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5.一般相対性原理と等価原理

矢野健太郎著「近代数学新書 相対性理論」至文堂(1963年刊)の第5章p108〜118から引用です。

(1)一般相対性原理
(2)等値原理
(3)時空とリーマン時空
(4)自由な質点の運動法則、測地線の微分方程式

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(1)一般相対性原理











 

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(2)等値原理














 

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(3)時空とリーマン空間





 ここは別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変性分・共変成分(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」3.(4)[補足説明1]を参照されたし。






 このことを説明したJ.C.F.Gaussの大論文『曲面についての一般研究』(1827年)の日本語訳は寺坂英孝、静間良次著「数学の歴史 19世紀の数学 幾何学U」共立出版(1982年刊)第3章“微分幾何学”にあります。

 前記G.F.B.Riemannによるゲッチンゲン大学の私講師就任演説『幾何学の基礎をなす仮定について』(1854年6月10日)の日本語訳は矢野健太郎 訳・解説「現代数学の系譜10 リーマン幾何学とその応用」共立出版(1971年刊)にありますが、その内容は極めて難解です。この講演については別稿[補足説明1]の佐藤文隆先生の解説をご覧下さい。

 RicciとLevi-Civita共著論文『絶対微分学の方法とその応用』(1901年)の日本語訳は矢野健太郎 訳・解説「現代数学の系譜10 リーマン幾何学とその応用」共立出版(1971年刊)にありますが、かなり難解です。

 テンソル解析学が説明されている6章は別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」にて引用しています。

 

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(4)自由な質点の運動法則、測地線の微分方程式





青波線部に関しては別稿「双子のバラドックスと一般相対性理論」5.(4)を参照。赤波線の部に関してはランダウ、リフシュツ「場の古典論」§8をご覧下さい。



“最小作用の原理”から“オイラーの微分方程式”を導くことは適当な本を参照して下さい。例えばランダウ、リフシュツ著「力学}1-02、別稿「微分幾何学3(曲面幾何学)」3.(6)1.あるいは「リーマン幾何学」4.(2)[問題2]など。




 ここの式変形は別稿「微分幾何学3(曲面幾何学)」3.(6)2.なども参照されたし。またクリストッフェルの3添字記号については別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)を参照されたし。そこで説明する様に {クリストッフェルの3添字記号}=0 は、空間が曲がっていないことを意味する。
 下記の“測地線方程式は自由質点の軌道の方程式である”という説明を補足します。“測地線方程式”力の原因として重力のみが存在するとき“自由質点の運動方程式”を表しています。つまり古典的Newton力学の、[運動の第二法則][万有引力の法則]を合体させた式に相当します。重力の効果はクリストッフェル記号の中に取り入れられています。だから下記の{クリストッフェルの3添字記号}=0 が重力の存在しない場合の慣性の法則に相当するわけです。
 この当たりの測地線方程式Newton力学との関係につきましては、矢野文献7.(2)や、藤井文献4§19をご覧下さい。


上記の“光の固有時の経過が0”の意味は、別稿「双子のパラドックスと一般相対性理論」2.(3)[補足説明1]などをご覧下さい。

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