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電磁場の相対性と特殊相対性理論(補足説明)

1.導入

 本稿は2019年11月10日にupした「電磁場の相対性と特殊相対性理論」の説明を補足するものです。前記の稿をupしたところ、読者の方からその内容が良く解らないという質問がありましたので、もう少し解りやすく説明します。

 解りやすくするために、前稿の状況をもう少し簡単にして、“電磁石回路”から生じる電磁場が働くのが“導線回路”では無くて(電荷qの)単独の“正電荷”に変更します。

 すなわち、最初“電磁石回路”は静止しており、その“電磁石回路”がつくる磁場の中を“正電荷”が下図の様に速度“電磁石回路”の方向に運動している場合を考えます。これを《状態T》とします。このとき電磁石回路は静止していますから、正電荷の位置には磁場B1のみが生じて、電場は生じません。

 次に、この《状態T》を正電荷と共に動く座標系から観測します。その座標系では“正電荷”は静止しており、“電磁石回路”が速度“正電荷”の方に近付いていることになります。これを《状態U》とします。

 このとき、図中に磁場B1’、と電場E1’が生じていますが、それが《状態T》のものと同じとは思わないで下さい。後で解りますが、B1’はB1ほぼ同じですが完全に等しくはありません。また、電場E1’が新たに現れます。

補足説明
 上記の設定を次のように変えても良い。すなわち、《状態T》では“電磁石回路”も“正電荷”も静止しており、《状態U》では“電磁石回路”が動く方向に“正電荷”も同じ速度で動いているとする。
 しかし、そのような状況では、電磁場から正電荷に働く力は《状態T》《状態U》両方でゼロになります。つまり、“正電荷”には力が働いていない状況になり、力のローレンツ変換性を確かめることができません。3.(3)で説明する様にその事を確かめるのが本稿の大きな目的なのですから、ここでは取り上げません。
 もちろん任意の方向へ運動する正電荷について考察しても良いのですが、速度のローレンツ変換がとても複雑になり、本質の理解には適していないので、ここでは取り上げません。

 

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2.電磁石回路が正電荷の位置につくる電磁場

)《状態T》の電磁石回路がつくる電磁場

 この場合は簡単です。別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」2.(3)3.で説明した、Lorenz gauge を適用して求めた波動方程式

を解けば良いのです。この波動方程式の右辺の電荷密度ρと電流密度 j は言うまでも無く“電磁石回路”における値です。ただし、《状態T》の場合にはすべての場所でρ=0と見なせます。

補足説明1
 別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」3.(2)で説明したように、電磁ポテンシャルに対する非同次波動方程式はローレンツ変換に対して不変です。そのため、その解である電磁ポテンシャル(とφ)も当然ローレンツ変換で変換されます。

 “正電荷”の位置のスカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルの解は、すでに説明したように

となります。右辺の第二項として添えられている部分は、同次波動方程式の解で電荷や電流の存在しない空間に初期条件として与えられている電磁ポテンシャルですが、今はすべてゼロと見なしても良い。また、《状態T》では“電磁石回路”に正味の電荷密度ρは現れませんから、φ=0となることに注意して下さい。
 このようにして求まった正電荷の位置のスカラーポテンシャルφとベクトルポテンシャルから

に従って、正電荷の位置の電場と磁場が求まります。

補足説明2
 別稿「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル」2.(3)3.では、ランダウ・リフシュツ著『場の古典論』を参照しやすくするために“非有利化Gauss単位系”で論じました。また、Einsteinの1905年論文もこの単位系で表現されています。本節の上記引用式もこの単位系での表現です。
 
 一方、別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」では、別稿「電磁場の相対性」で引用したファインマン物理 第V巻“電磁気学”」 §13-6 “電磁場の相対性”(p166〜171)の表現をそのまま利用したいためにMKSA有理化単位系で論じました。1.章の図はその単位系での表記です。
 
