４元速度・４元加速度・４元力は、一般相対性理論へ進むとき避けて通れない所です。
本稿のテーマは、別稿「Einsteinの特殊相対性理論（1905年）」、「Einsteinの公式 E=mc2 の証明」、「相対論的力学」、「電磁場の相対性」に続くものですが、ここでは時間、速度、加速度を表す記号が様々出てきてかなり錯綜します。
混乱を避けるために、Ｓ系とＳ’系の時間や速度の表現、Ｓ系に対するＳ’系の相対速度について下記のように表記することにします。そのため、上記の稿で説明した事柄を利用するときには下記の新表記に書き換えて引用しますので御注意ください。
本稿では、特殊相対性理論に出てくるＳ系に対するＳ’系の移動速度を（今まで用いたｖの替わりに）大文字の“Ｖ”で表します。
また、Ｓ系で観測した速度を
と表す。（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、Ｓ系に固定されている物差し棒で測った物体の位置の読み取り値であり、Ｓ系とともに動いている時計で計った時計の示す時刻です。
次に、Ｓ系のｘ軸の正方向に速度Ｖで移動しているＳ’系を考えます。Ｓ系で観察している同じ物体の位置と時刻をＳ’系に固定されている物差し棒の読みとＳ’系とともに動いている時計で計った時刻で表したものが（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’）です。
二つの系の時計は、Ｓ系とＳ’系の物差し棒の原点がすれ違った瞬間をｔ＝ｔ’＝0として、それぞれの時刻を測り始めます。
そのＳ’系で観測した速度を
で表します。
「相対論的力学」３．では、これらの量に ｕ＝（ｕx、ｕy、ｕz） と ｕ’＝（ｕx’、ｕy’、ｕz’） を用いました。本稿ではこれらの表記を別な目的で用る為に上記の様に書き直した。
特殊相対性理論に現れた（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の４成分は、観測系をＳ系からＳ’系に変換するに当たって、これらは不可分の成分として下記の“ローレンツ変換”
に従って変換された。
つまり、互いに入り交じった形で取り扱わねば成らない。これは、あたかも（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を、三次元空間（ｘ，ｙ，ｚ）に第四の次元としてｔを加えた、四次元空間における量として取り扱う事ができ、またその様に取り扱わねばならない事を示している。
同様に、運動量（ｐx，ｐy，ｐｚ）は質量と一緒になって（運動量・質量）４元ベクトル（ｐx，ｐy，ｐｚ，ｍ）を構成すると考えねばならない事を「相対論的力学」３．（４）で説明した。
同じく、（５）節で説明したように、電流密度（ｊx，ｊy，ｊｚ）は電荷密度と一緒になって（電流密度・電荷密度）４元ベクトル（ｊx，ｊy，ｊｚ，ρ）と考えねばならない。
その様に考えねばならないのは、それらの量が（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と全く同じ“ローレンツ変換”に従ってＳ系での値（観測値）からＳ’系での値（観測値）に変換されるからです。その当たりは（５）節［補足説明６］で注意した所です。
（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が“ローレンツ変換”で変換されるならば、下記の関係式が成り立つ事は直ちに言える。
このことは、下記の式変形を見れば明らかです。
この関係式は、Einsteinが1905年論文で指摘しているように、ｔ＝ｔ’＝0に互いにすれ違うＳ系とＳ’系の共通な原点から光の球面波が発射されたとすると、この球面波が時刻ｔに、点（ｘ，ｙ，ｚ）に到達したことを示しており、その同じ点をＳ’系から見ると時刻ｔ’の（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に到達したことを示しているのであった。
Einstein論文の２．（４）［補足説明３］で注意したように、この関係式は相対性理論の根幹に関わるものでした。
さらに、Einstein論文の２．（８）４．で説明したように、このことを用いると四次元的な世界距離Δｓを二乗した量も“ローレンツ変換”に対して不変となることが言えた。つまり
が成り立つ。
同様にして、（運動量・質量）４元ベクトル（ｐx，ｐy，ｐｚ，ｍ）が（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と同じ“ローレンツ変換”によって変換されることから
が言える。
このことは“ローレンツ変換”により簡単に証明できる。
全く同様にして、（電流密度・電荷密度）４元ベクトル（ｊx，ｊy，ｊｚ，ρ）から構成される下記の量が同様な関係式
を満足することが証明できる。
つまり４元ベクトル量から構成されるこれらの量はＳ系やＳ’系の観測座標系に拠らず不変的な値となる。
このことは、 ｘ2＋ｙ2＋ｚ2－ｃ2ｔ2 が“ローレンツ変換”に対し不変であった事と同様にこれらの量が“ローレンツ変換”に対し不変であることを意味する。
前節で出てきた（運動量・質量）４元ベクトル（ｐx，ｐy，ｐｚ，ｍ）と（電流密度・電荷密度）４元ベクトル（ｊx，ｊy，ｊｚ，ρ）は３次元速度のローレンツ変換共変の変換式を用いて求めた。
すなわち、Ｓ’系のｘ’軸、ｙ’軸、ｚ’軸に固定された三本の物差し棒とＳ’系に固定された時計の時刻 ｔ’ で測った在る物体（可秤質点）の速度（ｖx’，ｖy’，ｖｚ’）と、同じ物体をＳ系のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に固定された三本の物差し棒と、Ｓ系に固定された時計の時刻 ｔ で測った速度（ｖx，ｖy，ｖｚ）の間に成り立つ《ローレンツ変換共変の変換式》
