上記の例をもう少し具体的に論じる為に、文中の“磁石”をサークル状の回路に電池を繋いで電流を流すことで構成する“電磁石回路”に置き換える。そして文中の“導体”を下図の様な“導線回路”に置き換える。
Einsteinは、特殊相対性理論論文（1905年）の前書きで次の様に述べている。
上記の例をもう少し具体的に論じる為に、文中の“磁石”をサークル状の回路に電池を繋いで電流を流すことで構成する“電磁石回路”に置き換える。そして文中の“導体”を下図の様な“導線回路”に置き換える。
上記文中の最初の状況は、“ファラデーの電磁誘導の法則”（別稿「電磁波の伝播」１．（１）参照）で説明できる。導線回路の位置の磁場が時間的に変化するために、その導線部分に誘導電場が生じて、導線中の電荷はその電場から受ける力Ｆ＝ｑＥによって動かされる。
二番目の状況は、時間的に変化しない磁場中を導線回路が動き、その導線回路中の電荷に対して“ローレンツの力の法則”Ｆ＝ｑ［ｖ×Ｂ］による力が働き、導線中の電荷が動かされる。
アインシュタインは上記の２つの状況を深く考察して特殊相対性理論を見つけたのですから、これはとても重要な例題で、多くの特殊相対性理論の教科書の導入部で必ず取り上げられています。しかし、特殊相対性理論の理解が進んだ後で、上記の現象を特殊相対性理論を用いて解説される事はほとんどありません。
それは、マイケルソン・モーリーの実験が特殊相対性理論の考察にはとても重要なのに、特殊相対性理論を用いてその現象の詳細が解説される事が無いのと一緒です。
マイケルソン・モーリーの実験については、別稿「マイケルソン・モーリーの実験(1887年)の特殊相対性理論による説明」で説明しましたが、本稿では上記の現象を特殊相対性理論によって説明してみます。これはなかなかの大仕事です。
［補足説明１］
Einsteinの特殊相対性理論論文（1905年）前書き［補足説明１］に記した図はGauss単位系（非有理化、磁場H）で記されていましたが、本稿ではMKSA有理化単位系を用いて説明します。上図もその単位系に書き直しています。
MKSA有理化単位系を用いるのは別稿「電磁場の相対性」で説明した結論をそのまま利用したいからです。さらに本稿ではそこで用いた記号をそのまま踏襲して用います。
［補足説明２］
本稿の説明を始めるに当たり、ランダウ・リフシュツが「場の古典論」第３章“場の中の電荷”の§15、§16、§17の最初に述べている事柄は味わい深いので以下引用する。
前章例の二番目の状況の説明から始めます。“電磁石回路”が静止して見える慣性系をＳ系とします。
電磁石回路に電池を繋いで一定の電流を流します。そのとき電磁石回路には電荷密度ρが現れることが無い様に一定電流 ｊ （図の赤矢印）が流れている状態にします。そのような状況で電流が流れる状態にできる事は「電磁場の相対性」３．（３）３．［補足説明４］をご覧いただけば解ります。今は理想的な場合を考えていますので、回路の中に抵抗は存在せず回路を構成する導線も内部抵抗の無い完全導体と考えます。
［補足説明１］
このとき“導線回路”に生じる電流について、次の事に注意して下さい。
ａｂ辺に存在する伝導電子に働く力とｃｄ辺に存在する伝導電子に働く力はいずれもｙ軸の負方向を向いています。だから導線回路のｄａ辺に伝導電子が集まって導線のｄａ辺が負に帯電し、伝導電子の密度が少なくなったｂｃ辺が正に帯電するのではないかと思われるかも知れません。
しかし、導線回路が内部抵抗の無い完全導体である場合は導線回路内の一部に電荷が滞留することは在りません。電気的な力というものは極めて強大な力ですので、導線内部の伝導電子同志は互いに反発しあって導線内部の互いの分布をならして仕舞うからです。
