微分幾何学４（リーマン幾何学）

ＨＯＭＥ　　１．曲線論　　２．曲面論　　３．曲面幾何学　　４．リーマン幾何学（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（10）END

４．リーマン幾何学

　リーマン空間を定義するために“ｎ次元微分多様体”の抽象的な定義を与える。３次元ユークリッド空間の曲面は“２次元リーマン空間”と考えられるから、３章の曲面上で考えた種々の概念を、次元を単にｎにまで拡張すればそのまま通用する。
　新しくは、部分空間において曲率テンソルや共変微分などがどのようになるかを問題にし、２章におけるワインガルテンの方程式やガウス・コダッツィの方程式の拡張を述べる。

（１）ｎ次元微分多様体

　曲面上の幾何学においては３次元ユークリッド空間の曲面のみを考えた。リーマンは曲面論から１歩進んで、線素ｄｓ²のみに基づき、次元ｎが全く一般な空間すなわ“ｎ次元微分多様体”の概念に到達し、その上での幾何学、リーマン幾何学を創設した。
　この意味において［３次元ユークリッド空間内の曲面］は［２次元リーマン多様体（リーマン空間）］とも考えられる。したがって、前章における［曲面上の幾何学］は、［ｎ次元リーマン幾何学］に拡張して考えることが出来る。
　そのため、特に断らない限り“リーマン幾何学”は次元を一般的な“ｎ次元微分多様体”の上で考えることにする。まず最初に、微分多様体を導入する前の準備をする。

１．位相空間

　一般に、抽象的な集合Ｍがあって、その元を点という。Ｍを個々の点の集まりと考えないで、これらの点の間に何らかのつながりを与えるのが集合Ｍの“位相”である。例えば２点間に距離という概念を定義し、Ｍに位相を導入することもある。しかし一般には、Ｍの各点に近傍という概念を導入して、Ｍに位相が導入される。
　集合Ｍの各点Ｐに、これを含むＭの部分集合Ｕ(Ｐ)を考え、これをＰの“近傍”という。Ｐの近傍は１つとは限らないから、それらの全体を｛Ｕ_ｉ(Ｐ)｝で表し、Ｐの“近傍系”という(図4-1)。

　この近傍系が次の条件を満たすとき、Ｍを“位相空間”、または“ハウスドルフ空間(Hausdurff space）”という。この名称は位相空間理論の創始者の一人である フェリックス・ハウスドルフ にちなむ。Einstein、Levi-Civita、Hausdorff 彼らはユダヤ人故に様々な迫害を受けたが、誇り高く生きた彼らの名前は学問の世界で永遠に残るだろう。

２．開集合・閉集合

　集合Ｏの任意の点に対して、この点の近傍でＯに含まれるものがあるときＯを“開集合”という。また集合Ｍから集合Ｃを除いた残りの集合Ｍ－Ｃが開集合であるとき、Ｃを“閉集合”という。集合Ｍを２つの共通点のない開集合に分割できないとき、この集合を“連結”であるという。

３．微分多様体

　位相空間Ｍが、次の条件を満足するとき、“ｎ次元微分多様体（n-dimensional differential manifold）”という。

　同相写像φ_ｉ：Ｄ_ｉ→Ｕ_ｉによって、Ｄ_ｉの点（ｘ^a）＝（ｘ¹，ｘ²，･･･，ｘⁿ）にＵ_ｉの点Ｐが対応するとき、（ｘ^a）を点ＰのＵ_ｉでの座標（局所座標）といい、φ_ｉとＵ_ｉを１組にしたもの（Ｕ_ｉ，φ_ｉ）を“座標近傍”という。
　任意のＵ_ｉ，Ｕ_ｊにおいて