を利用して求めたのでした。
これら３次元速度の《ローレンツ変換共変の変換式》の求め方は別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」２．（７）や２．（８）３．で説明していますが、簡単に復習すると、ローレンツ変換
を用いて、その両辺の時間微分をした関係式を代入して求めた。
この式について補足すると、これは元々Ｓ’系の速度ＶとS系での速度ベクトルｖとの【速度合成則】を表しています。このことについては別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」２．（７）あるいは２．（８）３．を善く善く復習されたし。
もともと速度は、座標値、運動量、電流密度と同じ３次元ベクトル量です。そのため３次元ベクトル量の座標値、運動量、電流密度に密接に関係しています。ならば、座標値、運動量、電流密度が（座標・時間）、（運動量・質量）、（電流密度・電荷密度）として四次元化されたように、速度も四次元化できないのだろうかという疑問が生じます。
１．（１）で述べた四次元量の導出（「相対論的力学」参照）では、速度ベクトルは三次元のままで用いました。その変換式は確かに《ローレンツ変換共変の変換式》なのですが、(座標・時間)４元ベクトルが満足する“ローレンツ変換”とは異なっています。
速度も四次元化されて（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）と同じ形の“ローレンツ変換”に従うようにできないのでしょうか。この疑問に答えるのが本稿の目的です。
３次元速度ｖと同様な事情が、別稿「電磁場の相対性」５．［補足説明３］で説明した３次元力Ｆについても言えます。
そこで説明したように、物体がＳ系のｘ軸方向にｖxで、Ｓ’系のｘ’軸方向にｖx’で動いている場合には
Ｓ’系の移動方向と垂直な方向に働く力の変換式は
であり
Ｓ’系の移動方向に平行な方向に働く力の変換式は
でした。これらの変換式は力の定義に留意して(座標・時間)４元ベクトルや(運動量、質量)４元ベクトルの“ローレンツ変換”を用いて導いたのでした。
この３次元力の変換式も《ローレンツ変換共変の変換式》で、３次元速度の場合と似ていますが、決して(座標・時間)４元ベクトルの“ローレンツ変換”と同じでは有りません。
［補足説明１］
３次元速度や３次元力はローレンツ変換共変の変換式にしたうが、(座標・時間)４元ベクトル、(運動量・質量)４元ベクトル、（電流密度・電荷密度）４元ベクトルの様に“ローレンツ変換”によって変換されているわけではありません。
３次元速度や、３次元力も“ローレンツ変換”によって変換されるように“４元化”できないのでしょうか。この疑問に答えることが、本稿の目的です。
速度、加速度、力は元々三次元空間の座標値、運動量、電流密度と同じ３次元ベクトル量です。
ならば、座標値、運動量、電流密度などが第４成分として時間、質量、電荷密度を付け加えて四次元化され同一の“ローレンツ変換”で変換された様に、速度、加速度、力も四次元化されるべきです。
その為のヒントは運動量や電流密度を四次元化したやり方の中にあります。
別稿「相対論的力学」３．（４）［補足説明２］の変換式を注意深く検討すれば、“４元速度”として
と定義すればよいことが解る。
ここで（ｖx、ｖy、ｖｚ）は３次元速度であり、（ｖx＝ｄｘ／ｄｔ、ｖy＝ｄｙ／ｄｔ、ｖz＝ｄｚ／ｄｔ） と ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2 を意味する。つまり、物体の速度を観測している慣性座標系に設置してある物差し棒（ｘ，ｙ，ｚ）と時計ｔで計った値です。
実際、３次元速度ベクトルについて成り立つ《ローレンツ変換共変の変換式》
を用いれば、（座標・時間）４元ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）が“ローレンツ変換”に従って変換された様に、上記で定義した４元速度も“ローレンツ変換”に従って変換されることが証明できる。
同様に
となる。
以上の３成分をローレンツ変換とみなすと、特に最初の式の形から
第４成分は
であるべきことが解る。
事実
となり第４成分としてのローレンツ変換式を満足する。
以上をまとめると３次元速度表示での“ローレンツ変換式”は
となる。そのため最初に定義した４元速度は確かに“ローレンツ変換式”に従うことが証明できた。
［補足説明１］
上記の４元速度の“ローレンツ変換”を導く式変形を逆にたどって、最初の式に帰り
とすれば、Ｓ’系での速度が、Ｓ’系での座標値（ｘ’，ｙ’，ｚ’）をＳ’座標系の固有時 ｔ’ で微分したもので定義されるｖ’＝（ｄｘ’／ｄｔ’、ｄｙ’／ｄｔ’，ｄｚ’／ｄｔ’）に戻り、Ｓ系での速度が、Ｓ系での座標値（ｘ，ｙ，ｚ）をＳ座標系の固有時
ｔ で微分したもので定義されるｖ＝（ｄｘ／ｄｔ、ｄｙ／ｄｔ，ｄｚ／ｄｔ）に戻ります。
つまり、最初の３次元速度のローレンツ変換共変な変換式（77ａ’）、（77ｂ’）、（77ｃ’）に帰着します。ですから、この４元速度の定義は３次元速度の自然な拡張に成っている。
前項で説明したように、“４元速度”を
と定義すれば、これは（座標・時間）４元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”に従う。
つまり、Ｓ’系のｘ’軸、ｙ’軸、ｚ’軸に固定された三本の物差し棒とＳ’系に固定された時計で測った、在る物体（可秤質点）の座標・時刻（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’）と、その同じ物体をＳ系のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に固定された三本の物差し棒と、Ｓ系に固定された時計で測った座標・時刻（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の間の関係を定める変換式
