空間微分演算子

（１）接続係数の計算
（２）空間微分演算子
（３）スケール因子
（４）直交曲線座標における空間微分演算子

　全体の流れは明快ですが、説明は今一つです。直交曲線座標における空間微分演算子の参考に引用しました。
　最初は別稿「一般相対性理論を理解するための数学的準備」に従って曲面幾何学3章(4)や、テンソル解析学6(7)　などで学ばれ、その後　EinsteinB章(11)や、平川4章(9)　と比較しながらお読み下さい。

ＨＯＭＥ　　 A. 目次（１）（２）（３）（４）

（１）接続係数の計算

【式A.1の証明】
　この証明の2次元の場合を「微分幾何学」３．（４）３．［補足説明］で説明している。

　多次元の場合は別稿「テンソル解析学」６．（２）４．を参照されたし。

【式A.2の証明】

【式A.3の証明】

　別稿「テンソル解析学」６．（２）４．を参照。

ＨＯＭＥ　　 A. 目次（１）（２）（３）（４）

（２）空間微分演算子

【grad f】
　デカルト座標系におけるｇｒａｄｆの定義は別稿３．（９）１．をご覧下さい。

　計量テンソルｇ^mnがかかっているのは、grad演算の結果生じる共変ベクトルを反変ベクトルにするためです。共変ベクトルのままで良いならｇ^mnを乗じる必要はありません。別稿４．（９）の式（4･62）をご覧下さい。
　ここでは、スカラー　ｆの微分に於いては、通常の“微分係数”と“共変微分係数”の間に違いはないということが大事です。

【ｄｉｖＡ】
デカルト座標系におけるｄｉｖＡの定義は別稿３．（９）２．を、また曲線座標における定義は別稿６．(７)３．をご覧下さい。

　要するに、曲線座標系では反変ベクトルの微分は普通の微分ではなくて共変微分を用いなければ成らないと言うことです。その際、縮約を伴うｄｉｖ演算は式（Ａ．8）の形にできると言うことです。
　いずれにしてもこの演算操作で生じるのはスカラーです。

【ｒｏｔＡ】

　“4次元3階完全反対称ﾃﾝｿﾙ”ε^NMKについては別稿２．（２）をご覧下さい。これは4次元4階完全反対称テンソルである“Levi-Civitaのテンソル密度”ε^κλμν＝ε_κλμν を3階にしたようなものです。
　また、デカルト座標系におけるｒｏｔＡの定義は別稿３．（９）３．をご覧下さい。

　rot演算については、別稿６．(７)２．をご覧下さい。

【ラプラシアン　△ｆ＝▽²ｆ＝ｄｉｖ（ｇｒａｄｆ）】

　スカラー関数に共変微分演算ｇｒａｄを施すと共変ベクトルになります。その共変ベクトルをもう一度共変微分演算ｄｉｖで“縮約”することはできません。だから共変ベクトルｇ^mnを施して反変ベクトルに変換しておかなければならないと言うことです。式（Ａ．15）はその事を表しています。
　そのとき計量テンソルの共変微分はゼロ（リッチの補助定理）ですから、計量テンソルと共変微分演算は交換可能であることに注意して下さい。
　ここの説明は解りにくいので、別稿「微分幾何学」３．（４）４．《ベルトラミの第２微分係数》をご覧下さい。