 本稿に引用した式表現は元稿の単位系を引き継いでいます。そのため本稿では、上記二つの単位系による式表現が混在しています。それぞれの場所で適宜読み替えて下さい。

 

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(2)《状態U》の電磁石回路がつくる電磁場

 この場合は、かなり面倒です。《状態U》では、1章の図の様に“電磁石回路”の移動方向に平行な回路部分に正負の電荷密度が現れます。また、《状態U》の座標系では回路が速度vで動いていますから、回路の中の電流密度も電荷密度も時間的に変化します。特に回路の移動方向に垂直な回路部分の状況が時間的に変化します。
 そのため前節の非同次波動方程式(13)(14)の解についても、正電荷の位置における電磁場も電流密度・電荷密度の時間的な変動を反映したものになります。だから、その解を求めるのは容易ではありません。
 それではどうするかと言うと、別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.[補足説明2]と、それに続く文節で説明した様に、《状態T》で求めた正電荷の位置の電磁場値をローレンツ変換して求めます。そのローレンツ変換式はEinsteinが1905年論文の3.(1)で求めているものです。

.電磁石回路の状況

 もちろん最初に述べた《状態U》における“電磁石回路”中の電荷密度・電流密度の分布も、《状態T》における“電磁石回路”中の電荷密度・電流密度の分布からローレンツ変換で求めたものになります。そのローレンツ変換式は別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」3.(2)で説明したものです。

 観測座標系を《状態T》から《状態U》へローレンツ変換したときの“電磁石回路”中の電荷密度・電流密度の分布は「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.で説明した様に
回路のA→B辺では

となります。回路のA→B辺ではS’系とS’系で状況の変化はありません
 次に、回路のB→C辺では

となります。S’系では回路のB→C辺がρ’>0となることから解る様に正に帯電して見えます。電流値もS系での値から少し変わります。ただし、v2/c2やv/c2が非常に小さな値である事から解る様に、これらの変化は極微少です。そのためこれらの変化は無視できますので、このことに拘泥しないで下さい。
 残りのC→D辺D→A辺も同様にすれば求まります。C→D辺ではS系の状況と同じですD→A辺では負に帯電して見えます。また電流値もS系での値から少し変わります。この部分の変化も極微少ですから、この変化に拘泥しないで下さい。

 

.正電荷位置での電磁場

 また、観測座標系を《状態T》から《状態U》へ変更したときの“正電荷”の場所の電磁場は、「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.でローレンツ変換共変式により求めた様に

となります。S’系ではy’軸の正方向を向く電場が現れることに注意して下さい。また磁場B1’の値もS系での値から少し変わります
 このとき、B→B1’の変化は極微少ですから、無視しても良いのですが、1’の発生は無視できません。S系では全く存在しなかったのがS’系で現れたのですから。

 

.任意の場所での電磁場

  1. “電磁石回路”の外側のx’y’面上に現れる電磁場》
     S’系で見た時に、x’y’平面上に現れる電場の様子は《状態T》での磁場の様子とローレンツ変換式から解る。x’y’面上に現れる電場“電磁石回路”の外側ではどの場所でもy’軸の正方向を向いており、その大きさは同心円的に“電磁石回路”から離れるにつれて小さくなり、“電磁石回路”に近付くにつれて大きくなる。
     磁場については、v2/c2が非常に小さな値ですから、《状態T》の状態とほとんど同じです。
     
     このとき、x’y’平面の様々な場所に(x’y’平面に横たわる)小さな“四角導線回路”を置いて、前記の電場が“四角導線回路”に生じる“起電力”を考えてみられたし。その“起電力”の方向は“四角導線回路”をつらぬく磁場(磁束)の時間的変化を打ち消す方向になっており、“ファラデーの電磁誘導の法則”を満たすように“四角導線回路”内に電流を誘起していることが解るでしょう。