と同じ形で変換される。
それぞれの座標系に固定された時計の時刻は、Ｓ系座標物差し棒とＳ’系の座標物差し棒の原点がすれ違う瞬間をｔ＝ｔ’＝0として計時を開始している事を忘れないでください。
［補足説明１］
４元速度の定義は、最初に述べた３次元速度の定義とは違っており、互いに異なる値となります。しかし、両者は互いに密接に関係しています。
その“大きさ”は
倍だけ異なりますが、空間成分ベクトルの“方向”は同じです。
“４元速度”成分が“ローレンツ変換”によって変換されるのならば、（座標・時間）４元ベクトルと同様な関係式
が成り立ちます。
そのため
という量が、座標変換に関して不変となることが解る。
４元速度の定義式に関して重要な注意をします。
“４元速度”の定義におけるｖ＝（ｖx，ｖy，ｖz）は、（ｖx＝ｄｘ／ｄｔ、ｖy＝ｄｙ／ｄｔ、ｖz＝ｄｚ／ｄｔ） と ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2 を意味していました。つまり、物体の速度を観測している慣性座標系の物差し棒と時計で計った値です。
このとき、相対性理論では静止慣性系Ｓに対して速度ｖで動いている座標系Ｓ’の時間間隔Δτは、その動いている座標系を観測するもとの静止座標系Ｓの時計の時間間隔Δｔよりも短くなった。つまり
となり、動いている座標系に付随する時計の時間はゆっくり流れる。動いている物体に固有の時間は遅れると言うことでした。（別稿「アインシュタインの特殊相対性理論」２．（６）２．を復習）
この時刻τの事を物体（Ｓ’系に付着している時計）の“固有時”と言います。要するに動いている物体の自然現象の進み方はゆっくりになると言っている。固有時の概念はそれ以外の何者でもありません
前項で説明した慣性系Ｓで速度ｖ＝（ｖx、ｖy，ｖｚ）を持つ物体に固有の時間τの時間間隔Δτは“ローレンツ変換”に対して不変です。なぜなら
と変形できるが、別項「アインシュタインの特殊相対性理論」２．（８）４．で証明したようにこの右辺が“ローレンツ変換”に対して不変だからです。
このことは、物理量を四次元化するとき“固有時”がきわめて重要であることを示している。
また、－ｃ2ｄτ2 は１．（１）２．で定義した“世界距離”ｄｓの２乗そのものであることに注意されたし。
固有時の導入には様々な説明の仕方があります。幾つかの文献から引用しておきますのでご覧下さい。
ここで、動いている座標系Ｓ’をＳ系からみて速度Ｖで動いている物体に常に張り付いている座標系としましょう。
Ｓ系から見た物体の位置座標（ｘ、ｙ，ｚ）は時刻 ｔ の変化とともに時々刻々と変化していきますが、その物体の速度を計算する時間をＳ系の時間間隔Δｔ ではなくてＳ’系での時間間隔Δτで測ることにしてみましょう。
つまりＳ系から測った物体の速度を ｖ＝（ｄｘ／ｄｔ、ｄｙ／ｄｔ，ｄｚ／ｄｔ） ではなくて ｕ＝（ｄｘ／ｄτ、ｄｙ／ｄτ，ｄｚ／ｄτ） で測るのです。そのとき、
の式変形から解るように、この右辺は先に定義した４元速度に一致している。
すなわち、“４元速度”とは、物体が動いている座標系Ｓの時計で測るのではなくて、その動いている物体そのものに付着している時計が示す時刻τ（物体の“固有時”）で測った速度のことです。
つまり４元速度ベクトルを
で定義したと解釈すれば、Ｓ系から見た４元速度ベクトルのＳ’系における値は
に従う。つまり、（座標・時間）４元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”で結びつけられる。
この“ローレンツ変換”の意味はわかりにくいが、左辺はＳ’系からみて速度 ｖ’（これは小文字）で動いている物体の固有時τ’で測ったその物体の速度成分です。もちろん（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’）はＳ’系での物体の位置座標と時刻です。
また、右辺はＳ系から見て速度 ｖ（これは小文字） で動いている物体の固有時τで測ったその物体の速度成分です。もちろん（ｘ，ｙ，ｚ、ｔ）はＳ系での物体の位置座標と時刻です。
そして、Ｓ系での時刻 ｔ とＳ’系での時刻 ｔ’ から構成される ｄｔ／ｄτと ｄｔ’／ｄτ’ が第四の成分として含まれている。
もちろん式中の “Ｖ”（これは大文字） は、Ｓ’系がＳ系のｘ軸方向に速度Ｖ（これは大文字）で動いている慣性系である事を示しています。
座標系に付属する時間 ｔで微分した ３次元速度 ｖ（小文字） と区別するために、今後は 固有時 τ で微分した４元速度を “ｕ” で表すことにする。
すなわち、τをＳ系から見て速度 ｖ（ｕではないことに注意）で動いている物体の“固有時”としたとき、τで微分して得られる物体の４元速度をｕ（τ）
で表す。（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）は、Ｓ系に固定されている物差し棒で測った物体の位置座標と、Ｓ系に固定されている時計で計った物体の時刻です。
また、τ’をＳ’系から見て速度 ｖ’（ｕ’ではないことに注意）で動いている物体の“固有時”としたとき、τ’で微分して得られる物体の４元速度をｕ’（τ’）
で表す。もちろん（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’）はＳ’系に固定されている物差し棒で測った位置座標と、Ｓ’系に固定されている時計で計った物体の時刻です。
