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4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力

 4元速度・4元加速度・4元力は、一般相対性理論へ進むとき避けて通れない所です。
 本稿のテーマは、別稿「Einsteinの特殊相対性理論(1905年)」、「Einsteinの公式 E=mc2 の証明」、「相対論的力学」、「電磁場の相対性」に続くものですが、ここでは時間、速度、加速度を表す記号が様々出てきてかなり錯綜します。
 混乱を避けるために、S系とS’系の時間や速度の表現、S系に対するS’系の相対速度について下記のように表記することにします。そのため、上記の稿で説明した事柄を利用するときには下記の新表記に書き換えて引用しますので御注意ください。

 本稿では、特殊相対性理論に出てくるS系に対するS’系の移動速度を(今まで用いたvの替わりに)大文字の“V”で表します。
 
 また、S系で観測した速度を

と表す。(x,y,z,t)は、S系に固定されている物差し棒で測った物体の位置の読み取り値であり、S系とともに動いている時計で計った時計の示す時刻です。
 次に、S系のx軸の正方向に速度で移動しているS’系を考えます。S系で観察している同じ物体の位置と時刻をS’系に固定されている物差し棒の読みとS’系とともに動いている時計で計った時刻で表したものが(x’,y’,z’,t’)です。
 二つの系の時計は、S系とS’系の物差し棒の原点がすれ違った瞬間をt=t’=0として、それぞれの時刻を測り始めます。
 そのS’系で観測した速度を

で表します。
 
 「相対論的力学」3.では、これらの量に u=(ux、uy、uz) と u’=(ux’、uy’、uz’) を用いました。本稿ではこれらの表記を別な目的で用る為に上記の様に書き直した。

 

1.導入

)特殊相対性理論に現れた4元量

.4元量

 特殊相対性理論に現れた(座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)の4成分は、観測系をS系からS’系に変換するに当たって、これらは不可分の成分として下記の“ローレンツ変換”

に従って変換された。
 つまり、互いに入り交じった形で取り扱わねば成らない。これは、あたかも(x,y,z,t)を、三次元空間(x,y,z)に第四の次元としてtを加えた、四次元空間における量として取り扱う事ができ、またその様に取り扱わねばならない事を示している。

 同様に、運動量(px,py,pは質量と一緒になって(運動量・質量)4元ベクトル(px,py,p,m)を構成すると考えねばならない事を「相対論的力学」3.(4)で説明した。
 同じく、(5)節で説明したように、電流密度(jx,jy,jは電荷密度と一緒になって(電流密度・電荷密度)4元ベクトル(jx,jy,j,ρ)と考えねばならない。
 その様に考えねばならないのは、それらの量が(座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)と全く同じ“ローレンツ変換”に従ってS系での値(観測値)からS’系での値(観測値)に変換されるからです。その当たりは(5)節[補足説明6]で注意した所です。

 

.4元量が満たす性質

 (座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)“ローレンツ変換”で変換されるならば、下記の関係式が成り立つ事は直ちに言える。

このことは、下記の式変形を見れば明らかです。

 この関係式は、Einsteinが1905年論文で指摘しているように、t=t’=0に互いにすれ違うS系とS’系の共通な原点から光の球面波が発射されたとすると、この球面波が時刻tに、点(x,y,z)に到達したことを示しており、その同じ点をS’系から見ると時刻t’の(x’,y’,z’)に到達したことを示しているのであった。
 Einstein論文の2.(4)[補足説明3]で注意したように、この関係式は相対性理論の根幹に関わるものでした。
 さらに、Einstein論文の2.(8)4.で説明したように、このことを用いると四次元的な世界距離Δsを二乗した量も“ローレンツ変換”に対して不変となることが言えた。つまり

が成り立つ。

 同様にして、(運動量・質量)4元ベクトル(px,py,p,m)(座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)と同じ“ローレンツ変換”によって変換されることから

が言える。このことは“ローレンツ変換”により簡単に証明できる。

 全く同様にして、(電流密度・電荷密度)4元ベクトル(jx,jy,j,ρ)から構成される下記の量が同様な関係式

を満足することが証明できる。
 つまり4元ベクトル量から構成されるこれらの量はS系やS’系の観測座標系に拠らず不変的な値となる。
 このことは、 2+y2+z2−c22“ローレンツ変換”に対し不変であった事と同様にこれらの量が“ローレンツ変換”に対し不変であることを意味する。

 

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(2)特殊相対性理論で使われた3次元速度と3次元力の変換式

.3次元速度

 前節で出てきた(運動量・質量)4元ベクトル(px,py,p,m)(電流密度・電荷密度)4元ベクトル(jx,jy,j,ρ)3次元速度のローレンツ変換共変の変換式を用いて求めた。
 すなわち、S’系のx’軸、y’軸、z’軸に固定された三本の物差し棒とS’系に固定された時計の時刻 t’ で測った在る物体(可秤質点)の速度(vx’,vy’,v’)と、同じ物体をS系のx軸、y軸、z軸に固定された三本の物差し棒と、S系に固定された時計の時刻 t で測った速度(vx,vy,v)の間に成り立つ変換式

