変ベクトルの共変微分係数”

となります。これは同じ重さの2次(2階)の相対混合テンソルです。

です。この場合も同様にすると、重さpの“相対共変ベクトルの共変微分係数”

となります。これは同じ重さの2次(2階)の相対共変テンソルです。

です。この場合も同様にして、重さpの“相対スカラーの共変微分係数”

となります。これは同じ重さの相対共変ベクトルです。



これは、6.(3)6.[ ekjih と ekjihの中ですでに証明している。

補足説明2
 実際に上記の重さ1の“相対スカラー”“共変微分係数”を求めてみる。このスカラーの変換法則は3.(5)[例1]で求めたように

であるが、この両辺の微分を取れば


 

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(4)ベクトルの平行移動



ここで言う“擬ユークリッド空間”については2.(1)[補足説明]参照。いわゆる“ミンコフスキー時空”を意味している。

 

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1.平行移動の定義


ここは別稿「微分幾何学」3.(8)1.を参照。






 

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2.平行移動の性質



別稿「微分幾何学」3.(8)4.[定理1]も参照されたし。


二つのベクトルのなす角θの表現については3.(6)を参照。あるいは別稿「微分幾何学」2.(2)3.を参照。

別稿「微分幾何学」3.(8)4.[定理2]も参照されたし。

 

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(5)リーマン・クリストッフェルのテンソル


 

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1.リーマンの曲率テンソル



ここは別稿「微分幾何学」3.(3)[例題2]も参照されたし。



ここは別稿「微分幾何学」3.(5)1.も参照されたし。このテンソルを“第2曲率テンソル”と呼ぶ場合もある。別稿「微分幾何学」2.(9)2.を参照。

補足説明
 “リーマンの曲率テンソル”の定義は本によって微妙に異なっており注意が必要です。
 まず座標の微分が関係する2つの指数を3連添字の最初に持ってくるか終わりに持ってくるかの違い。次は座標微分に関係する2つの指数の順番を前後入れ替える違いです。
 その当たりを別稿「微分幾何学」3.(5)での表現

を用いて説明します。
 このとき、クリストッフェルの3添字記号の下の2つの指数の入れ替えは対称だから入れ替え可能です。またクリストッフェルの3添字記号が2つ掛け合わされている項はその積の順番の入れ替えは自由です。
 
 問題になるのは定義式中の k と j の位置の違いです。位置の違いで、曲率テンソルの定義記号として

などの違った定義があります。
 
(A)は最近の本に多い。平川浩正「相対論」、石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」、須藤靖「一般相対論入門」、Landau,Lifshitz「場の古典論(1961年版)」、Schutz「相対論入門」、Weyl「空間・時間・物質」、M.T.W.「重力理論」などが採用。
(B)前田儀郎「微分幾何学」、Pauli「相対性理論」、メラー「相対性理論」、Winberg「Gravitation and Cosmology」など。
(C)本稿矢野健太郎「相対性理論」など。
(D)はBergmann「相対性理論序説」など。
 
 ここで、注意すべきは(A)(C)の定義と(B)(D)の定義では正負の符号が逆転します
そのとき定義から明らかなことですが、“リーマンの曲率テンソル”は k と j の入れ替えに関して、交代(反対称)です
 さらに注意すべきは、(A)(B)の定義では下の3連指数添字の最後の2つの入れ替えで交代(反対称)なのに、(C)(D)の定義では下の3連指数添字の最初の2つの入れ替えで交代(反対称)となることです。このことは kjih に対して異なる符号を与える。


ここは別稿「微分幾何学」3.(3)[問題3]「微分幾何学」3.(5)[問題1]の前半も参照されたし。

ここは別稿「微分幾何学」3.(3)2.と別稿「微分幾何学」3.(5)[問題1]の後半も参照されたし。

 “曲率テンソル”については別稿ダニエル・フライシュ著「ベクトルとテンソル」6.3“リーマン曲率テンソル”も参照。

 

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2.平行移動と曲率テンソル

補足説明1]
 最初に、以下の事柄を考察する。点Pに端点がある二つの微小ベクトル 1ξ2ξ がある。そして微小ベクト ル1ξ を微小ベクトル 2ξ に沿って平行移動し、微小ベクト ル2ξ を微小ベクトル 1ξ に沿って平行移動する。そうして移動した二つのベクトルの先端の座標差を求める。