     他の場所でも同様な図で確認して見て下さい。
     例えば、“四角導線回路”がy’軸上にあるときは、その回路をつらぬく磁場(磁束)の時間的変化は有りませんので、“四角導線回路”に起電力は生じず、電流は流れません。y’軸上にはy’軸の正方向を向く電場が現れますが、y’軸上では磁場(磁束)の時間的変化はありませんので磁場の時間的変化に対応して生じる電場ではなくて、“電磁石回路”のB’C’辺に現れる正電荷とD’A’辺に現れる負電荷の双極子による電場と考えられる。このことは後でもう一度説明します。
     また、x’軸の負の領域に“四角導線回路”があるときは、その回路をつらぬく磁場(磁束)の時間的変化は負となりますが、起電力も逆向きになり電流の方向も逆になります。
  2. “電磁石回路”の内側のx’y’面上に現れる電磁場》
     “電磁石回路”の内側では、《状態T》での“電磁石回路”の内側の(場所的にあまり変換しない)磁場の様子とローレンツ変換式から解るように、電場y’軸の負方向を向いており、その大きさはおおむね同じです。
     この部分は《状態U》に於ける磁場の時間的変化で生じると言うよりも《状態U》導線に現れる正負の電荷密度分布によって生じる電場であると考えられる。
     この場合も、v2/c2が非常に小さな値ですから、磁場については《状態T》の状態とほとんど同じです。
  3. 《任意場所における電磁場》
     磁場の様子はv2/c2が非常に小さな値ですから、《状態T》の状態とほとんど同じです。
     電場については、x’y’平面以外では、《状態T》での磁場にz成分以外のx成分、y成分が現れますので複雑ですが、《状態T》での磁場の様子とローレンツ変換式からおよその所は想像できます。
     例えば、y’z’平面内の電場は、先に述べたように“電磁石回路”のB’C’辺に現れる正電荷とD’A’辺に現れる負電荷の双極子が作る電場となる。

     実際y’z’平面内のz’軸に沿った点の電場はすべてy’軸の負方向を向いており、それ以外の成分はゼロとなります。このことは電磁場のローレンツ変換式から簡単に確かめられます。このとき、y’軸上の電場の様子は先に述べた様子と一致します。

[補足説明]
 ここでは、電磁場がそれぞれの慣性系でのベクトル表現なので、ローレンツ変換そのものでは無くて、ローレンツ変換共変式での変換になっています。
 もちろん電磁場を本来の4元的なテンソル場にすれば、ローレンツ変換そのものによって変換されます。この場合の変換式は 「Maxwell方程式系の先見性と電磁ポテンシャル(ローレンツゲージ Lorenz gauge の由来)」4.(3)を御覧下さい。

  

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3.電磁場が正電荷に及ぼす力

)《状態T》の電磁場が及ぼす力

 2.(1)で説明した様に《状態T》では正電荷の場所に磁場のみが生じます。それはz軸の正方向を向いています。それをBとすると、正電荷に働く力は“ローレンツの力の法則”=q{+[×]}に従って

となります。

 

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(2)《状態U》の電磁場が及ぼす力

 2.(2)で説明した様に《状態U》では正電荷の場所に磁場に加えて電場が生じます。それはy軸の正方向を向いています。それをE’とすると、正電荷に働く力は“ローレンツの力の法則”F’=q{E’+[×B’]}に従って

となります。《状態U》のS’系では“正電荷”は静止していますので磁場B1’は正電荷に対して力を生じず、電場E1’のみが効いてきます。

 

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(3)力のローレンツ変換

 《状態T》《状態U》のそれぞれで、正電荷に働くローレンツ変換共変式によって結びつけられている事を確認します。
 まず、先ほど求めたFとF’の間、及びB1とB1’の間には

の関係が有ることが解ります。

 このときS系とS’系ののローレンツ変換共変式は、別稿「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」5.あるいは、別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.で説明した様に