を利用して求めたのでした。
 これら3次元速度の変換式の求め方は別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」2.(7)2.(8)3.で説明していますが、簡単に復習すると、ローレンツ変換

を用いて、その両辺の時間微分をした関係式を代入して求めた。

 もともと速度は、座標値、運動量、電流密度と同じ3次元ベクトル量です。そのため3次元ベクトル量の座標値、運動量、電流密度に密接に関係しています。ならば、座標値、運動量、電流密度(座標・時間)、(運動量・質量)、(電流密度・電荷密度)として四次元化されたように、速度も四次元化できないのだろうかという疑問が生じます。
 1.(1)で述べた四次元量の導出(「相対論的力学」参照)では、速度ベクトルは三次元のままで用いました。その変換式は確かにローレンツ変換共変の変換式なのですが、(座標・時間)4元ベクトルが満足する“ローレンツ変換”とは異なっています。
 なぜ速度も四次元化されて(座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)と同じ形の“ローレンツ変換”に従うようにできないのでしょうか。
 この疑問に答えるのが本稿の目的です。

 

.3次元力

 3次元速度vと同様な事情が、別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明3]で説明した3次元力Fについても言えます。
 そこで説明したように、物体がS系のx軸方向にvxで、S’系のx’軸方向にvx’で動いている場合には
S’系の移動方向と垂直な方向に働く力の変換式

であり 
S’系の移動方向に平行な方向に働く力の変換式

でした。これらの変換式は力の定義に留意して(座標・時間)4元ベクトル(運動量、質量)4元ベクトル“ローレンツ変換”を用いて導いたのでした。
 この3次元力の変換式もローレンツ変換共変の変換式で、3次元速度の場合と似ていますが、決して(座標・時間)4元ベクトル“ローレンツ変換”と同じでは有りません。

補足説明1
 3次元速度3次元力はローレンツ変換共変の変換式にしたうが、(座標・時間)4元ベクトル、(運動量・質量)4元ベクトル、(電流密度・電荷密度)4元ベクトルの様に“ローレンツ変換”によって変換されているわけではありません。
 3次元速度や、3次元力“ローレンツ変換”によって変換されるように“4元化”できないのでしょうか。この疑問に答えることが、本稿の目的です。

 

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2.4元速度

 速度、加速度、力は元々三次元空間の座標値、運動量、電流密度と同じ3次元ベクトル量です。
 ならば、座標値、運動量、電流密度などが第4成分として時間、質量、電荷密度を付け加えて四次元化され同一の“ローレンツ変換”で変換された様に、速度、加速度、力も四次元化されるべきです。
 その為のヒントは運動量や電流密度を四次元化したやり方の中にあります。

)4元速度

.4元速度の定義

 別稿「相対論的力学」(4)[補足説明2]の変換式を注意深く検討すれば、“4元速度”として

と定義すればよいことが解る。
 ここで(vx、vy、v3次元速度であり、(vx=dx/dt、vy=dy/dt、vz=dz/dt) と v2=vx2+vy2+vz2 を意味する。つまり、物体の速度を観測している慣性座標系に設置してある物差し棒(x,y,z)と時計tで計った値です。

 実際、3次元速度ベクトルについて成り立つローレンツ変換共変の変換式

を用いれば、(座標・時間)4元ベクトル(x,y,z,t)“ローレンツ変換”に従って変換された様に、上記で定義した4元速度“ローレンツ変換”に従って変換されることが証明できる。




同様に



が導ける。以上をまとめると

となる。

補足説明1
 上記の4元速度の“ローレンツ変換”を導く式変形を逆にたどって、最初の式に帰り

とすれば、S’系での速度が、S’系での座標値(x’,y’,z’)をS’座標系の固有時 t’ で微分したもので定義されるv’=(dx’/dt’、dy’/dt’,dz’/dt’)に戻り、S系での速度が、S系での座標値(x,y,z)をS座標系の固有時 t で微分したもので定義されるv=(dx/dt、dy/dt,dz/dt)に戻ります。
 つまり、最初の3次元速度のローレンツ変換共変な変換式(77a’)、(77b’)、(77c’)に帰着します。ですから、この4元速度の定義は3次元速度の自然な拡張に成っている。

 

.4元速度のローレンツ変換

 前項で説明したように、“4元速度”

と定義すれば、これは(座標・時間)4元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”に従う。
 
 つまり、S’系のx’軸、y’軸、z’軸に固定された三本の物差し棒とS’系に固定された時計で測った、在る物体(可秤質点)の座標・時刻(x’,y’,z’,t’)と、その同じ物体をS系のx軸、y軸、z軸に固定された三本の物差し棒と、S系に固定された時計で測った座標・時刻(x,y,z,t)の間の関係を定める変換式

