が１．の方法による表現です。このとき“点座標”の集合は
となる。
熱力学や解析力学を学ぶとき最も解りにくいのがルジャンドル変換です。その意味についてクーラン、ヒルベルトが文献１．で明快に説明しています。以下でその内容を解りやすく紹介します。
簡単に説明するために、まず一変数の関数ｕ（ｘ）を取り上げます。
二次元ｘｕ空間内の一つの曲線を表すのに二つの方法がある。
何のことか解りにくいのでグラフで説明する。例として ｕ＝ｕ（ｘ）＝（1／2）（ｘ－1）2＋１／2＝（1／2）ｘ2－ｘ＋１ を考える。このグラフをそのまま描いた
が１．の方法による表現です。このとき“点座標”の集合は
となる。
次に、問題の曲線の接線とｕ軸切辺の集合は、接線のグラフが
の様になるので
となる。これが２．の方法による“接線座標”表現です。
［補足説明］
１．の方法の“点座標”の集合と２．の方法による“接線座標”の集合は、１対１で対応します。
もちろん完全に１対１で対応するためには、関数ｕ＝ｕ（ｘ）の勾配がｘとともに単調に変化する凹関数あるいは凸関数でなければなりません。ルジャンドル変換を適用する熱力学関数は、実際にこの条件を満たしています。［別稿「熱力学関数（状態方程式曲面）の性質」２．を参照されたし］
今（∂ｕ／∂ｘ）≡ξで表すことにする。問題にしている曲線を、（ｘ，ｕ（ｘ））＝（ｘ，ｕ）による表現から（（∂ｕ／∂ｘ），ω）＝（ξ，ω）による表現に変えてみる。
その為には、点（ｘ，ｕ）における接線を定める方程式を考えればよい。高校数学で習うように、点（ｘ，ｕ）における接線の方程式は（ｘ，ｕ）と（0，ω）の二点を通る直線の方程式だから、直線の傾きを表す式により
となる。
これは、（ｘ，ｕ）による表現を（ξ，ω）による表現に変える変換を表しており、これを“ルジャンドル変換”という。これは“接線座標”の一方の値である切辺の値ωが、元の関数値ｕからξｘと言う量を差し引いたものであることを表している。
このとき、変数（∂ｕ／∂ｘ）≡ξで表したωのグラフω（ξ）を描いてみると、それは二次元ξω空間に於ける一つの曲線を表す。
今考察している例では、ω＝ｕ－ξｘ＝（1／2）ｘ2－ｘ＋１-ξｘであるから、この式中のｘにξ≡（∂ｕ／∂ｘ）＝ｘ－1から求まるｘ＝ξ＋1を代入すれば、ω＝ω（ξ）＝（1／2）（ξ＋1）2－（ξ＋1）＋１－ξ（ξ＋1）＝－（1／2）ξ2-ξ+1／2となる。
つまり変数がξに変換された、新しい状態量ω（ξ）を表すグラフ
となる。ωはξが決まると完全に一意に定まる関数値（状態量）です。
このグラフω（ξ）は、ｕ（ｘ（ξ）））＝（1／2）（ξ＋1）2－（ξ＋1）＋１のグラフに－ξｘ＝－ξ（－∂ω／∂ξ）＝－ξ（ξ＋１）のグラフを加えたものであることに注意。
これはｘの関数である状態量ｕから
によって新たなる状態量ωを定めたとき、ｕを表していた変数ｘが新たな変数ξに変更されたことを意味する。
このときｕとωは全く異なった状態量です。古い状態量ｕに状態量－ξｘを付け加えることにより新たな状態量ωを作ったのですが、それを表す変数もｘからξ≡（∂ｕ／∂ｘ）に変換されていることに注意されたし。
ルジャンドル変換の逆変換を考える。関数ω（ξ）のξに関する導関数を作る。ｕ（ｘ）＝ｕ（ｘ（ξ））であることに注意すると
だから
となる。
（１）と（４）を比較すると右辺の符号が逆転しているように見えるが、（２）と（３）を比較されると以下の事情が解ります。
曲線ω＝ω（ξ）のグラフの点（ξ，ω）に於ける接線の傾きが∂ω／∂ξだから、ｕは点（ξ，ω）における接線がω軸と交わる点の値を表している。つまりω＝ω（ξ）の“点座標”から、その“接線座標”であるｕ＝ｕ（ｘ）に変換されている。だから、ルジャンドル変換の逆変換もルジャンドル変換となる。
一つの対象に対し二つの等価な記述法が存在するとき、二つの記述法を取り替える操作を数学では“双対”（そうつい）と呼ぶ。ここで説明している“点座標”と“接線座標”は双対性の関係をなしている。