とするとき、Ｕ_ｉ∩Ｕ_ｊ内の点Ｐに対してＵ_ｉでの局所座標を（ｘ^a）、Ｕ_ｊでの局所座標を

とするとき

は（ｘ^a）と

との１対１対応を与える（図4-5）。

そこで、

を（ｘ^a）の関数

とみてＣ^r級であるとき、ＭをＣ^r級のｎ次元微分多様体という。
　（4-1）式は座標（ｘ¹，ｘ²，･･･，ｘⁿ）から座標

への座標変換を与え、逆に、

の逆の対応

も一意に存在するから、（4-1）式の逆の座標変換

も存在する。したがって関数行列式は

である

［例題１］　ｎ次元実数空間Ｒⁿ は微分多様体である。何となれば、開被覆としてＲⁿ 自身をとる。近傍系としてやはりＲⁿ をとれば恒等写像ｔ：Ｒⁿ（＝Ｕ） → Ｒⁿ は同相写像で、Ｒⁿ の座標ｘ¹，ｘ²，･･･，ｘⁿ をＲⁿ の局所座標と考えれば、（Ｒⁿ，ｔ）は座標近傍である。

［例題２］　ｘｙ平面上の半径１の円Ｓ¹ は１次元の微分多様体（解析多様体）である。

［解］　まずＳ¹ に位相を入れる。そのために

と置くと、各Ｕ_ｉ^±（ｉ＝1，2）はＳ¹ の開集合で｛Ｕ_ｉ^±｝はＳ¹ の開被覆である（図4-6）。
　次に、写像

を

によって定めると、φ₁^±（ｉ＝1，2）はＵ_ｉ^± からＩへの同相写像である。故にＳ¹ は１次元多様体で、（Ｕ_ｉ^±，φ_ｉ^±）が座標近傍である。
　次に、解析的であることを示そう。

に対して、φ₁⁺（Ｕ₁⁺∩Ｕ₂⁺），φ₂⁺（Ｕ₁⁺∩Ｕ₂⁺）は共に開区間Ｉ⁺＝｛ｔ|0＜ｔ＜1｝に等しい（図4-7）。

　ｔ∈Ｉ⁺ のとき

となり、座標変換ｆ₂₁⁺，ｆ₁₂⁺ などは 0＜ｔ＜1 では解析的である。他も同様であるから、Ｓ¹は解析多様体である。

［問題］　Ｒⁿ⁺¹ において (ｘ¹)²＋(ｘ²)²＋･･･＋(ｘⁿ⁺¹)²＝ｒ² を満たす点（ｘ¹，ｘ²，･･･，ｘⁿ⁺¹）の集合をｎ次元球面Ｓⁿ という。Ｓⁿ はｎ次元解析多様体であることを示せ。

（２）ｎ次元リーマン空間

１．ｎ次元空間の距離

　３次元ユークリッド空間において、直交座標が (ｘ^ｉ) ，(ｘ^ｉ＋ｄｘ^ｉ) であるような十分近い２点間の距離ｄｓは

で与えられる。
　例えば、球座標

を用いれば

となる。（このことに付いては別稿１．（２）３．を参照）
　また、２次元曲面ｘ＝ｘ（ｕ¹，ｕ²）上の線素は

で与えられることは今まで論じてきたところです。
　以上の例を鑑みれば、十分に近い２点間の距離ｄｓの平方を座標の微分の“２次形式”で与えられるとして良いであろう。したがって、座標がそれぞれ (ｘ^ｉ) ，(ｘ^ｉ＋ｄｘ^ｉ) である十分近い２点間の距離ｄｓが座標の２次微分形式

で与えられられる“ｎ次元微分多様体”が、上の例の自然な拡張として考えられる。

［補足説明1］
　ここの意味がリーマン幾何学で最も解りにくい所です。このことを説明する以下の文献は秀逸です。
佐藤文隆、Ｒ・ルフィー二共著「ブラックホール（一般相対性理論と星の終末）」中央公論社（1976年刊）第1章5節より