と同じ形で変換される。
 それぞれの座標系に固定された時計の時刻は、S系座標物差し棒とS’系の座標物差し棒の原点がすれ違う瞬間をt=t’=0として計時を開始している事を忘れないでください。

補足説明1
 4元速度の定義は、最初に述べた3次元速度の定義とは違っており、互いに異なる値となります。しかし、両者は互いに密接に関係しています。
 その大きさは倍だけ異なりますが、空間成分ベクトルの方向は同じです。

 

.4元速度成分から構成される座標変換不変量

 “4元速度”成分“ローレンツ変換”によって変換されるのならば、(座標・時間)4元ベクトルと同様な関係式

が成り立ちます。
 そのため

という量が、座標変換に関して不変となることが解る。

 

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(2)4元化と固有時

 4元速度の定義式に関して重要な注意をします。

.固有時

 “4元速度”の定義におけるv=(vx,vy,vzは、(vx=dx/dt、vy=dy/dt、vz=dz/dt) と v2=vx2+vy2+vz2 を意味していました。つまり、物体の速度を観測している慣性座標系の物差し棒と時計で計った値です。
 このとき、相対性理論では静止慣性系Sに対して速度vで動いている座標系S’の時間間隔Δτは、その動いている座標系を観測するもとの静止座標系Sの時計の時間間隔Δtよりも短くなった。つまり

となり、動いている座標系に付随する時計の時間はゆっくり流れる。動いている物体に固有の時間は遅れると言うことでした。(別稿「アインシュタインの特殊相対性理論」2.(6)2.を復習)
 この時刻τの事を物体(S’系に付着している時計)の“固有時”と言います。要するに動いている物体の自然現象の進み方はゆっくりになると言っている。固有時の概念はそれ以外の何者でもありません

 

.固有時のローレンツ変換不変性

 前項で説明した慣性系Sで速度v=(vx、vy,v)を持つ物体に固有の時間τの時間間隔Δτはローレンツ変換に対して不変です。なぜなら

と変形できるが、別項「アインシュタインの特殊相対性理論」2.(8)4.で証明したようにこの右辺が“ローレンツ変換”に対して不変だからです。
 このことは、物理量を四次元化するとき“固有時”がきわめて重要であることを示している。
 また、−c2dτ21.(1)2.で定義した“世界距離”ds2乗そのものであることに注意されたし。

 

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(3)固有時表現した4元速度

.4元速度のローレンツ変換

 ここで、動いている座標系S’をS系からみて速度Vで動いている物体に常に張り付いている座標系としましょう。
 S系から見た物体の速度v=(dx/dt、dy/dt,dz/dt)は時刻 t の変化とともに時々刻々と変化していきますが、その物体の速度を計算する時間をS系の時間間隔Δt ではなくてS’系での時間間隔Δτで測ることにしてみましょう。
 つまりS系から測った物体の速度を v=(dx/dt、dy/dt,dz/dt) ではなくて u=(dx/dτ、dy/dτ,dz/dτ) で測るのです。そのとき、

の式変形から解るように、この右辺は先に定義した4元速度に一致している。
 すなわち、“4元速度”とは、物体が動いている座標系Sの時計で測るのではなくて、その動いている物体そのものに付着している時計が示す時刻τ(物体の“固有時”)で測った速度のことです。

 つまり4元速度ベクトルを

で定義したと解釈すれば、S系から見た4元速度ベクトルのS’系における値は

に従う。つまり、(座標・時間)4元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”で結びつけられる。
 この“ローレンツ変換”の意味はわかりにくいが、左辺はS’系からみて速度 v’で動いている物体の固有時τ’で測ったその物体の速度成分です。もちろん(x’,y’,z’,t’)はS’系での物体の位置座標と時刻です。
 また、右辺はS系から見て速度 で動いている物体の固有時τで測ったその物体の速度成分です。もちろん(x,y,z、t)はS系での物体の位置座標と時刻です。
 そして、S系での時刻 とS’系での時刻 t’ から構成される dt/dτdt’/dτ’ が第四の成分として含まれている。
 もちろん式中の “V” は、S’系がS系のx軸方向に速度で動いている慣性系である事を示しています。

 

.4元速度のローレンツ変換

 座標系に付属する時間 で微分した 3次元速度 と区別するために、今後は 固有時 τ で微分した4元速度“u” で表すことにする。
 すなわち、τをS系から見て速度 (uではないことに注意)で動いている物体の“固有時”としたとき、τで微分して得られる物体の4元速度をu(τ)