補足説明2
 次では下図の様な状況を考えている。







この当たりについては別稿「微分幾何学」3.(8)3.もご覧下さい。

 

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3.曲率テンソル=0 の空間






上記性質は、6.(2)3.を参照。



この式は、6.(2)5.を参照。

補足説明
 上記の連立偏微分方程式は

となります。すなわち未知関数

に関しての16元連立偏微分方程式です。これが完全積分可能である条件は

が成り立つことです。



 

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4.測地座標系






 

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(6)リーマン・クリストッフェルのテンソルの性質

1.曲率テンソルの性質



 これらの式が成り立つことは別稿「微分幾何学」3.(5)2.と同様に証明すればよい。ただし、6.(5)1.[補足説明]で説明したように、この稿での曲率テンソル定義の特殊性から3つの下側指数添字の最初の2つの入れ替えに対して交代(反対称)となることに注意されたし。普通の本では後の2つの入れ替えに対して交代(反対称)です。


これらの式の証明は別稿「微分幾何学」3.(5)2.に記述の引用先を参照されたし。

リッチの公式6.(5)参照6.(3)6.こちらを参照。また、この証明に関しては別稿「微分幾何学」3.(5)[問題2]も参照されたし。

 

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2.リッチテンソルとスカラー曲率



 ここは別稿「微分幾何学」3.(5)3.[問題3]も参照されたし。
 ここで、縮約する指数の組み合わせについて、6.(5)1.[補足説明]で説明した定義表現の違いに伴う違いがありますので文献ごとに注意が必要です。平川浩正「相対論」4.(8)も参照されたし。

 この当たりは別稿ダニエル・フライシュ著「ベクトルとテンソル」6.3.5“リーマン曲率テンソルの具体例”を参照して下さい。

 

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3.ビアンキの恒等式







ここは別稿「微分幾何学」3.(5)[;例題1]も参照されたし。

 

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(7)勾配・回転・発散

.勾配


ここは、6.(3)1.参照

 

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2.回転




“双対”については、3.(8)を参照

これはユークリッド空間のベクトル解析に於ける定理や擬ユークリッド空間(ミンコフスキー時空)の勾配についての定理の拡張になっている。

6.(3)4.こちらを参照

ミンコフスキー時空での話だが、このことの例を4.(2)1.で見た。

このことについてもを4.(2)1.の例を参照されたし。

 

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3.発散



6.(2)4.こちらを参照

相対ベクトルの共変微分係数は6.(3)7.[補足説明1]参照

普通のベクトルの発散との違いに注意。





相対テンソルの共変微分係数は6.(3)7.参照

 

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参考文献

  本稿は文献1.第6章の引用です。文献1.は数学系の本らしく厳密かつ簡潔に展開されています。そのため説明は明快なのですが、文中に出てくる言葉の意味がなかなか読み取れません。それぞれの言葉の意味については下記文献3.をあらかじめ学習しておく必要があります。本稿では文献3.をたびたたび引用しています。

  1. 矢野健太郎著「近代数学新書 相対性理論」至文堂(1967年刊)第6章
     この本の第2章§6、第3章、第4章は別稿「ミンコフスキーの4次元世界」の中で、第5章はこちらで引用しています。
  2. 矢野健太郎 訳・解説「現代数学の系譜10 リーマン幾何学とその応用」共立出版(1971年刊)
     この本に収録されている第2論文がRicciとLevi-Civita共著論文『絶対微分学の方法とその応用』(1901年)の日本語全訳です。
  3. 前田儀郎著「幾何学X・Y(微分幾何学」玉川大学通信教育部(1969年初版刊)
    第1章“曲線論”、第2章“曲面論”、第3章“曲面上の幾何学”、第4章“リーマン幾何学”を別稿で引用。
  4. 吉田伸夫「完全独習相対性理論」講談社(2016年刊)
     本稿で取り扱う“リーマン空間”については、この文献の§8-1-1“ガウスの曲面論”§8-1-2“ガウス曲率と驚異の定理”§8-2-1“リーマン幾何学の考え方”を復習されて下さい。
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