また、その様にならされる効果により、導線内部の伝導電子に働く力に場所的な変動があっても全体として一定の方向に流れる電流（青矢印）となります。
電荷間に働く力がいかに強大なものであるかは、こちらのファインマンの説明をご覧下さい。
［補足説明２］
ここで、さらに注意します。上記［補足説明１］で説明したように本来導線が帯電しているはずは無いのですが、“導線回路”は図のようにＳ系から見るとｘ軸の負の方向へ速度ｖで動いています。そのため回路のｂｃ辺とｄａ辺はローレンツ収縮のために少し縮んでいます。そのときｂｃ辺をｘ軸方向に流れる伝導電子のＳ系から見たｂ→ｃ方向の移動速度は遅くなりますから、伝導電子間の間隔の縮小はすくなくなり、ｂｃ辺辺は少し《正に帯電》している様に見えます。また、ｄａ辺をｘ軸の負の方向に流れる伝導電子のＳ系から見たｄ→ａ方向の移動速度はより速くなりますから、伝導電子間の間隔の縮小は導線自体の縮小よりもよりも大きくなります。そのためｄａ辺は少し《負に帯電》している様に見えます。
ｂｃ辺がどの程度正に、またｄａ辺がどの程度負に帯電して見えるかを見積もるのは難しいのですが、第３章で説明する様に、Ｓ系で観測される“導線回路”の電荷密度と電流密度をローレンツ変換によってＳ’系での対応する電荷密度と電流密度に対応付けたときに、Ｓ’系から見て静止している“導線回路”ａ’ｂ’ｃ’ｄ’が帯電していない様に見える結果が得られるのが自然です。その様な状況になるにはＳ系での“導線回路”ａｂｃｄは上記の様に少し帯電して見えるはずです。
このことについては後ほど３．［補足説明５］で再度説明します。
１章で取り上げた例の最初の状況を説明します。すなわち、２．章の現象を“導線回路”（ａｂｃｄ）が静止して見える慣性系Ｓ’系から見た場合を考察します。そのとき、導線回路は静止しており、“電磁石回路”（ＡＢＣＤ）が下図の様に導線回路（ａｂｃｄ）に向かって速度ｖで移動している様に見えます。
第２章の説明と混同しないように、ここでは“電磁石回路”をＡ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’で、を“導線回路”をａ’ｂ’ｃ’ｄ’で表す事にします。
［補足説明１］
上記の説明で、Ａ’Ｂ’辺とＣ’Ｄ’辺を流れる電流密度はＳ系とＳ’系で変わらないのに、Ｂ’Ｃ’辺とＤ’Ａ’辺を流れる電流密度はＳ系での値より少し大きくなると説明しましたが、これは電磁石回路のＢ’Ｃ’辺とＤ’Ａ’辺をＳ’系から見ると運動している様に見えるため辺の長さがローレンツ収縮しているためです。それ故に、回路を流れる電流の連続性について矛盾が生じることはありません。
また、Ｂ’Ｃ’辺とＤ’Ａ’辺の電荷密度がゼロでなくなり、Ｂ’Ｃ’辺では《正に帯電》したように見え、Ｄ’Ａ’辺では《負に帯電》したように見えると言いましたが、その様に見える事は別稿「電磁場の相対性」３．（３）３．［補足説明３］で説明していますのでご確認下さい。特に次図をご検討下さい。ただしＳ系に対するＳ’系の運動方向がそこと逆になっていますので、右図の様に読み替えて下さい。
右図を検討されれば、Ｓ’系から見たとき、Ａ’Ｂ’辺とＣ’Ｄ’辺では導線内の［陽イオン間隔］と［伝導電子間隔］は同じであるのに対して、Ｂ’Ｃ’辺では［陽イオン間隔］＜［伝導電子間隔］となり《正に帯電》したように見え、Ｄ’Ａ’辺では［陽イオン間隔］＞［伝導電子間隔］となり《負に帯電》したように見える事が確認できます。
もちろん、元のＳ系においてはＡＢ辺、ＢＣ辺、ＣＤ辺、ＤＡ辺のすべての辺で［陽イオン間隔］＝［伝導電子間隔］となり、どの辺も帯電している様には見えません。
そのとき、Ｓ系からＳ’系に移ったときに回路の角の部分で電荷密度の連続性はどうなるのか疑問に思われた方もおられるかも知れませんが、上記のミンコフスキー時空図で確認されれば、その疑問は解消します。