で表す。(x,y,z,t)は、S系に固定されている物差し棒で測った物体の位置座標と、S系に固定されている時計で計った物体の時刻です。
 また、τ’をS’系から見て速度 v’(u’ではないことに注意)で動いている物体の“固有時”としたとき、τ’で微分して得られる物体の4元速度をu’(τ’)

で表す。もちろん(x’,y’,z’,t’)はS’系に固定されている物差し棒で測った位置座標と、S’系に固定されている時計で計った物体の時刻です。
 本稿では常に、S’系はS系のx軸に沿ってx軸の正方向に速度で移動しているとしている。

 この“4元速度”の表現記号を用いると、前項の“ローレンツ変換”

となります。

補足説明1
 上記の4元速度を3次元速度の表現に置き換えると

となり、3次元速度の変換式に帰着する。第4成分は恒等式となる。

補足説明2
 4元速度(ux,uy,uz,dt/dτ)は慣性系Sに対して速度(vx,vy,vz)で動いている慣性系S’に於いて静止している質点の4元速度をS’系からS系での値にローレンツ変換したものと同じです。
 実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度(Vx,Vy,Vz)を速度(−vx,−vy,−vz)で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
 S’系での4元速度は(0,0,0,1)だから、これをローレンツ逆変換すると

となり、S系での4元速度の表現となる。
 S’系での4元速度の第4成分がdt/dτ=1であることは、S’系がその質点が静止している慣性系である事を、つまりその質点が静止の状態であることを表している。
 
 もちろん、S系での4元速度表現値をS’系へローレンツ変換(別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の速度(Vx,Vy,Vz)を速度(vx,vy,vz)で置き換えたもので)すると、S’系での観測値(0,0,0,1)に戻ります。


 

.4元速度の性質

 4元速度はローレンツ変換に従うので、他の4元量と同様に“4元速度”から構成される下記の量が

“ローレンツ変換”に対して不変となります。一定値が−c2になるのは前項[補足説明2]で説明したように速度がゼロとなる座標系へローレンツ変換すれば dt/dτ や dt’/dτ’ が 1 に変換されるからです。

 

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3.4元運動量と4元電流密度の新解釈

 「相対論的力学」3.(4)で説明した(運動量・質量)4元ベクトル「相対論的力学」3.(5)で説明した(電流密度・電荷密度)4元ベクトルの定義式を“固有時”を用いて解釈し直すと、これらが“4元運動量”であり“4元電流密度”であることがよく解ります。

)(運動量・質量)4元ベクトルの新解釈

 別稿「相対論的力学」3.(4)[補足説明2]で、(運動量・質量)4元ベクトルを次のように定義した。

ここで、4元速度の定義式で利用した関係

を用いると、
 (運動量・質量)4元ベクトル

と表される。

 ここでτはS座標系で速度 で動いている物体の固有時であり、“m0はその物体とともに動いている座標系から見た物体の質量です。もともと静止質量と言われていた量ですが、時々刻々変わる速度 で動く物体に固定した座標系での静止質量ですから、これはその物体の固有時と同じように、その物体の“固有質量”と言うべき量です。
 つまり、固有質量を用いれば任意の座標系Sにおいて速度 で動いている物体の運動量成分は、[固有質量]×[4元速度]で表されるということになります。

 この“4元運動量”の成分は、観測する慣性系がS系からS’系(S系のx軸方向に速度で移動)に変われば、固有質量 0 はそのままで、固有速度は(dx/dτ、dy/dτ、dz/dτ)から(dx’/dτ’、dy’/dτ’、dz’/dτ’)に変わります。
 そして、上記で定義される(運動量・質量)4元ベクトルは、(座標・時間)4元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”に従って変換されます。

 このときもちろん、“4元運動量”については1.(1)2.で述べたように

が成り立ちます。一定値が−c202となるのは、以下の[補足説明1]で説明するように運動量がゼロになる座標系にローレンツ変換すると E/c2=m(v) や E’/c2=m’(v’) が m0 に変換されるからです。

補足説明1
 4元運動量(px,py,pz,m)は慣性系Sに対して速度(vx,vy,vz)で動いている慣性系S’に於いて静止している質量m0をS’系からS系での値にローレンツ変換したものと同じです。
 実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度(Vx,Vy,Vz)を速度(−vx,−vy,−vz)で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
 S’系での4元運動量は(0,0,0,m0)だから、これをローレンツ逆変換すると

となり、S系での4元運動量の表現となる。4元運動量の第4成分は物体の質量そのものを表している。つまり、物体の質量は運動量成分と一緒になって時間的な成分としてローレンツ変換される。
 
 もちろん、S系での4元運動量表現値をS’系へローレンツ変換(別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の速度(Vx,Vy,Vz)を速度(vx,vy,vz)で置き換えたもので)すると、S’系での観測値(0,0,0,m0)に戻ります。

 