本稿では常に、Ｓ’系はＳ系のｘ軸に沿ってｘ軸の正方向に速度Ｖで移動しているとしている。
この“４元速度”の表現記号を用いると、前項の“ローレンツ変換”は
となります。
［補足説明１］
上記の４元速度の“ローレンツ変換”の４元速度を３次元速度表現に置き換えると３次元速度表現での“ローレンツ変換式”になるのですが、これを式変形すると
となり、３次元速度の《ローレンツ変換共変の変換式》に帰着する。そのとき第４成分は恒等式となる。
もちろん、この式変形は２．（１）１．で行った式変形を逆にたどるのと同じ事です。
［補足説明２］
４元速度（ｕx，ｕy，ｕz，ｄｔ／ｄτ）は慣性系Ｓに対して速度（ｖx，ｖy，ｖz）で動いている慣性系Ｓ’に於いて静止している質点の４元速度をＳ’系からＳ系での値にローレンツ変換したものと同じです。
実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（－ｖx，－ｖy，－ｖz）で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
Ｓ’系での４元速度は（0，0，0，1）だから、これをローレンツ逆変換すると
となり、Ｓ系での４元速度の表現となる。
Ｓ’系での４元速度の第4成分がｄｔ／ｄτ＝1であることは、Ｓ’系がその質点が静止している慣性系である事を、つまりその質点が静止の状態であることを表している。
もちろん、Ｓ系での４元速度表現値をＳ’系へローレンツ変換（別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（ｖx，ｖy，ｖz）で置き換えたもので）すると、Ｓ’系での観測値（0，0，0，1）に戻ります。
４元速度はローレンツ変換に従うので、他の4元量と同様に“４元速度”から構成される下記の量が
が“ローレンツ変換”に対して不変となります。
一定値が－ｃ2になるのは前項［補足説明２］で説明したように速度がゼロとなる座標系へローレンツ変換すれば ｄｔ／ｄτ や ｄｔ’／ｄτ’ が 1 に変換されるからです。
「相対論的力学」３．（４）で説明した（運動量・質量）４元ベクトルや「相対論的力学」３．（５）で説明した（電流密度・電荷密度）４元ベクトルの定義式を“固有時”を用いて解釈し直すと、これらが“４元運動量”であり“４元電流密度”であることがよく解ります。
別稿「相対論的力学」３．（４）［補足説明２］で、（運動量・質量）４元ベクトルを次のように定義した。
ここで、４元速度の定義式で利用した関係
を用いると、
（運動量・質量）４元ベクトルは
と表される。
ここでτはＳ座標系で速度 ｖ（これは小文字） で動いている物体の固有時であり、“ｍ0”はその物体とともに動いている座標系から見た物体の質量です。もともと静止質量と言われていた量ですが、時々刻々変わる速度 ｖ（これは小文字） で動く物体に固定した座標系での静止質量ですから、これはその物体の固有時と同じように、その物体の“固有質量”と言うべき量です。
つまり、固有質量を用いれば任意の座標系Ｓにおいて速度 ｖ で動いている物体の運動量成分は、［固有質量］×［４元速度］で表されるということになります。
この“４元運動量”の成分は、観測する慣性系がＳ系からＳ’系（Ｓ系のｘ軸方向に速度Ｖ（これは大文字）で移動）に変われば、固有質量 ｍ0 はそのままで、固有速度は（ｄｘ／ｄτ、ｄｙ／ｄτ、ｄｚ／ｄτ）から（ｄｘ’／ｄτ’、ｄｙ’／ｄτ’、ｄｚ’／ｄτ’）に変わります。
そして、上記で定義される（運動量・質量）４元ベクトルは、（座標・時間）４元ベクトルと同じ“ローレンツ変換”に従って変換されます。
このときもちろん、“４元運動量”については１．（１）２．で述べたように
が成り立ちます。
一定値が－ｃ2ｍ02となるのは、以下の［補足説明１］で説明するように運動量がゼロになる座標系にローレンツ変換すると Ｅ／ｃ2＝ｍ(ｖ) や Ｅ’／ｃ2＝ｍ’(ｖ’) が ｍ0 に変換されるからです。
［補足説明１］
４元運動量（ｐx，ｐy，ｐz，ｍ）は慣性系Ｓに対して速度（ｖx，ｖy，ｖz）で動いている慣性系Ｓ’に於いて静止している質量ｍ0をＳ’系からＳ系での値にローレンツ変換したものと同じです。
実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（－ｖx，－ｖy，－ｖz）で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
Ｓ’系での４元運動量は（0，0，0，ｍ0）だから、これをローレンツ逆変換すると
となり、Ｓ系での４元運動量の表現となる。４元運動量の第4成分は物体の質量そのものを表している。つまり、物体の質量は運動量成分と一緒になって時間的な成分としてローレンツ変換される。
もちろん、Ｓ系での４元運動量表現値をＳ’系へローレンツ変換（別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（ｖx，ｖy，ｖz）で置き換えたもので）すると、Ｓ’系での観測値（0，0，0，ｍ0）に戻ります。
同様な事が、別稿「相対論的力学」３．（５）［補足説明４］で、定義した（電流密度・電荷密度）４元ベクトルの定義式についても言える。
ここで、“ρ0” は時々刻々変わる速度 ｖ（これは小文字） で動く電荷に固定した座標系で見た電荷密度ですが、これは常に“ローレンツ変換”に対して不変な“固有電荷密度”と言うべき量です。すなわち、任意の座標系において物体が持つ電流密度成分は、［固有電荷密度］×［４元速度］となる。
この“４元電流密度”の成分は、観測する慣性系が変われば“ローレンツ変換”に従って変換されます。
このときもちろん、“４元電流密度”については１．（１）２．で述べたように
が成り立ちます。