そのためルジャンドル変化は単に1点を他の１点に対応づけるのではなくて、接線要素（ｘ，ｕ，∂ｕ／∂ｘ）を別の接線要素（ξ，ω,∂ω／∂ξ）に対応させるものと理解することもできる。
変数を変換することの意味が一変数関数の場合には必ずしも明瞭ではないので、二変数関数で考察してみる。
三次元ｘｙｕ空間内の一つの曲面を表すのに二つの方法がある。
まず最初に、上記２．（Ａ）による表現を求める。 曲面ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）上の点（ｘ，ｙ，ｕ（ｘ，ｙ））＝（ｘ，ｙ，ｕ）における接平面の方程式は、接平面上の座標点を（ｘ’，ｙ’，ｕ’）とすると、高校数学で習うように
となる。今後（∂ｕ／∂ｘ）≡ξ、（∂ｕ／∂ｙ）≡ηと置いて、三つの数字の組（ξ，η，ω）を“接平面座標”と呼ぶことにする。
曲面ｕ（ｘ，ｙ）上の点（ｘ，ｙ，ｕ）で接する接平面ｕ’（ｘ’，ｙ’）の方程式は
であるから、接平面ｕ’（ｘ’，ｙ’）がｕ軸を切る値ｕ’（0，0）＝ωは上式でｘ’＝ｙ’＝0と置いた
となる。これは、まさしく（ｘ，ｙ，ｕ）による表現を（ξ、η、ω）による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。つまり変換後の“接平面座標”（ξ，η，ω）は
となる。
ωがξとηの関数として与えられれば、２パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ω（ξ，η）が決まるのは明らかです。関数ω（ξ、η）は
なる方程式からｘ、ｙ、ｕをξ、ηの関数として定め、次の方程式
に代入することにより求めることができる。
次に、上記２．（Ｂ）による表現を求める。 曲面ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）をｘ＝一定の平面で切った切り口の点（ｘ，ｙ，ｕ（ｘ，ｙ））＝（ｘ，ｙ，ｕ）における接線の方程式は、接線上の座標点を（ｘ，ｙ’，ｕ’）とすると、高校数学で習うように
となる。今後（∂ｕ／∂ｙ）≡ηと置いて、三つの数字の組（ｘ，η，ωxｕ）を“接平面座標”と呼ぶことにする。
曲面ｕ（ｘ，ｙ）上の点（ｘ，ｙ，ｕ）で接する接平面のｘ＝一定の面で切った切り口線（接線）の方程式は
であるから、接線がｘｕ面と交わる点の値ｕ’（ｘ，ｙ’）＝ωxｕは上式でｘ’＝ｘ，ｙ’＝0と置いた
となる。これは、まさしく（ｘ，ｙ，ｕ）による表現を（ｘ、η、ωxｕ）による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。つまり変換後の“接平面座標”（ｘ，η，ωyｕ）は
となる。
ωxｕがｘとηの関数として与えられれば、２パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ωxｕ（ｘ，η）が決まるのは明らかです。関数ωxｕ（ｘ，η）は
なる方程式からｙとｕをｘ、ηの関数として定め、次の方程式
に代入することにより求めることができる。
次に、上記２．（Ｃ）による表現を求める。 曲面ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）をｙ＝一定の平面で切った切り口の点（ｘ，ｙ，ｕ（ｘ，ｙ））＝（ｘ，ｙ，ｕ）における接線の方程式は、接線上の座標点を（ｘ’，ｙ，ｕ’）とすると、高校数学で習うように
となる。今後（∂ｕ／∂ｘ）≡ξと置いて、三つの数字の組（ξ，ｙ，ωyｕ）を“接平面座標”と呼ぶことにする。
曲面ｕ（ｘ，ｙ）上の点（ｘ，ｙ，ｕ）で接する接平面のｙ＝一定の面で切った切り口線（ｘ方向の接線）の方程式は
であるから、接線がｙｕ面と交わる点の値ｕ’（ｘ’，ｙ）＝ωyｕは上式でｘ’＝0，ｙ’＝ｙと置いた
となる。これは、まさしく（ｘ，ｙ，ｕ）による表現を（ξ、ｙ、ωyｕ）による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。つまり変換後の“接平面座標”（ξ，ｙ，ωyｕ）は
となる。