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(2)(電流密度・電荷密度)4元ベクトルの新解釈

 同様な事が、別稿「相対論的力学」3.(5)[補足説明4]で、定義した(電流密度・電荷密度)4元ベクトルの定義式についても言える。

 ここで、“ρ0 は時々刻々変わる速度 で動く電荷に固定した座標系で見た電荷密度ですが、これは常に“ローレンツ変換”に対して不変な“固有電荷密度”と言うべき量です。すなわち、任意の座標系において物体が持つ電流密度成分は、[固有電荷密度]×[4元速度]となる。

 この“4元電流密度”の成分は、観測する慣性系が変われば“ローレンツ変換”に従って変換されます。

このときもちろん、“4元電流密度”については1.(1)2.で述べたように

が成り立ちます。一定値が−c2ρ02となるのは、以下の[補足説明3]で説明するように電流密度がゼロになる座標系にローレンツ変換すると ρ や ρ’ が ρ0 に変換されるからです。

補足説明1
 上記の

のρ’はS’系から見て速度ベクトル v’=(vx’,vy’,v’) で動いている電荷の電荷密度を、ρはS系から見て速度ベクトル =(vx,vy,vz) で動いている電荷の電荷密度を意味します。また jx=ρ(v)・vx(t)=ρ0・ux(τ) と jx’=ρ(v’)・vx'(t’)=ρ0・ux'(τ’) 意味します。そのため上記の式は

となる。
 この式は、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(4)[補足説明2]で説明した関係そのものです。そこの3次元での説明はなかなか解りにくかったが、ここのように4元電流密度の第四成分のローレンツ変換式であると考えると、非常にすっきりと理解できる。

補足説明2
 この章で“固有質量”とか、“固有電荷密度”という言い方が出てきたが、いずれもその物体が静止している基準系で測ったときの質量であり、電荷密度です。
 このように考えれば、物体が静止している基準系で測った物体の長さが“固有長さ”であり、物体の体積を“固有体積”ということもできる。それらの物体が動いて見える基準系で測ると、それらの物体の長さは縮み、体積は減少する。

補足説明3
 4元電流密度(jx,jy,jz,ρ)は慣性系Sに対して速度(vx,vy,vz)で動いている慣性系S’に於いて静止している固有電荷密度ρ0をS’系からS系での値にローレンツ変換したものと同じです。
 実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度(Vx,Vy,Vz)を速度(−vx,−vy,−vz)で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
 S’系での4元電流密度は(0,0,0,ρ0)だから、これをローレンツ逆変換すると

となり、S系での4元電流密度の表現となる。
 “固有電荷密度”がローレンツ変換に対して不変なことは、電荷密度を構成する荷電粒子(電子など)の電荷がローレンツ変換に対して不変(つまり運動速度に依存して変化することは無い)から導かれる事です。このことは別稿「アインシュタインの特殊相対性理論(1905年)」3.(4)[補足説明5]などで特に注意しました。
 電荷密度が電流密度とともに4元ベクトルを成すと言うことは、電荷密度が電流密度と一緒になって時間的な成分としてローレンツ変換されると言うだけで、それ以上の意味はありません。
 
 もちろん、S系での4元電流密度表現値をS’系へローレンツ変換(別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」3.(2)の速度(Vx,Vy,Vz)を速度(vx,vy,vz)で置き換えたもので)すると、S’系での観測値(0,0,0,ρ0)に戻ります。

 

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4.4元加速度 

 3次元速度3次元加速度のローレンツ変換共変の変換式を元にして、“ローレンツ変換”に従う“4元加速度”の定義式を見つけます。

)3次元加速度の変換式

 最初に3次元加速度について説明する。慣性系Sでの加速度成分を

とし、慣性系S’で観測するときの加速度成分を

とするとする。もちろん、S’系はS系のx軸方向に速度Vで動いているとしている。
 これらの加速度成分は次の変換式で変換されます。3次元加速度の変換式も3次元速度の変換式と同様に考えればよい。1.(2)1.で復習した3次元速度の変換式を利用すれば


同様に

となる。
 以上をまとめると

となる。逆変換は相対性理論原理により、Vを−Vとし、’の付いた量と付いていない量を入れ替えればよい。これが3次元加速度のローレンツ変換共変の変換式です。

補足説明1
 これは、一つの物体が動いている様子を見たとき、S系の物差し棒と時計で測定した物体が時刻 の瞬間に持つ加速度(ax、ay、az)を、S’系に付属の物差し棒と時計で測定した加速度(a’x、a’y、a’z)の時刻 t’ の瞬間における測定値に結びつける関係式です。もちろん、これらの加速度は同じ物体の同じ時刻(S系の時計は をS’系の時計は t’ を示しているが)におけるそれぞれの座標系での測定値を結びつけています。
 これはローレンツ変換共変な変換式ではありますが、3次元速度と同様に“ローレンツ変換”そのものではありません。

 