ただし、リーマンの考察の限界について別稿［補足説明２］と、更に別稿［補足説明２］もご覧下さい。
［曲がった空間］

　上記の“曲率という観点で曲面を見れば、平面も円柱面も円錐面も同じものである。”について補足します。
　測地線で構成される閉曲線を考えて、測地線に沿ってベクトルを平行移動して１周させたとき、最初と最後のベクトルが一致していないならばその曲面はゼロでない曲率を持ち曲がっているでした。下図の（ａ）のばあいがそれです。
　一方（ｂ）の円錐面の場合は１周したときの最初と最後のベクトルは一致します。故に円錐面は曲がっていないのです。

　（ｂ）の曲面は（ｃ）の様に切り開けば、その全面を平面とピッタリと重ねることができます。だから、円錐面は見かけは曲がっていますが曲率はゼロの面です。それに対して（ａ）の面は決して平面に重ねることはできません。

２．ｎ次元リーマン空間（多様体）の定義

　ｎ次元微分多様体において、近傍Ｕの各点Ｐに正定値２次微分形式

を対応させ、次の条件を満たすものとする。
（１）ｇ_ｉｊ＝ｇ_ｉｊ（ｘ）は（ｘ¹，ｘ²，･･･，ｘⁿ）について、微分可能な関数です。
（２）ｄｓ²は座標変換

で不変です。すなわち

です。
　このようなｇ_ｉｊの定義されたｎ次元微分多様体を“ｎ次元リーマン空間”という。そして、（4-5）式で与えられるような計量を“リーマン計量”といい、ｇ_ｉｊはｉとｊに関して対称なテンソルで、これを“基本計量テンソル”という。そして、ｄｓを隣接する２点 (ｘ^ｉ) と (ｘ^ｉ＋ｄｘ^ｉ) の間の“距離”という。

　ユークリッド空間の曲面は２次元のリーマン空間と考えられるから、３章の大部分の概念、例えば、［曲線の弧長］、［角］、［測地線の方程式］、［クリストッフェルの記号］、［共変微分］、［曲率テンソル］、･･･等々の概念は、単に次数２を一般のｎにまで拡張することによって、ただちに適用できる。
　第２章と第３章を振り返られると解るように、そこで提示されている定理の証明の多くが、２次元曲面にも拘わらず高次元の定理にそのまま拡張できる様な形で議論・証明されていた。これらの章を読まれるとき、何故にそのような解りにくい証明がなされているのか疑問に思われたかも知れません。それは、ここで述べた事柄を意識して、その様な証明方法にしてあったのです。

　例えば、ｎ次元リーマン空間の曲線弧ｘ^ｉ＝ｘ^ｉ（ｔ）（ｉ＝1，2，･･･，ｎ）（ｔ₀≦ｔ≦ｔ₁）の長さｓは

で定義される。
　そして、弧長ｓを曲線の方程式の係数とすれば、(4-8)式から

となる。
　こごで

を“単位接線ベクトル”といい、反変ベクトルです。
　“基本計量（共変）テンソル” ｇ_ｉｊと、３．(２)［問題３］と同様に定義される“基本計量反変テンソル” ｇ^ｉｊがあれば、反変ベクトル ｖ^ｉから共変ベクトル ｖ_ｊがつくれ、逆のことも言える。

