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特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ

 特殊ローレンツ変換を少し一般化します。

1.導入

()特殊ローレンツ変換

 ローレンツ変換は、ふつうS”座標系S’座標系のx軸の正方向に速度Vで移動している場合で表示されます。もちろんその時、S”系x”軸、y”軸、z”軸は、S’系x’軸、y’軸、z’軸と平行関係を保ったまま移動しているとしています。その場合のローレンツ変換

“特殊ローレンツ変換”と呼ぶ。

 ここでは、S’系に対するS”系の移動方向を、少し一般化して、のx軸、y軸、z軸はS系のx軸、y軸、z軸と平行関係を保ったままであるが、系の原点S系の原点から見てV=(Vx,Vy,Vzの方向へ速度V=(Vx2+Vy2+Vz21/2で動いているとします。その場合のローレンツ変化を求めるのが本稿の目的です。
 今後この場合のローレンツ変換を“一般ローレンツ変換”と呼ぶことにする。大層な名称を付けましたが、一般相対性理論に関係しているわけではありません。あくまで特殊相対性理論におけるローレンツ変換の一般化です。

 

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(2)導出手順

 “一般ローレンツ変換”を導くには、別稿「相対論的力学」1.(1)で述べたPlanckの方針に従えばよい。
 本稿では“時空座標値”と“座標軸名称”が錯綜しますので混同を避けるために、物体の存在する“時空座標値”小文字の(x,y,z,t)で表し、各座標系の“座標軸名称”大文字の(X,Y,Z)で表すことにします。

 まず静止S系のX軸、Y軸、Z軸を考えます。(上図参照)
 そのS系三軸の直角関係を保ったまま三次元空間回転をして、S’系X’軸、Y’軸、Z’軸に移行します。そのときX’軸S系に対するS’系移動速度ベクトル(Vx、Vy,Vの方向に一致するようにしますが、Y’軸Z’軸X’軸に垂直であり、かつY’軸Z’軸で在りさえすれば任意の方向を向いていてもかまいません。
 次に、S’系のX’軸方向に速度Vで移動するS”系を考えます。もちろん、S”系X”軸、Y”軸、Z”軸X’軸、Y’軸、Z’軸と平行関係を保ったまま移動するものとします。そのとき、S’系からS”系へは“特殊ローレンツ変換”で変換すればよい。
 そしてさらに、S”系からへは互いの直角関係を保ったまま三次元空間回転で変換する。
 このとき、、S系からS’系への変換およびS”系からS系への変換は、単なる“空間座標の回転”だから、時間に関しては t=t’、および t”=t となることに注意して下さい。
 また、それぞれの座標系における時間は、すべての座標系の原点が一致していた瞬間の時刻を0として測り始めるとしていることを忘れないで下さい。

 

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2.三次元空間回転

)座標軸の方向余弦ベクトル

 前節のS系とS’系の間の変換を例にして、三次元空間回転の座標値変換公式を説明します。

 上図の様に
  X’軸とX軸のなす角をθX'X
  X’軸とY軸のなす角をθX'Y
  X’軸とZ軸のなす角をθX'Z
とします。
 そうするとX’軸方向の単位ベクトル X' はその方向余弦を用いて

と表せます。そのとき、座標値 x’ は座標ベクトル のX’軸方向への射影成分だから、単位ベクトル X' と座標ベクトル “内積”(eX' で表せます。すなわち

となります。(別項「ベクトルの内積と外積の成分表示」1.参照)
 全く同様にして、

 上左図の様に
  Y’軸とX軸のなす角をθY'X
  Y’軸とY軸のなす角をθY'Y
  Y’軸とZ軸のなす角をθY'Z
とします。
 また上右図の様に
  Z’軸とX軸のなす角をθZ'X
  Z’軸とY軸のなす角をθZ'Y
  Z’軸とZ軸のなす角をθZ'Z
とします。
 上図を参照すれば座標値 y’ と z’ は以下の変換で表される。