［補足説明２］
上記の計算の間違いの原因は、Ｓ’系での電荷密度分布や電流密度分布が時間的に変化することを考慮しなかったことです。中でも最大の理由は“導線回路”の位置に生じる磁場が時間的に変化することを考慮しなかったことです。
“電磁石回路”が“導線回路”の位置に作る磁場はＢ’Ｃ’辺とＤ’Ａ’辺が作る磁場Ｂ’BCやＢ’DAだけではなく、Ａ’Ｂ’辺とＣ’Ｄ’辺が作るもっと強大な磁場Ｂ’ABやＢ’CDが有ります。しかもこれらの磁場は時間的に変化します。
つまり、“導線回路”の位置に生じる強力な磁場Ｂ’ABやＢ’CDは時間的に増大しています。だからファラデーの電磁誘導の法則によって上記に静的な考察で求めた電場を上回るもっと強力な電場が生じているはずです。
さらに付け加えると、上記で静的な考察から求めた“導線回路”の位置にできる電場Ｅ1’〜Ｅ4’も時間的に変化しますから、電場の時間的変化の項を付け加えることによってMaxwellが改良したアンペール法則に従って新たに磁場を生み出します。
別稿「電磁場の相対性」で取り上げた例では、導線が無限に長いため、電荷密度分布・電流密度分布の時間的変化を考えなくて良かったので、たまたまそこでの様な静的電荷密度分布と静的電流密度分布による取り扱いができただけです。
だから、電荷密度分布や電流密度分布が時間的に変化する場合には、静的電荷によるクーロンの法則や、静的電流によるビオ･サバールの法則ではそれらの周りの電磁場の様子を求める事はできません。
それでは、どうして求めたら良いのでしょうか。それはEinstein論文（1905年）で求めているローレンツ変換共変の電磁場の変換式で求めれば良いのです。それを次で説明します。
［補足説明３］
Ｓ系から見た時の電磁場とＳ’系から見た時の電磁場は上記の様に“ローレンツ変換共変の変換式”で結びつけられますが、決して“ローレンツ変換”そのもので結びつけられるわけではありません。
先ほど電磁石回路上の［電荷密度と電流密度］をＳ系から見た時の値とＳ’系から見た時ときの値は“ローレンツ変換”によって結びつけられたのに、［電磁場］についてはそうなっていない訳を説明します。
別稿「４元速度（４元運動量、４元電流密度）、４元加速度と４元力」３．（２）で説明した様に、［電荷密度と電流密度］は一緒になって元々“４元的なベクトル場”を構成しています。そのため変換式がローレンツ変換そのものになったのです。
それに対して、電場（Ｅx，Ｅy，Ｅz）と磁場（Ｂx，Ｂy，Ｂz）のそれぞれは４元的な量ではありません。これらを一緒にして4×4の方形に並べたものが本来の形です。つまり4×4＝16成分の“４元テンソル場”です。そのため“ローレンツの力の法則”も4元速度、4元力を用いると、別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（２）で示したように
の様に表現されます。ただしこれはCGSgauss単位系（非有理化、磁場H）での表現です。
また、ここの電磁場テンソルは（1，１）型つまり混合テンソル表現です。２階共変テンソル表現や２階反変テンソル表現もありますが、４元化に伴って共変成分・反変成分の概念が必要になり、とても難しい話になります。この部分の難しさを避けるために３次元表現で我慢して、ローレンツ変換共変の変換式を用いた方が良いのかも知れません。
いずれにしても。電磁場を“４元テンソル表現”にすれば“ローレンツ変換”に従って変換されます。その事については別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」４．（３）２．をご覧下さい。