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(2)4元加速度

 2.(3)1.で説明した4元速度ベクトルの新解釈を考慮すると“4元加速度”の定義は下記の様にすべきであろう。3次元加速度との混同を避けるために、今後は4元加速度を表すのにギリシャ文字“α”を用いることにします。

つまり、“4元加速度”として

と定義すればよい。ここで(vx、vy、v3次元速度であり(ax、ay、a3次元加速度です。
 これは、動いている一つの物体を観察したときに、S系の物差し棒と物体の固有時τで測定した物体が時刻 の瞬間に持つ4元加速度(αx、αy、αz、αt)が、S系の物差し棒と時計で測った3次元速度(vx、vy、vz)、3次元加速度(ax、ay、az)でどのように表されるかを示している。
 同様に、動いている一つの物体をS’系で観察したときに、S’系の物差し棒と物体の固有時τ’で測定した物体が時刻 t’ の瞬間に持つ4元加速度(αx’、αy’、αz’、αt’)が、S’系の物差し棒と時計で測った3次元速度(vx’、vy’、vz’)、3次元加速度(ax’、ay’、az’)でどのように表されるかを示している。
 もちろん、これらの4元加速度は同じ物体の同じ時刻(S系の時計は をS’系の時計は t’ を示している)におけるそれぞれの座標系での測定値です。
 3次元加速度がローレンツ変換共変の変換式だったのと違って、この4元加速度“ローレンツ変換”そのものを満たしていることが証明できます。

補足説明1
 4元速度の空間成分は3次元速度の成分の倍でしたが、その空間における速度ベクトル方向は一致していました。
 しかし、4元加速度の空間成分は3次元加速度の成分と、そのベクトルとしての大きさも方向も一致していないことに注意してください。違っていますが、一般相対性理論では4元加速度が必要です。

 

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(3)4元加速度はローレンツ変換に従う

 4元加速度は、3次元加速度と違って、“ローレンツ変換”に従ってS系での観測値とS’系での観測値が結びつけられます。しかし、この証明はかなり面倒です。そのためあらかじめ証明に用いる公式を準備しておきます。

.証明に用いる公式

 証明には、3次元速度3次元加速度の変換式が必要です。それらを公式@公式Aとします。

これらはローレンツ変換ではないが、ローレンツ変換共変の変換式でした。
 さらに、4元速度のローレンツ変換を導いたとき利用した変換公式

が必要です。この公式は公式@を用いて導かれます。
 上記公式から下記の公式B公式C公式Dが導けます。



さらに、下記の公式Eが導けます。

公式Eの証明は、公式@公式A公式Dを用いて、次のようにすればよい。

 

.4元加速度はローレンツ変換に従う

 公式@公式A公式B公式C公式Eを用いれば、4元加速度“ローレンツ変換”に従って変換されることが証明できる。




同様にして

さらに


が得られる。
 以上をまとめると、“4元加速度”はS系からS’系の値に以下の“ローレンツ変換”によって変換される。

逆変換は相対性原理から、Vを−Vとし、’の付いた量と付いていない量を入れ替えればよい。

補足説明1
 上記の4元加速度ローレンツ変換式に3次元速度と3次元加速度による表現

を代入すると

となるのですが、その空間成分3式の左辺第一項を4.(3)1.で説明した公式Cで、第二項を公式@、公式B、公式Eで置き換えて変形・整理すると、最初の3式は3次元加速度の変換式つまり公式Aに帰着します。
 また、時間成分である第4式は、左辺に公式Cを適用して変形・整理すれば

となります。ただしこれはすでに求めた公式Eと同じです。

 

.4元加速度が従う式

 4元加速度“ローレンツ変換”に従って変換されるので、他の4元ベクトル量と同じように

“ローレンツ変換”に対して不変な量となる。
 つまり、“4元加速度”に付いて

が常に成り立つ。このことは実際にローレンツ変換式で変換してみれば簡単に確認できます。

 

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5.4元力

 4元加速度を元にして、“ローレンツ変換”に従う“4元力”の定義式を見つけます。

)3次元力の変換式

 4元力を導く準備として、3次元力のローレンツ変換共変の変換式を復習します。

.物体の速度がS’系の移動速度Vと平行な場合

 3次元力のローレンツ変換共変の変換式は、別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明3]ですでに求めましたが、そのときのS系から見たS’系の移動速度をではなくで表し直します。
 S系のx軸方向に速度で動くS’系間への力の変換式を表しているのだが、そこでは3次元力の変換を考えている瞬間には、力が働いている質点のS’系の速度はx’軸方向に x であるとし、同じ瞬間の同じ質点のS系から見た速度もx軸方向にx=(vx’+V)/(1+vx’V/c2 としていた。そのときの図を本稿での記号に書き直して再録すると