　このことは、一般的なテンソルに対しても言える。例えば

これをｇ^ｉｊを用いて共変指標を上げる、ｇ_ｉｊを用いて反変指標を下げるという。

［例題］　曲面ｘ＝ｘ（ｕ¹，ｕ²）上の面積元素ｄＳは２．（２）３．（2-14）式を２．（７）１．の添字記法で書き直すと

で与えられる。
　これを拡張してリーマン空間における体積元素ｄＶを

で定義したとき、ｄＶはスカラー量であることを証明せよ。

［解］　座標変換

に対して微小体積

は微積分学の教えるところによって

である。
　この変数変換に対してｇ_ｉｊは

であるから、それに対応する行列式は

となる。
　故に

を得る。これはｄＶがスカラーであることを示している。

［問題２］　リーマン空間内の２点Ｐ，Ｑを通る曲線Ｘ^ｉ（ｔ）に沿っての積分

が極値を与えるための条件を求めよ。

［解］　３．（６）１．の議論をｎ次元に拡張すればよい。

　曲線の両端Ｐ，Ｑを固定し、曲面上を少し変化させたときの曲線をＣ’ とすれば、その方程式は

で与えられる。
　ここで ε は絶対値が十分小さい定数で、λ^ｉ（ｔ）は径数ｔについてのＣからの変位を表す微分可能な関数である。そして両端は変化しないから

を満たす。
　故に、２点Ｐ，Ｑを結ぶ曲線に沿っての積分値Ｉの変化量Ｉ ’－Ｉ＝δＩは

となる。ここで、Ｏ（ε²）は、展開に於けるεの2次以上の無限小の項を表す。
　元々の積分値Ｉが最小の極値であるためには、εの係数が0でなければならないから

となる“オイラーの微分方程式”を満足しなければならない。

［補足説明］
　ここは、何を言っているのか解りにくいので補足します。
　物体はニュートンの運動方程式に従った運動をするのですが、解析力学の考察から、ニュートンの運動方程式はラグランジュの方程式と等価であることが解っている。
　さらに、ラグランジュの方程式は、ラグランジアン関数Ｌという作用関数を

まで線積分したときの値が極値を取る条件として得られることが解っている。その極値を取るための条件がラグランジュ方程式です。ここのオイラーの微分方程式は、そのラグランジュの方程式と同じものです。
　その当たりの解りやすい説明をジェームズ・Ｂ・ハートル著『重力』日本評論社(2002年刊)より別ページで引用していますのでご覧下さい。あるいは別稿ランダウ、リフシュツ著「力学」第１章§02でも説明されています。
　さらに、別稿「５．一般相対性原理と等価原理」（４）や別稿「微分幾何学３（曲面幾何学）」３．（６）２．なども参照されたし。

［問題３］　変数変換

に対して、クリストッフルの記号の変換式は

であることを示せ。

［解］　３．（３）１．（3-18）式に於いて、ｎ次元に適用できる形で証明している。そこのｕをｘに変えるだけ。

［問題４］リーマン空間における測地線の微分方程式は

であることを示せ。　

［解］　３．（６）２．（3-54）式に於いて、ｎ次元に適用できる形で証明している。そこのｕをｘに変えるだけ。

［問題５］　リーマン空間の“基本計量（共変）テンソル”ｇ_ｉｊ共変微分は 0 であることを証明せよ。

［解］　３．（３）［例題１］に於いて、ｎ次元に適用できる形で証明している。そこのｕをｘに変えるだけ。

［問題６］　リーマン空間の１つの反変ベクトルｖ^ｉに対して

が成り立つことを示せ。

［解］　３．（５）１．に於いて、ｎ次元に適用できる形で証明している。そこのｕをｘに変えるだけ。

（３）リーマン曲率

１．リーマン曲率

　リーマン空間の１点 (ｘ^ｉ）から出る２つの１次独立なベクトル ｕ^ｉ，ｖ^ｉに対して、スカラー

をベクトル ｕ^ｉ，ｖ^ｉで定まる方向に関する“リーマン曲率”という。
　これは１点 (ｘ^ｉ）を通り、 (ｘ^ｉ）での２次元接平面に接して全ての方向に走る測地線の集合がつくる２次元曲面の点 (ｘ^ｉ）におけるガウスの曲率（２．（６）２．を参照）に成っている。最初に述べた２つのベクトル ｕ^ｉ，ｖ^ｉは、その２次元接平面を定めるのに必要。

２．定曲率空間

　いま、リーマン曲率がこれを定める２つの方向ｕ^ｉ，ｖ^ｉに無関係ならば

である。
　ここでスカラーＫを座標の関数と考えて、３．（５）［例題１］（3-49）式のビアンキの恒等式と、３．（３）［例題１］（3-26）式のリッチの補助定理を用いると

