で持って、二つのベクトルＡとＢの“内積”又は“スカラー積”という。
そして普通
などで表す。
この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。
ベクトルの内積（スカラー積とも言う）と外積（ベクトル積とも言う）の成分表示を説明します。この稿では文章中でベクトルを表すときには太字のアルファベット文字を用いることにする。
ベクトルＡとＢの大きさをＡとＢとし、そのなす角をθとするとき
で持って、二つのベクトルＡとＢの“内積”又は“スカラー積”という。
そして普通
などで表す。
この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。
前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。
［証明］
（１）が成り立つことは内積の定義より明らか。また（３）が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、内積の定義より明らか。
以下で（２）が成り立つことを証明する。ベクトルＡ、Ｂ、Ｃを下記の様なものだとすると、図より明らかなように
［終わり］
ここでベクトルの直交座標の成分表示を考察する。
直交座標のｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルをそれぞれｉ、ｊ、ｋとすると、内積の意義により
これらの単位ベクトルを用いると任意のベクトルＡ、Ｂは
の様に表される。ここでＡｘ、Ａy、Ａz、・・・・等はそれぞれのベクトルをｘ座標、ｙ座標、ｚ座標に射影したときの長さを意味する。
前々節と前節の結論を用いれば、内積の成分表示が直ちに導かれる。
この関係式はとても重要です。これは“内積演算の分配・結合法則”を利用して導かれたものであることを忘れないで下さい。
前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。
まず、内積の定義より、二つのベクトルＡとＢの間の角度をθとすると
の関係が成り立ちます。
そのため、二つのベクトルＡとＢが垂直でθ＝90°なら
が直ちに言えます。また、これが成り立てはＡとＢは互いに垂直です。
さらに、下図の様な三角形の各辺の長さについて
が成り立つことが直ちに言えます。これは三角形ＯＡＢに対して成り立つ“余弦定理”そのものです。
［補足説明１］
これはまた、逆に“余弦定理”を用いれば、（ＡxＢx＋ＡyＢy＋ＡzＢz）が確かに二つのベルクＡとＢの大きさＡとＢを乗じたものに二つのベクトルの成す角θの余弦を乗じたものであることが直接示せるということです。すなわち
となる。
［補足説明２］
“余弦定理”は、直角三角形について成り立つ“ピタゴラスの定理（三平方の定理）”を用いれば簡単に証明できます。
角度θが鋭角でも鈍角でも下記の関係が成り立つ。
外積についても、内積と同様な手順で説明できます。
ベクトルＡとＢの大きさをＡとＢとし、そのなす角をθとする。
このとき、その大きさが、クトルＡとＢが作る平行四辺形の面積
に等しく、かつその方向がこの平行四辺形に垂直なベクトルを、二つのベクトルＡとＢの“外積”又は“ベクトル積”と言う。
このき、そのベクトルの方向がＡからＢに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を
で表し、ＢからＡに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を
で表すことにする。つまり演算の順序が異なると、その結果を表すベクトルの方向は逆転する。
この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。
前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。
［証明］
（１）が成り立つことは外積の定義より明らか。また（３）が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、外積の定義より明らか。
以下で（２）が成り立つことを証明する。ベクトルＡ、Ｂ、Ｃを下記の様なものだとする｡
今、上図の様な、ベクトルＢとＣを含みベクトルＡに平行な面を持つ平行六面体の角柱ＯＢＤＣＡＥＧＦを考える。またＯ点を通りベクトルＡに垂直な平面πを考える。ベクトルＢとＣを平面πへの射影したベクトルをＢ’とＣ’とする。
このとき、平行四辺形ＯＡＥＢの面積と長方形ＯＡＥ’Ｂ’の面積は等しく、平行四辺形ＯＡＦＣの面積と長方形ＯＡＦ’Ｃ’の面積は等しい。また平行四辺形ＯＡＧＤの面積と長方形ＯＡＧ’Ｄ’の面積は等しい。つまり
が成り立つ。
このときπ平面上のベクトルの方向に関して
であることが言える。