の状況での変換式でした。つまり質点(電荷)の速度ベクトルの方向がS’系のS系に対する移動方向と平行な場合でした。
 このとき、「電磁場の相対性」5.[補足説明2]で力の変換式を導くときには電磁気学における“ローレンツの力の法則”を利用していますが、その助けを借りずに求めたのが「電磁場の相対性」5.[補足説明3]です。
 両者の違いは、そこの注意書き「電磁場の相対性」5.[補足説明2−1]、または別稿「相対論的力学」2.[補足説明8]をご覧になれば解ります。

 

.物体の速度が任意の方向を向いている場合

 以下で3次元力の変換式をもう少し一般化します。つまり、S系S’系から見た質点の3次元速度

であるとし、質点の速度が必ずしもx軸、x’に平行では無い一般的な場合を取り上げます。
 もちろん、ここでもS’系S系のx軸の正方向へ速度 で動いているとしています。そして両座標系の固有時間 t と t’ は両系の原点がすれ違った瞬間を 0 として測り始める。
 別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明3]の手順を一般的な質点速度の場合に拡張すると、3次元力のローレンツ変換共変の変換式は下記の様にして求まります。

 まず、別項「相対論的力学」3.(4)[補足説明2]で求めたように、(運動量・質量)4元ベクトル“ローレンツ変換式”

でした。このことを用いて別稿「電磁場の相対性」5.[補足説明3]の手順を繰り替えすのですが、同じ繰り返しをしても能がないので、ここではS’系→S系の変換式ではなくて、S系→S’系の変換式を求める事にします。




となりますから、結局

となります。
 S系→S’系への変換式は、S系での三次元力から出発してS’系→S系への(座標・時間)ローレンツ変換と、(運動量・質量)ローレンツ変換を用いれば全く同様に求まります。
 もちろんそれは、相対性原理により、上記の変換式のVを−Vに変換して ’ の付いたFx’、Fy’、Fz’、vx’と、 ’ の付いていないFx、Fy、Fz、vxを入れ替えたものに一致します。このときvx’をS系から見た物体の移動速度であるvxに置き換えなければならないことに注意して下さい。
 まとめると

となります。いずれにしても、これが3次元力のローレンツ変換共変の変換式です。

 

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(2)4元力

.4元力の定義

 3.(1)で説明した(運動量・質量)4元ベクトルの新解釈や4.(2)で説明した4元加速度の定義を考慮すると、“4元力”は下記の様に定義すれば良いであろう。
 ただし今後は、“3次元力” F との混同を避けるために“4元力”の表現には小文字 を用いることにする。

 ここで(vx、vy、v3次元速度であり(ax、ay、a3次元加速度です。
 これは、動いている一つの物体をS系の物差し棒と物体の固有時τで観察したときに、時刻 の瞬間に物体に働く4元力(xyztが、S系の物差し棒と時計で測った3次元速度(vx、vy、vz)、3次元加速度(ax、ay、azでどのように表されるかを示している。
 同様に、動いている一つの物体をS’系の物差し棒と物体の固有時τ’で観察したときに、時刻 t’ の瞬間に物体に働く4元力(x’、y’、z’、t’)が、S’系の物差し棒と時計で測った3次元速度(vx’、vy’、vz’)、3次元加速度(ax’、ay’、az’)でどのように表されるかを示している。
 もちろん、これらの4元力は同じ物体の同じ時刻(S系の時計は をS’系の時計は t’ を示している)におけるそれぞれの座標系での測定値です。
 四元力“ローレンツ変換”そのものを満たしていることが証明できます。

 

.4元力の別表現

 すでに説明した、4元加速度3次元表現を用いると、前項の定義を様々な形に変形できる。




補足説明1
 ここで“4元力”の第4成分は、

になることに注意されたし。
 その証明は5.(1)2.で用いた手順に従えばよい。

  あるいは、2.(3)3.で求めた“4元速度”について成り立つ公式を用いても良い。

“4元力”の表現には4元量と3次元量が混在していてかなり錯綜しています。

 4元量だけを用いた表現を取り出すと

になります。

 3次元量だけを用いた表現を取り出すと



になります。

 

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(3)4元力はローレンツ変換に従う 

.4元力はローレンツ変換に従う

 4.(2)で、3次元速度3次元加速度を用いて表した“4元力”を説明しました。

 この“4元力”定義式中の“4元加速度”の4成分は“ローレンツ変換”に従うことを4.(3)2.で証明した。そのため、4元加速度0を乗じて得られる“4元力”“ローレンツ変換”に従います。すなわち

を満たす。

補足説明1
 もちろん、この“ローレンツ変換”式は、S’系での4元力をS’系での3次元力で表した後、5.(1)2.で求めた3次元力の変換式4.(3)1.で求めた公式Bを用いて変形しても証明できます。証明は4元加速度の場合より簡単です。

補足説明2
 上記“ローレンツ変換”4元力に3次元力での表現

を代入すると
 
となり、空間成分は3次元力の変換式に帰着する。時間成分の第4式は3次元仕事率の変換式を表している。

 