本来あらゆる物理量は空間次元成分と時間次元成分を持っていると考えねばなりません。なぜならあらゆる物理量は４次元時空の中でのみ意味を持つからです。またそうであるために４次元的表現にして初めて、２つの座標系におけるそれらの物理量が（ローレンツ共変の変換ではなくて）“ローレンツ変換”によって結びつけられます。
ここは、とても解りにくいところですので別稿「４元速度（４元運動量、４元電流密度）、４元加速度と４元力」を善く善く復習されて下さい。
［補足説明４］
別稿「電磁場の相対性」５．［補足説明２］と、それに続く５．［補足説明３］で説明した様に、Ｓ’系での“導線回路”ａ’ｂ’ｃ’ｄ’中の電荷ｑに働く力と、Ｓ系での“導線回路”ａｂｃｄ中の電荷ｑに働く力は互いに、ローレンツ変換共変の関係式で結びつけられており、互いに等しくはありません。このことはファインマンも「電磁場の相対性」４．で繰り返し強調していることです。
そのとき注意して欲しい事は伝導電子の持つ電荷ｑはローレンツ変換に対して不変（別稿３．（１）参照）ですから、Ｓ系でもＳ’系でも同じです。これはEinsteinが1905年論文の§9で初めて指摘した極めて重要な命題です。
このことと、電荷密度ρや電流密度 ｊ がローレンツ変換によって変換される事とくれぐれも混同しないで下さい。
さらに補足しますと、上記では力の３次元的表現を用いたためにローレンツ変換共変な変換式になったのであって、力も４元的表現にしたものを用いるとローレンツ変換で結びつけられます。
３次元的な力の表現と４元ベクトルとしての力の表現の対応関係については別稿「４元速度（４元運動量、４元電流密度）、４元加速度と４元力」５．（２）をご覧下さい。
そのとき４元力が従うローレンツ変換の具体的な形については上記別稿の５．（３）をご覧下さい。
［補足説明５］
Ｓ系とＳ’系での電荷密度と電流密度の対応関係については２．［補足説明２］で説明した事柄に注意して下さい。
Ｓ’系から見た時に“導線回路”ａ’ｂ’ｃ’ｄ’は静止していますから、２．［補足説明１］で注意した事柄から、Ｓ’系から見たとき導線は帯電しておらず電流密度のみが存在する様に電流が流れているのが自然です。
だからその状態から逆にローレンツ変換をして得られる値が、Ｓ系から見た時の“導線回路”ａｂｃｄにおける電荷密度と電流密度となるはずです。
以上説明したように、１．導入で述べた２つの現象の関係を特殊相対性理論によって正確に理解するのはかなり大変です。
この２つの現象を特殊相対性理論で読み解くには、まずＳ系での“電磁石回路”ＡＢＣＤの帯電状況と電流密度とＳ’系での“電磁石回路”Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’の帯電状況と電流密度が、お互いにローレンツ変換で関係づけられる事を理解することが必要です。
次に、Ｓ系での“電磁石回路”ＡＢＣＤの帯電状況と電流密度状況を用いて、Ｓ系での“導線回路”ａｂｃｄの位置に生じる電磁場を計算します。同時にＳ’系での“電磁石回路”Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’の時間的に変化する帯電分布と電流密度分布を用いて、Ｓ’系での“導線回路”ａ’ｂ’ｃ’ｄ’の位置に生じる電磁場を計算します（このことに付いては下記４．［補足説明１］を参照）。
そうすると、Ｓ系とＳ’系での電磁場はローレンツ変換共変の変換式で関係付けられていることが理解できます。そのとき、電磁場を４元テンソル表現にすると互いにローレンツ変換で関係づけられます。
次に、その様にして計算されたＳ系とＳ’系の電磁場を用いて、Ｓ系での“導線回路”ａｂｃｄに生じる現象とＳ’系での“導線回路”ａ’ｂ’ｃ’ｄ’に生じる現象を論じます。それぞれの電荷に働く力も、それぞれの“導線回路”に生じる電荷密度分布と電流密度分布も互いにローレンツ変換共変の変換かローレンツ変換によって関係付けられます。