このことと、｜Ａ×Ｂ｜：｜Ａ×Ｃ｜＝ＯＢ’：ＯＣ’ であることを考慮すると、平行四辺形ＯＢ’Ｄ’Ｃ’と平四辺形ＯＨＪＩは互いに相似となる。つまり、平四辺形ＯＨＪＩの大きさは、平行四辺形ＯＢ’Ｄ’Ｃ’の辺の長さをＯＡ倍したものです。
このとき、ベクトルＡ×ＢとベクトルＡ×Ｃを足したベクトルは（Ａ×Ｂ＋Ａ×Ｃ）であるが、これこそベクトル（Ｂ＋Ｃ）をπ平面へ射影したベクトルＯＤ’を90°回転してＯＡ倍したものです。これはベクトルＡ×（Ｂ＋Ｃ）を意味するので、分配の法則が成り立つことが証明できたことになる。
［終わり］
ここでベクトルの直交座標の成分表示を考察する。
直交座標のｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルをそれぞれｉ、ｊ、ｋとすると、外積の定義と、前項の代数法則（１）により
これらの単位ベクトルを用いると任意のベクトルＡ、Ｂは
の様に表される。ここでＡｘ、Ａy、Ａz、・・・・等はそれぞれのベクトルをｘ座標、ｙ座標、ｚ座標に射影したときの長さを意味する。
前々節と前節の結論を用いれば、外積の成分表示が直ちに導かれる。
この関係式はとても重要です。特に剛体の力学を論じるとき必須の公式となります。
これは“外積演算の交換・分配・結合法則”を利用して導かれたものであることを忘れないで下さい。
［補足説明１］
このとき、この成分表示で示されるベクトルの大きさが、実際にベクトルＡとベクトルＢが作る平行四辺形の面積である事は直ちに確認できる。外積ベクトルＡ×Ｂの大きさは、直交座標成分表示にタゴラスの定理を適用して
と変形できる。
［補足説明２］
上で説明した様にベクトル積
の大きさはベクトルＡとベクトルＢが作る平行四辺形の面積でした。
そのため上記の式とベクトル ｉ との内積
は前述の平行四辺形をｙｚ平面へ射影した図形の面積となります。同様に
は前述の平行四辺形をｚｘ平面へ射影した図形の面積であり
は前述の平行四辺形ををｘｙ平面へ射影した図形の面積となります。
前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。
三つのベクトルの外積（Ａ×Ｂ）×Ｃを成分表示で表してみる。外積の成分表示を用いると
ここで（Ａ×Ｂ）とＣの外積の順番をいれかえると、２．（２）で述べた（１）交換法則により
となる。ここでＣ→Ａ、Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃの置き換えを行えば
となる。
つまり外積の演算の結合順序を変えると異なったベクトルとなる。これは外積の定義に従って実際にベクトルを求めてみれば直ちに明らかになることです。
三ベクトルの外積Ａ×（Ｂ×Ｃ）に関するこの公式は、別稿「電磁場の応力（マクスウェルの応力）」２．（３）２．などで用いました。
下記の様な三つのベクトルＡ、Ｂ、Ｃで構成される平行六面体の体積は直ちに求まる。
内積と外積の定義より
の関係が成り立ちます。
これは行列式
に等しい。これを
の様に表して、ベクトルＡ、Ｂ、Ｃの“スカラー三重積”と呼ぶ。ここでベクトルＡ、Ｂ、Ｃは互いに右手回りのサイクリックな関係になっていることに注意。もしＣがＡとＢが作る平面に対して図の反対側にあれば、スカラー三重積の値は負になる。
［補足説明］
上記平行六面体の体積をＶとすると、その2乗Ｖ2は
となる。
ところで、別ページで説明する行列式の性質［定理3］と［定理13］から
（１）転置行列の行列式は元の行列の行列式の値と同じ。
（２）2つの行列の積を作り、その行列式の値を計算すると、それは元の2つの行列の行列式を計算して乗じたものに等しい。
が成り立つ。
そのため上記の関係は以下のように変形できる。
一般相対性理論ではＶ2は基本計量テンソルｇｉｊの行列式で表される。このことについては別稿「基底ベクトル・双対基底ベクトルと反変性分・共変成分(計量テンソルとは何か、クリストッフェル記号とは何か)」２．（７）を参照されたし。
ｉ、ｊ、ｋを右手直交座標系の単位ベクトルとすれば、直ちに
が言える。
次に、下記のいずれの表現も、同一の平行六面体の体積を示しているので、直ちにこれらの関係式が成り立つことが言える。
また、内積（スカラー積）の交換の法則を上式に適用すると
が言える。このときベクトルＡ、Ｂ、Ｃの順番はサイクリックに回さなければならないことに注意。
上記の二式と内積、外積の交換法則により、［Ａ，Ｂ，Ｃ］の任意の二つの順番を入れ替えると符号が変わることが解る。
二つのベクトル外積Ａ×ＢとＣ×Ｄの内積を変形する。このとき前項と前々項の結論を用いれば
が成り立つ。
ここでＡ＝Ｃ、Ｂ＝Ｄのときには
が成り立つ。これは“ラグランジュ（J.L.Lagrange）の恒等式”と言われ、有用な関係式です。
ここで左辺は常に ≧0 であるから
が成り立つ。これは“コーシー・シュワルツの不等式”と言われ、有用な関係式です。