 

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(2)三次元空間回転のローレンツ変換

 前節で導いた三次元空間回転“ローレンツ変換”行列表示すると

となる。
 次に
  X軸とX’軸のなす角をθXX'、 X軸とY’軸のなす角をθXY'、 X軸とZ’軸のなす角をθXZ'
  Y軸とX’軸のなす角をθYX'、 Y軸とY’軸のなす角をθYY'、 Y軸とZ’軸のなす角をθYZ'
  Z軸とX’軸のなす角をθZX'、 Z軸とY’軸のなす角をθZY'、 Z軸とZ’軸のなす角をθZZ'
として、同様な考察をすれば“逆変換”

が導かれる。
 ここで
  θXX'=θX'X、θXY'=θY'X、θXZ'=θZ'X
  θYX'=θX'Y、θYY'=θY'Y、θYZ'=θZ'Y
  θZX'=θX'Z、θZY'=θY'Z、θZZ'=θZ'Z
であるから上記の式は

と書き直せる。
 つまり、逆変換は順方向の変換行列の行と列を入れ替えた“転置行列”(transposed matrix)で表せる。

 

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(3)方向余弦ベクトルが満たす関係式

 各軸方向の単位ベクトル X'、eY'、eZ' は互いに直行しており、その大きさが です。そのためこれらの単位ベクトルの内積を作ってみればすぐに解る様に、単位ベクトルの方向余弦成分に関して

が成り立つ。(別項「ベクトルの内積と外積の成分表示」3.(5)1.参照)
 さらに、 θX'X=θXX'、θX'Y=θXY'、θX'Z=θXZ'、・・・等々 を考慮すれば、同様な関係が“転置行列”の成分に関しても成り立つ。

 

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(4)X’軸方向余弦ベクトルと座標移動速度との関係

 1.(2)の図と対比すれば、X’軸方向余弦ベクトルは、座標移動速度ベクトル成分を用いて

のように表されることが解る。

 

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3.一般ローレンツ変換

)準備

 1.(2)の導出手順に帰ると、そこのS”系座標軸に対する方向余弦ベクトルは、2.(1)で説明したS’系座標軸S系に対する方向余弦ベクトルと同じです。そのためS”系からS系への三次元空間回転“ローレンツ変換”に関してはS’系からS系へのローレンツ変換の関係式がそのまま使えます。
 ところでS’系からS系への“ローレンツ変換”はS系からS’系への“ローレンツ変換”“逆変換”でしたから、S”系からS†系への三次元空間回転“ローレンツ変換”は行列表現で以下のようになります。

 S’系からS”系へのローレンツ変換はもちろん

です。
 また、S系からS’系への三次元空間回転“ローレンツ変換”2.(1)で求めたように

となります。

 

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(2)一般ローレンツ変換

 前節の三つの変換を引き続いて行えば一般ローレンツ変換”が得られます。つまり

となりますので、

の行列の積を計算すればよい。右の掛け算から実行すると

となる。さらに掛け算を実行して

となる。
 ここで2.(3)の関係式

を用いると

となる。
 ここでさらに、2.(4)の関係式

を適用すると“一般ローレンツ変換”

となる。

補足説明1
 ここで、移動速度を特別な

にすると、上記変換式は1(1)で述べた特殊ローレンツ変換に帰着します。そのため自然な拡張になっていることが確認できる。

補足説明2
 ここのローレンツ変換は“4元座標”として、(x,y,z,ct)ではなく、(x,y,z,t)としていることに注意して下さい。この当たりに付いては別稿「4元速度、4元加速度と4元力」6.をご覧下さい。
 また、座標軸の移動速度を、小文字ではなくて、大文字で表していることを忘れないで下さい。

  

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4.参考文献

  この稿を作るとき下記文献を参考にした。

  1. 物理学史研究会編「物理学古典論文叢書4 相対論」東海大学出版会(1969年刊)
    3. M.Planck著「相対性原理と力学の基本」 
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