一定値が－ｃ2ρ02となるのは、以下の［補足説明３］で説明するように電流密度 ｊ がゼロになる座標系にローレンツ変換すると ρ や ρ’ が ρ0 に変換されるからです。
［補足説明１］
上記の
のρ’はＳ’系から見て速度ベクトル ｖ’＝（ｖx’，ｖy’，ｖｚ’） で動いている電荷の電荷密度を、ρはＳ系から見て速度ベクトル ｖ＝（ｖx，ｖy，ｖz） で動いている電荷の電荷密度を意味します。また ｊx＝ρ（ｖ）・ｖx（ｔ）＝ρ0・ｕx（τ） と ｊx’＝ρ（ｖ’）・ｖx'（ｔ’）＝ρ0・ｕx'（τ’） 意味します。そのため上記の式は
となる。
この式は、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」３．（４）［補足説明２］で説明した関係そのものです。そこの３次元での説明はなかなか解りにくかったが、ここのように４元電流密度の第四成分のローレンツ変換式であると考えると、非常にすっきりと理解できる。
［補足説明２］
この章で“固有質量”とか、“固有電荷密度”という言い方が出てきたが、いずれもその物体（電荷）が静止している基準系で測ったときの質量であり、電荷密度です。
このように考えれば、物体が静止している基準系で測った物体の長さが“固有長さ”であり、物体の体積を“固有体積”ということもできる。それらの物体が動いて見える基準系で測ると、それらの物体の長さは縮み、体積は減少する。
［補足説明３］
４元電流密度（ｊx，ｊy，ｊz，ρ）は慣性系Ｓに対して速度（ｖx，ｖy，ｖz）で動いている慣性系Ｓ’に於いて静止している固有電荷密度ρ0をＳ’系からＳ系での値にローレンツ変換したものと同じです。
実際、別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の結論を利用してローレンツ逆変換してみる。もちろんここでは速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（－ｖx，－ｖy，－ｖz）で置き換えねばなりません。負符号は用いるのがローレンツ逆変換だからです。
Ｓ’系での４元電流密度は（0，0，0，ρ0）だから、これをローレンツ逆変換すると
となり、Ｓ系での４元電流密度の表現となる。
“固有電荷密度”がローレンツ変換に対して不変なことは、電荷密度を構成する荷電粒子（電子など）の電荷がローレンツ変換に対して不変（つまり運動速度に依存して変化することは無い）から導かれる事です。このことは別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」３．（４）［補足説明５］などで特に注意しました。
電荷密度が電流密度とともに４元ベクトルを成すと言うことは、電荷密度が電流密度と一緒になって時間的な成分としてローレンツ変換されると言うだけで、それ以上の意味はありません。
もちろん、Ｓ系での４元電流密度表現値をＳ’系へローレンツ変換（別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」３．（２）の速度（Ｖx，Ｖy，Ｖz）を速度（ｖx，ｖy，ｖz）で置き換えたもので）すると、Ｓ’系での観測値（0，0，0，ρ0）に戻ります。
［補足説明４］
別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」３．（４）［補足説明４］で、“電荷の保存則”がローレンツ変換に対して不変ならば電荷密度のローレンツ変換共変の変換式が導けることを注意しました。ここで、もっと一般的に“電荷の保存則”がローレンツ変換に対して不変ならば、“４元電荷密度”がローレンツ変換に従わなければならないことを確認しておきます。
ここではＳ系（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）のｘ軸の正方向に速度ｖで運動しているＳ’系（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’）を考える。そのとき、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」３．（１）［補足説明１］で説明したように、 ｔ’は（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の関数、ｘ’、ｙ’、ｚ’も（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）の関数だから、微分法の性質より
が成り立つ。
これを用いると“電荷保存則”は
となる。
これは電流密度ベクトルｊと電荷密度ρがローレンツ変換
に従って変換されれば、電荷保存則がローレンツ変換に対して形を変えない
ことを示している。
このやり方でも（ｊx，ｊy，ｊz，ρ）がローレンツ変換に従う“４元電流密度”であることが証明できる。
３次元速度や３次元加速度のローレンツ変換共変の変換式を元にして、“ローレンツ変換”に従う“４元加速度”の定義式を見つけます。
最初に３次元加速度について説明する。慣性系Ｓでの加速度成分を
とし、慣性系Ｓ’で観測するときの加速度成分を
とするとする。もちろん、Ｓ’系はＳ系のｘ軸方向に速度Ｖで動いているとしている。
これらの加速度成分は次の変換式で変換されます。３次元加速度の変換式も３次元速度の変換式と同様に考えればよい。１．（２）１．で復習した３次元速度の変換式を利用すれば
同様に
となる。
以上をまとめると
となる。逆変換は相対性理論原理により、Ｖを－Ｖとし、’の付いた量と付いていない量を入れ替えればよい。これが３次元加速度の《ローレンツ変換共変の変換式》です。
［補足説明１］