を得る。これにｇ^hj を乗じて縮約すると

となる。さらにｇ^ik を乗じて縮約すると

を得る。故に、ｎ≧3 の場合には、Ｋはスカラーであるから

を得る。これはリーマン曲率が全ての点で定数である事を意味する。よって次の定理を得る。

［定理１］　リーマン空間の各点で、リーマン曲率がこれを定める２つの方向に無関係であれば、リーマン曲率は全ての点で定数である。これを“シュアー（F. Schur）の定理”という。

　このような空間を“定曲率空間”という。リーマン曲率が、ベクトル ｕ^ｉ，ｖ^ｉの方向に無関係に全ての点で 0 ならば

となる。このような空間を“平坦”であるといい、平坦な空間は実はユークリッド空間であることが証明される。（［例題２］で証明）

３．直交ｎ重系

　リーマン空間の１点 (ｘ^ｉ) において、“互いに直交する”ｎ個の単位ベクトル ｈ_(a)^ｉ（ａ，ｂ＝1，2，･･･，ｎ）を考えこれを“直交ｎ重系”という。
　ここでａ，ｂなどはベクトルの番号を、ｉ，ｊ，ｋ，･･･などはベクトルの反変成分を表す指標である。したがってａ，ｂなどの指標については総和法は通用しない。（この意味はわかりにくいので下記［補足説明］参照）
　定義から

を満たす。
　ここで、ｈ_(a)^ｉの共変成分を

と置けば（4-13）式から

を得る。
　さらに

を得る。

［補足説明］
　ここは何を言っているのか解りにくいが、互いに直交するように取った“n個のベクトル”の事を説明している。文中の式の意味については別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」の3次元の場合と比較すると理解しやすい。
　最初の“互いに直交する”の意味は「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」２．（１）で最初に設定した基底ベクトル

が互いに直交するように設定されている様なものだと考えればよい。もちろんそれは別稿で説明した双対基底ベクトル

と直交するという意味ではありません。
　つまり、別稿４．(５)２．［例12］の中で説明したベクトルｅ_x，ｅ_ｙ，ｅ_z の様なものです。本文中のａやｂはこの基底ベクトルを表すのに用いたｘ，ｙ，ｚの添字に相当します。
　ここでの話は直交するように取った任意のｎ個の基底ベクトルについての反変成分、共変成分の話です。
　文中のｈ_(a)^ｉは以下のように考えればよい。ここでのｎ個のベクトルは、前記の基底ベクトルｅ_x，ｅ_y，ｅ_ｚ系の表記を別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変成分・共変成分（計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か）」２．（２）における基底ベクトルａ₁、ａ₂、ａ₃系の表記になぞらえると

　本文中のｈ_(a) やｈ_(b) の添字 (ａ) と (ｂ) の中にはベクトル番号（1～ｎ）のいずれかが入ります。別稿の基底ベクトルａ₁，ａ₂，ａ₃になぞらえれば、ベクトル番号（1，2，3）のいずれかが入ると言うことです。ｈ_(a) とｈ_(b) の違いはベクトル番号の違いを意味するのであって、別稿の基底ベクトルａ_ｉと双対基底ベクトルｂ^ｉを表すとき使ったａとｂの文字と勘違いしないで下さい。ここは全て基底ベクトル系の中に存在する任意のｎ個の直交するベクトルについての話です。
　ここでは直交ｎ重系ベクトルを、最初に反変成分で表記しているが、共変成分も反変成分も元々は同一のベクトルの別表現でしかありません。もちろん反変性分や共変成分を表す元になる基底ベクトルと双対基底ベクトルはここで言う直交ｎ重系では互いに一致します。。その互いに一致する基底ベクトル系や双対基底ベクトル系で表した成分が直交ｎ重系ベクトルそれぞれの反変成分、共変成分です。そして、文中の基本計量テンソルｇ_ｉｊやｇ^ｉｊはそれらの基底ベクトルや双対基底ベクトルから構成されたものです。

４．平均曲率

　いま、ｎ重系の2つのベクトルｈ_(a)^ｉとｈ_(b)^ｊによって定まるリーマン曲率をＫ_(a)(b) とすれば、（4-11）式によって