つまりＳ系におけるあらゆる物理量・物理現象がローレンツ変換式（あるいはローレンツ変換共変な変換式）によってＳ’系での物理量・物理現象に関係付けられる。
この説明は佐藤文隆、Ｒ・ルフィーニ共著「ブラックホール」丸善(1976年刊)第2章5．p79からの引用です。この続きの説明はこちらを参照されたし。
多くの教科書では２つの現象が全く同じ様に起きると説明し、それが“物理法則の相対性原理”（つまりあらゆる慣性系において、同じ物理法則が成り立つ）の表れであると説明しています。しかし、このことの意味を正しく理解するのは簡単ではありません。
本稿で述べた様に、Ｓ系での電場・磁場、電荷密度・電流密度、電荷に働く力、電荷の移動速度などは、Ｓ’系での電場・磁場、電荷密度・電流密度、電荷に働く力、電荷の移動速度とほとんど同じですが、両者は完全に同じではなく、微妙に異なっています。実際、Ｓ系とＳ’系で“電磁石回路”と“導線回路”の運動状態が異なり、電磁場の様子が異なるのはもちろんですが、回路中の電流密度分布も電荷密度分布も異なっていますし、回路中の電荷に働く力の大きさ・方向も異なっています。
しかし、Ｓ系での値と、Ｓ’系でのそれらの値はローレンツ変換式（あるいはローレンツ変換共変な変換式）によって完璧に関係付けられています。この様に完璧に関係付けられていることが、“物理法則が相対性原理を満たす”と言うことです。
［補足説明１］
時間的に変化する電荷分布、電流密度分布が作り出す電磁場の計算は「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル(ローレンツゲージ Lorenz gauge の由来)」２．（３）３．で求めた時間的に変化する電荷分布と電流分布が与えられたときのスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルに対する波動方程式を解くことになる。
実際の解は別稿「カルマン渦列（動的安定解析）」２．（３） （ただしこれは静的分布のとき）や、別稿「非同次波動方程式の一般解」 や、別稿「ポアソン方程式（Poisson's equation）と波動方程式（wave equation）」２．で求めていますが、それらの解を問題の地点に影響を及ぼし得る電荷密度と電流密度の時間、空間分布について重ね合わせたものが必要な解となる。
そうして求めたスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルから電場と磁場を求めれば良い。
しかし、言うはたやすいが、実際の計算は膨大なものになり、極めて面倒です。
本稿で説明した内容のページを以前から作りたいと思っていたのですが、なかなか取りかかれませんでした。それと申しますのも、私自身が良く理解できていないところがあって様々な疑問を抱えていたからです。
それらの疑問とは、ファインマンが「電磁場の相対性」４．の中で強調しているＳ系の電荷とＳ’系の電荷に働く力が近似的に等しいだけであると言っていることや、本稿の２．［補足説明２］と３．［補足説明５］で説明した事柄や、３．［補足説明２］で説明した事柄に関係したものでした。
それらの疑問が長い間漠然と心に引っかかっていたのですが、最近、ある読者の方からの質問に関連して、この問題を考え直して見たのです。そしたら思いがけず第４章に記したことが見えてきたのです。この認識にいたって、すべての事柄が明瞭に理解できました。それで、やっと本稿を書くことができました。
いずれにしましても、読者から頂いたご質問にとても感謝しています。
［2020年3月追記］
本稿の内容をさらに解りやすくした「電磁場の相対性と特殊相対性理論（補足説明）」を作りました。