これは、一つの物体が動いている様子を見たとき、Ｓ系の物差し棒と時計で測定した物体が時刻 ｔ の瞬間に持つ加速度（ａx、ａy、ａz）を、Ｓ’系に付属の物差し棒と時計で測定した加速度（ａ’x、ａ’y、ａ’z）の時刻 ｔ’ の瞬間における測定値に結びつける関係式です。もちろん、これらの加速度は同じ物体の同じ時刻（Ｓ系の時計は ｔ をＳ’系の時計は ｔ’ を示しているが）におけるそれぞれの座標系での測定値を結びつけています。
これはローレンツ変換共変な変換式ではありますが、３次元速度と同様に“ローレンツ変換”そのものではありません。
２．（３）１．で説明した４元速度ベクトルの新解釈を考慮すると“４元加速度”の定義は下記の様にすべきであろう。３次元加速度との混同を避けるために、今後は４元加速度を表すのにギリシャ文字の“α”を用いることにします。
つまり、“４元加速度”として
と定義すればよい。ここで（ｖx、ｖy、ｖｚ）は３次元速度であり（ａx、ａy、ａｚ）は３次元加速度です。
これは、動いている一つの物体を観察したときに、Ｓ系の物差し棒と物体の固有時τで測定した物体が時刻 ｔ の瞬間に持つ４元加速度（αx、αy、αz、αt）が、Ｓ系の物差し棒と時計で測った３次元速度（ｖx、ｖy、ｖz）、３次元加速度（ａx、ａy、ａz）でどのように表されるかを示している。
同様に、動いている一つの物体をＳ’系で観察したときに、Ｓ’系の物差し棒と物体の固有時τ’で測定した物体が時刻 ｔ’ の瞬間に持つ４元加速度（αx’、αy’、αz’、αt’）が、Ｓ’系の物差し棒と時計で測った３次元速度（ｖx’、ｖy’、ｖz’）、３次元加速度（ａx’、ａy’、ａz’）でどのように表されるかを示している。
もちろん、これらの４元加速度は同じ物体の同じ時刻（Ｓ系の時計は ｔ をＳ’系の時計は ｔ’ を示している）におけるそれぞれの座標系での測定値です。
３次元加速度がローレンツ変換共変の変換式だったのと違って、この４元加速度は“ローレンツ変換”そのものを満たしていることが証明できます（次節参照）。
［補足説明１］
４元速度の空間成分は３次元速度の成分の
倍でしたが、その空間における速度ベクトル方向は一致していました。
しかし、４元加速度の空間成分は３次元加速度の成分と、そのベクトルとしての“大きさ”も“方向”も一致していないことに注意してください。違っていますが、一般相対性理論では４元加速度が必要です。
４元加速度は、３次元加速度と違って、“ローレンツ変換”に従ってＳ系での観測値とＳ’系での観測値が結びつけられます。しかし、この証明はかなり面倒です。そのためあらかじめ証明に用いる公式を準備しておきます。
証明には、３次元速度と３次元加速度の変換式が必要です。それらを公式①と公式②とします。
これらはローレンツ変換ではないが、ローレンツ変換共変の変換式でした。
さらに、４元速度のローレンツ変換を導いたとき利用した変換公式
が必要です。この公式は公式①を用いて導かれます。
上記公式から下記の公式③、公式④、公式⑤が導けます。
さらに、下記の公式⑥が導けます。
公式⑥の証明は、公式①、公式②、公式⑤を用いて、次のようにすればよい。
公式①、公式②、公式③、公式④と公式⑥を用いれば、４元加速度が“ローレンツ変換”に従って変換されることが証明できる。
同様にして
さらに
が得られる。
さらに補足すると、４元加速度表現にする一つ前の段階の式が３次元加速度表現での“ローレンツ変換式”に成っていることに注意して下さい。
以上をまとめると、“４元加速度”はＳ系からＳ’系の値に以下の“ローレンツ変換”によって変換される。
逆変換は相対性原理から、Ｖを－Ｖとし、’の付いた量と付いていない量を入れ替えればよい。
［補足説明１］
上記の４元加速度のローレンツ変換式に３次元速度と３次元加速度による表現
を代入すると３次元加速度表現での“ローレンツ変換式”
となるのですが、その空間成分３式の左辺第一項を４．（３）１．で説明した公式④で変形する。左辺第二項は公式①、公式③、公式⑥で置き換えて右辺に移項して整理すると、最初の３式は３次元加速度の《ローレンツ変換共変の変換式》つまり公式②に帰着します。
また、時間成分である第４式は、左辺に公式④を適用して変形・整理すれば
となります。ただしこれはすでに求めた公式⑥と同じです。
もちろん、これらの式変形は４．（３）２．で行った式変形を逆にたどるのと同じ事です。
４元加速度は“ローレンツ変換”に従って変換されるので、他の４元ベクトル量と同じように
は“ローレンツ変換”に対して不変な量となる。
つまり、“４元加速度”に付いて
が常に成り立つ。このことは実際にローレンツ変換式で変換してみれば簡単に確認できます。
４元加速度を元にして、“ローレンツ変換”に従う“４元力”の定義式を見つけます。
４元力を導く準備として、３次元力のローレンツ変換共変の変換式を復習します。
３次元力のローレンツ変換共変の変換式は、別稿「電磁場の相対性」５．［補足説明３］ですでに求めましたが、そのときのＳ系から見たＳ’系の移動速度をｖではなくＶで表し直します。
Ｓ系のｘ軸方向に速度Ｖで動くＳ’系間への力の変換式を表しているのだが、そこでは３次元力の変換を考えている瞬間には、力が働いている質点のＳ’系の速度はｘ’軸方向に ｖx’ であるとし、同じ瞬間の同じ質点のＳ系から見た速度もｘ軸方向に ｖx＝（ｖx’＋Ｖ）／（１＋ｖx’Ｖ／ｃ2） としていた。そのときの図を本稿での記号に書き直して再録すると
の状況での変換式でした。つまり質点（電荷）の速度ベクトルの方向がＳ’系のＳ系に対する移動方向と平行な場合でした。
このとき、「電磁場の相対性」５．［補足説明２］で力の変換式を導くときには電磁気学における“ローレンツの力の法則”を利用していますが、その助けを借りずに求めたのが「電磁場の相対性」５．［補足説明３］です。
両者の違いは、そこの注意書き「電磁場の相対性」５．［補足説明２－１］、または別稿「相対論的力学」２．［補足説明８］をご覧になれば解ります。