となるのですが、今はu=vの場合ですから、例えばy成分の変換式を計算すると

となります(これは、別稿「電磁場の相対性」4.ですでに求めている(13.30)式です)。

 いずれにしても、両方で求めた式は完全に一致します。このとき、S系で“正電荷”に働く力とS’系で“正電荷”に働く力はローレンツ変換共変式で完璧に関係付けられますが、両者は完全に等しいわけでは無く、近似的に等しいだけである事に注意して下さい。ただし、v2/c2が非常に小さな値ですから、力の変化は極微少でS系とS’系での力はほとんど同じと見なして良いのです。

[補足説明]
 ここでは、それぞれの慣性系での時間座標を用いた3次元力表現なので、ローレンツ変換そのものでは無くて、ローレンツ変換共変式での変換になっています。
 もちろん力を、力が働く対称物の固有時を用いた4元的表現にすれば、ローレンツ変換そのものによって変換されます。この場合の変換式は「4元速度(4元運動量、4元電流密度)、4元加速度と4元力」5.(3)1.を御覧下さい。

  

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4.まとめ

 別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」4.で説明した事の繰り返しです。

 すなわち、S系におけるあらゆる物理量・物理現象がローレンツ変換式(あるいはローレンツ変換共変な変換式)によってS’系での物理量・物理現象に関係付けられる
 そのとき、同一の現象を観測してもS系における物理現象と、S’系における物理現象は完全に同じではありません。本稿で見たように、電荷密度・電流密度の様子も、正電荷の位置における電磁場の値も、正電荷に働く力の大きさと方向も異なります。もちろん正電荷の速度も異なりますし、正電荷の質量も両系で異なります。ローレンツ変換(あるいはローレンツ変換共変式)で結びつけられる様に異なってくるのです。
 そのとき、荷電粒子の持つ電荷やそれぞれの慣性系における光速度のようにローレンツ変換に対して不変となる物理量もあります。
 荷電粒子の質量がローレン変換不変では無いのに、荷電粒子が持つ電荷がローレンツ変換不変な量であること(これは1905年論文3.(4)で説明した)や、荷電粒子の移動速度はローレンツ変換不変では無いのに、光子の移動速度はローレンツ変換不変であることはとても不思議ですが、自然はその様にできているのです。

 最後にもう一つ補足します。本稿で説明した現象は入門的な特殊相対性理論の解説本で必ず取り上げられていますが、その取り上げ方は別稿「相対論的力学」3.(5)や、別稿「電磁場の相対性」の様に無限に長い電線に沿っての取り扱いです。
 その場合には、別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.[補足説明2]で説明したように、導線が無限に長いため、たまたま電荷密度分布・電流密度分布の時間的変化を考えなくて良くなり、そこでの様に静的電荷密度分布と静的電流密度分布による取り扱いができるようになります。
  そのとき、無限に長い電線の場合には、S’系で生じる電場Eの原因は無限に長い電線がS’系から見たとき帯電することです
 しかし、本稿や別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」3.で説明したように、有限回路の場合にS’系で現れる電荷密度は、電場Eの出現にたいした働きはしません。主に効いてくるのは“電磁石回路”の移動に伴う電磁場の時間的な変化によって生じる電場です
 これらのことを忘れて、有限の電流回路で無限に長い電線の場合と同様な取り扱いをすると、分けのわからない論理矛盾に陥りますから気をつけて下さい。

 Einsteinは1905年論文のU.電気力学の部§6の末尾で以下の様に書いています。

 ここで言う“単極機械”とは、そこの3.(1)[補足説明9]で説明する“ファラデーの単極発電機”のことです。
 この文章などを読むと、Einsteinは本稿や別稿「電磁場の相対性と特殊相対性理論」で説明した内容を当初より完璧に理解していたことが解ります。しかし我々凡人には、Einsteinがどこまで深く考察していたのか測り兼ねます。

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