.4元力の満たすべき性質

 4元力“ローレンツ変換”に従ってS系の観測値からS’系での観測値に変換されます。そのため“4元力”は、他の4元量と同様に

の関係式を満たします。このことは実際にローレンツ変換式で変換してみれば簡単に確認できます。

 

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(4)4元運動方程式

.運動方程式

 4元力の表現から、“4元運動方程式”

となることは明らかであろう。

補足説明1
 4元運動方程式を3次元量で表すと

となる。空間部分の3成分は、Max Planck が1906年3月論文で最初に導いた相対論的“3次元運動方程式”に一致する。第4成分は恒等式となる。

 

.特殊相対性理論における運動方程式

 動いている物体を観測している座標系の固有時 での時間微分を、

により物体の固有時 τ による微分に変換すると、3次元運動方程式から4元運動方程式が得られます。
 その当たりは別稿「アインシュタインの特殊相対性理論」3.(5)[補足説明5]で内山先生の解説(そこではτをσで表記)を引用して説明しておりますのでご覧下さい。本稿の知識があれば、内山先生の意図されることがよく理解できると思います。その中の数学的計算は、本稿で繰り返し出てきた手順と同じです。

 “特殊相対性理論”の段階に留まる限り、物体の“固有時”を用いて運動方程式を4元化するメリットはありません。3次元運動方程式で十分です。
 なぜなら、素粒子・高エネルギー物理天体物理学における色々な物体の運動は、すべてある特定の慣性系上で論じるからです。その慣性系での時間 t で表した運動方程式を、その慣性系での時間 t 積分すれば良いのですから。
 
 しかし、そういった慣性系間(特に互いに加速度運動する)の物理学を論じる“一般相対性理論”に進むには、本稿で説明した4元化の手続きは必須です。

 

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(5)4元速度と4元加速度(4元力)

 “4元速度”“4元加速度”は以下の関係式を満たすことが証明できる。

 これは4元速度ベクトルと4元加速度ベクトルの“内積”に相当するものが 0 になることを示している。その意味で“4元速度ベクトル”“4元加速度ベクトル”は互いに直交している
 また、4元力4元加速度に不変量である0を乗じたものだから、“4元速度ベクトル”“4元力ベクトル”は互いに直交していると言っても良い。

補足説明1
 上記の事柄は、2.(3)3.で求めた“4元速度”が従う式

の両辺をτで微分することでも直接導くことができる。

 

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6.注意事項

 以上で、物理的な考察に必要な量がすべて4元化(4元座標、4元速度、4元運動量、4元加速度、4元力、4元電流密度)された。本稿を終わるに当たって、これら4元化した量について幾つかの注意をします。

()4元ベクトルの別表現

 別稿「相対論的力学」3.(1)[補足説明1]3.(4)[補足説明1]3.(5)[補足説明1] で注意したように、4元化したときの第4成分として、の替わりにctを、E/c2の替わりにE/cを、ρの替わりにcρを用いる場合もあります。同様な置き換えが他の4元量ベクトルの第4成分についてもできます。
 すなわち

と置き変えるのです。
 こうすると第4成分の次元が第1〜3成分の次元と一致するようになります。
 また、それぞれの4元量の“ローレンツ変換”の係数が第4成分と第1〜3成分に関して、より対称的な形になります。たとえば4元座標については

の様になるわけです。
 ただし、本稿ではあえて左側の表現を用いました。他の教科書と読み比べるときには注意して下さい。

 

()4元ベクトルの添え字について

 本稿では4元ベクトル量の成分を表す添え字に(x,y,z,t)を用いてきました。教科書に拠っては(1,2,3,4)を用いたり、あるいは第4成分を第0成分と見なして(0,1,2,3)を用いる場合も在ります。
 どの表現も一長一短でどれが良いとは一概に言えません。他の教科書と読み比べるときには注意して下さい。

 

(3)特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ

 ここで取り扱ったローレンツ変換は、S’系がS系のx軸の正方向へ速度Vで移動する場合(“特殊ローレンツ変換”)でした。S’系のS系に対する移動速度ベクトルを任意の方向にした場合のローレンツ変換(これを“一般ローレンツ変換”と呼ぶ。その詳細は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」を参照)も考えることができます。
 本稿での結論はすべてその“一般ローレンツ変換”でも成り立ちます。しかし、物理的な考察を進めるには特殊ローレンツ変換で十分ですので、今後もしばらくは“特殊ローレンツ変換”で議論を進めます。

 

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7.参考文献

下記文献を参考にしました。説明の繰り返しをいとわず、できるだけ解りやくなることに努めました。

  1. 石井俊全著「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版(2017年刊)第4章
     とても解りやすく説明されています。この本の数式表現の幾つかを利用させて頂きました。
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