以下で３次元力の変換式をもう少し一般化します。つまり、Ｓ系とＳ’系から見た質点の３次元速度を
であるとし、質点の速度が必ずしもｘ軸、ｘ’に平行では無い一般的な場合を取り上げます。
もちろん、ここでもＳ’系はＳ系のｘ軸の正方向へ速度 Ｖ で動いているとしています。そして両座標系の固有時間 ｔ と ｔ’ は両系の原点がすれ違った瞬間を 0 として測り始める。
別稿「電磁場の相対性」５．［補足説明３］の手順を一般的な質点速度の場合に拡張すると、３次元力のローレンツ変換共変の変換式は下記の様にして求まります。
まず、別項「相対論的力学」３．（４）［補足説明２］で求めたように、(運動量・質量)４元ベクトルの“ローレンツ変換式”は
でした。このことを用いて別稿「電磁場の相対性」５．［補足説明３］の手順を繰り替えすのですが、同じ繰り返しをしても能がないので、ここではＳ’系→Ｓ系の変換式ではなくて、Ｓ系→Ｓ’系の変換式を求める事にします。
となりますから、結局
となります。
Ｓ’系→Ｓ系への変換式は、Ｓ’系での三次元力から出発してＳ’系→Ｓ系への(座標・時間)ローレンツ変換と、(運動量・質量)ローレンツ変換を用いれば全く同様に求まります。
もちろんそれは、相対性原理により、上記の変換式のＶを－Ｖに変換して、 ’ の付いていないＦx、Ｆy、Ｆz、ｖxと、 ’ の付いたＦx’、Ｆy’、Ｆz’、ｖx’とを入れ替えたものに一致します。このときｖxをＳ’系から見た物体の移動速度であるｖx’に置き換えなければならないことに注意して下さい。
まとめると
となります。いずれにしても、これが３次元力の《ローレンツ変換共変の変換式》です。
３．（１）で説明した（運動量・質量）４元ベクトルの新解釈や４．（２）で説明した４元加速度の定義を考慮すると、“４元力”は下記の様に定義すれば良いであろう。
ただし今後は、“３次元力” Ｆ との混同を避けるために“４元力”の表現には小文字の “ｆ ” を用いることにする。
ここで（ｖx、ｖy、ｖｚ）は３次元速度であり（ａx、ａy、ａｚ）は３次元加速度です。
これは、動いている一つの物体をＳ系の物差し棒と物体の固有時τで観察したときに、時刻 ｔ の瞬間に物体に働く４元力（ｆx、ｆy、ｆz、ｆt）が、Ｓ系の物差し棒と時計で測った３次元速度（ｖx、ｖy、ｖz）、３次元加速度（ａx、ａy、ａz）でどのように表されるかを示している。
同様に、動いている一つの物体をＳ’系の物差し棒と物体の固有時τ’で観察したときに、時刻 ｔ’ の瞬間に物体に働く４元力（ｆx’、ｆy’、ｆz’、ｆt’）が、Ｓ’系の物差し棒と時計で測った３次元速度（ｖx’、ｖy’、ｖz’）、３次元加速度（ａx’、ａy’、ａz’）でどのように表されるかを示している。
もちろん、これらの４元力は同じ物体の同じ時刻（Ｓ系の時計は ｔ をＳ’系の時計は ｔ’ を示している）におけるそれぞれの座標系での測定値です。
四元力は“ローレンツ変換”そのものを満たしていることが証明できます（５．（３）１．参照）。
すでに説明した、４元加速度の３次元表現を用いると、前項の定義を様々な形に変形できる。
［補足説明１］
ここで“４元力”の第４成分は、
になることに注意されたし。
その証明は５．（１）２．で用いた手順に従えばよい。
************************************************************************
あるいは、２．（３）３．で求めた“４元速度”について成り立つ公式を用いても良い。
“４元力”の表現には４元量と３次元量が混在していてかなり錯綜しています。
４元量だけを用いた表現を取り出すと
になります。
３次元量だけを用いた表現を取り出すと
になります。
４．（２）で、３次元速度と３次元加速度を用いて表した“４元力”を説明しました。
この“４元力”定義式中の“４元加速度”の４成分は“ローレンツ変換”に従うことを４．（３）２．で証明した。そのため、４元加速度にｍ0を乗じて得られる“４元力”も“ローレンツ変換”に従います。すなわち
を満たす。
［補足説明１］
もちろん、この“ローレンツ変換”式は、Ｓ’系での４元力をＳ’系での３次元力で表した後、５．（１）２．で求めた３次元力の変換式と４．（３）１．で求めた公式③を用いて変形しても証明できます。証明は４元加速度の場合より簡単です。実際に計算してみると
が得られる。
少し補足すると第４成分の変換式の途中の式
は次の様に変形できる。
つまり３次元仕事率の変換式を表しているとも言える。
さらに補足すると、上記の式変形で４元力表現にする一つ前の段階の式が３次元力表現による“ローレンツ変換式”である事に注意して下さい。
［補足説明２］
上記“ローレンツ変換”の４元力に３次元力での表現
を代入すると３次元力表現での“ローレンツ変換式”になりますが、これの式変形をすると
となり、空間成分は３次元力の《ローレンツ変換共変の変換式》に帰着する。時間成分の第４式は３次元仕事率の変換式を表している。
もちろん、この式変形は前記［補足説明１］で行った式変形を逆にたどるのと同じ事です。
４元力は“ローレンツ変換”に従ってＳ系の観測値からＳ’系での観測値に変換されます。そのため“４元力”は、他の４元量と同様に
の関係式を満たします。このことは実際にローレンツ変換式で変換してみれば簡単に確認できます。
４元力の表現から、“４元運動方程式”は
となることは明らかであろう。
［補足説明１］
４元運動方程式を３次元量で表すと
となる。空間部分の３成分は、Max Planck が1906年3月論文で最初に導いた相対論的な“３次元運動方程式”に一致する。第４成分は恒等式となる。
速度ｖで動いている物体を観測している座標系の固有時 ｔ での時間微分を、
により物体の固有時 τ による微分に変換すると、３次元運動方程式から４元運動方程式が得られます。
その当たりは別稿「アインシュタインの特殊相対性理論」３．（５）［補足説明５］で内山先生の解説（そこではτをσで表記）を引用して説明しておりますのでご覧下さい。本稿の知識があれば、内山先生の意図されることがよく理解できると思います。その中の数学的計算は、本稿で繰り返し出てきた手順と同じです。
“特殊相対性理論”の段階に留まる限り、物体の“固有時”を用いて運動方程式を４元化するメリットはありません。３次元運動方程式で十分です。
なぜなら、素粒子・高エネルギー物理や天体物理学における色々な物体の運動は、すべてある特定の慣性系上で論じるからです。その慣性系での時間 ｔ で表した運動方程式を、その慣性系での時間 ｔ で積分すれば良いのですから。
しかし、そういった慣性系間（特に互いに加速度運動する）の物理学を論じる“一般相対性理論”に進むには、本稿で説明した４元化の手続きは必須です。
“４元速度”と“４元加速度”は以下の関係式を満たすことが証明できる。
これは４元速度ベクトルと４元加速度ベクトルの“内積”に相当するものが 0 になることを示している。その意味で“４元速度ベクトル”と“４元加速度ベクトル”は互いに直交している。
また、４元力は４元加速度に不変量であるｍ0を乗じたものだから、“４元速度ベクトル”と“４元力ベクトル”は互いに直交していると言っても良い。
［補足説明１］
上記の事柄は、２．（３）３．で求めた“４元速度”が従う式
の両辺をτで微分することでも直接導くことができる。
以上で、物理的な考察に必要な量がすべて４元化（４元座標、４元速度、４元運動量、４元加速度、４元力、４元電流密度）された。本稿を終わるに当たって、これら４元化した量について幾つかの注意をします。
別稿「相対論的力学」３．（１）［補足説明１］や３．（４）［補足説明１］や３．（５）［補足説明１］ で注意したように、４元化したときの第４成分として、ｔの替わりにｃｔを、Ｅ／ｃ2の替わりにＥ／ｃを、ρの替わりにｃρを用いる場合もあります。同様な置き換えが他の４元量ベクトルの第４成分についてもできます。
すなわち
と置き変えるのです。
こうすると第４成分の次元が第１～３成分の次元と一致するようになります。
また、それぞれの４元量の“ローレンツ変換”の係数が第４成分と第１～３成分に関して、より対称的な形になります。たとえば４元座標については
の様になるわけです。
ただし、本稿ではあえて左側の表現を用いました。他の教科書と読み比べるときには注意して下さい。
本稿では４元ベクトル量の成分を表す添え字に（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）を用いてきました。教科書に拠っては（1，2，3，4）を用いたり、あるいは第４成分を第0成分と見なして（0，1，2，3）を用いる場合も在ります。
どの表現も一長一短でどれが良いとは一概に言えません。他の教科書と読み比べるときには注意して下さい。
ここで取り扱ったローレンツ変換は、Ｓ’系がＳ系のｘ軸の正方向へ速度Ｖで移動する場合（“特殊ローレンツ変換”）でした。Ｓ’系のＳ系に対する移動速度ベクトルを任意の方向にした場合のローレンツ変換（これを“一般ローレンツ変換”と呼ぶ。その詳細は別稿「特殊ローレンツ変換から一般ローレンツ変換へ」を参照）も考えることができます。
本稿での結論はすべてその“一般ローレンツ変換”でも成り立ちます。しかし、物理的な考察を進めるには特殊ローレンツ変換で十分ですので、今後もしばらくは“特殊ローレンツ変換”で議論を進めます。
本稿では重要な物理量である電磁場の４元化については説明していませんが、簡単に紹介すると以下の様になります。
電場と磁場を表すスカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルＡは一緒になって４元ポテンシャルを構成します。そしてローレンツ変換によって変換されます。
ところが、電場（Ｅx，Ｅy，Ｅz）と磁場（Ｂx，Ｂy，Ｂz）のそれぞれは４元的な量ではありません。これらを一緒にして4×4の方形に並べたものが本来の形です。つまり4×4＝16成分の“４元テンソル場”です。それ故、電磁場は４元テンソル場として認識されて初めてローレンツ変換によって変換されます。
そして、これが本稿で説明した“４元速度”、“４元力”と一緒になって“ローレンツの力の法則”を表します。それは別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（２）で説明した様に
の形に表現されます。ただし、これはCGSgauss単位系（非有理化、磁場H）での表現です。
上記の電磁場テンソルは（1，１）型つまり混合テンソル表現ですが、２階共変テンソル表現や２階反変テンソル表現もあります。４元化に伴って共変成分・反変成分の概念が必要になり、とても難しい話になります。この部分の難しさを避けるために３次元表現で我慢して、ローレンツ変換共変の変換式を用いた方が良いのかも知れません。
もちろん、４元テンソル場としての電磁場のローレンツ変換式からEinsteinが1905年論文§6で初めて導いた“電磁場を3次元的なベクトル量と見なしたときの《ローレンツ変換共変の変換式》”を導くことができます。そのことは別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（３）２．をご覧下さい
いずれにしても、この当たりは別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」で説明しておりますのでそちらをご覧下さい。
下記文献を参考にしました。説明の繰り返しをいとわず、できるだけ解りやくなることに努めました。