ωyｕがξとｙの関数として与えられれば、２パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ωyｕ（ξ，ｙ）が決まるのは明らかです。関数ωyｕ（ξ，ｙ）は
なる方程式からｘとｕをξ、ｙの関数として定め、次の方程式
に代入することにより求めることができる。
式だけでは何のことか解らないのでグラフを用いて説明する。例として ｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）＝（1／2）｛（ｘ－1）2＋（ｙ－1）2｝＋１／2 を取り上げる。
１．の方法による表現であるｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）のグラフは
となる。これが“点座標”（ｘ，ｙ，ｕ）による表現です。
このとき ξ≡（∂ｕ／∂ｘ）＝ｘ－1、η≡（∂ｕ／∂ｙ）＝ｙ－1 となる。
２．（Ａ）の方法による“接平面座標”（ξ，η，ω）の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面を描いてみる。
すなわち
なる点が、“ルジャンドル変換” ω（ξ，η）＝ｕ（ｘ，ｙ）－ξｘ－ηｙ により
なる点に変換される。
実際は、（ｘ，ｙ）のすべての値に対して（ξ，η）の値が存在する。そして（ξ，η）の関数として接平面がｕ軸を切る値ω（ξ，η）が求まる。それをするには、
によってｘ、ｙ、ｕをξ、ηで表して、ｕから“ルジャンドル変換”で求めたωの式に代入すればよい。すなわち
となる。このグラフを描くと
となる。
このグラフω（ξ，η）は、ｕ（ｘ（ξ，η），ｙ（ξ，η））＝（1／2）｛ξ2＋η2｝＋１／2のグラフに－ξｘ－ηｙ＝－ξ（－∂ω／∂ξ）－η（－∂ω／∂η）＝－ξ（ξ＋１）－η（η＋１）のグラフ
の値を加えたものであることに注意。
このときｕとωは全く異なった状態量です。古い状態量ｕに状態量－ξｘと－ηｙを付け加えることにより新たな状態量ωを作ったのですが、それを表す変数も（ｘ，ｙ）から（∂ｕ／∂ｘ，∂ｕ／∂ｙ）≡（ξ，η）に変換されていることに注意されたし。
［補足説明］
ルジャンドル変換に伴って変数も変換されるのだが、ωを元の変数（ｘ，ｙ）で表すこともできる。今の場合
だから
となり、グラフの形は同じになる。
しかし、ルジャンドル変換が重要なのは独立変数を変えることができる事にあるのだから、この様にしてしまったのでは意味がない。
独立変数を元の曲面の勾配に変換する事の意味については別稿「ギブズの自由エネルギー（化学ポテンシャル）とは何か」１．（２）３．２．を参照されたし。
このことは、以下の２．（Ｂ）の方法や２．（Ｃ）の方法についても同様です。
同様に、２．（Ｂ）の方法による“接平面座標”（ｘ，η，ωxｕ）の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面（ｙ方向の接線）を描いてみる。
すなわち
なる点が、“ルジャンドル変換” ωxｕ（ｘ，η）＝ｕ（ｘ，ｙ）－ηｙ により
なる点に変換されます。
（ｘ，η）の関数としてのωxｕ（ｘ，η）は
によってｙ，ｕをｘ，ηであらわして、ｕから“ルジャンドル変換”で求めたωxｕの式に代入すればよい。すなわち
となる。このグラフを描くと
となる。
このグラフωxu（ｘ，η）は、ｕ（ｘ，ｙ（ｘ，η））＝（1／2）｛（ｘ－1）2＋η2｝＋１／2）のグラフに－ηｙ＝－η（－∂ω／∂η）＝－η（η＋１）のグラフ
の値を加えたものであることに注意。
このときｕとωxｕは全く異なった状態量です。古い状態量ｕに状態量－ηｙを付け加えることにより新たな状態量ωxｕを作ったのですが、それを表す変数も（ｘ，ｙ）から（ｘ，∂ｕ／∂ｙ）≡（ｘ，η）に変換されていることに注意されたし。
［補足説明］
このとき、ｕ（ｘ，ｙ）とωxu（ｘ，η）のグラフを比較してみれば明らかなように、変数ηを固定してωxu（ｘ，η）をｘで偏微分したものと、変数ｙを固定してｕ（ｘ，ｙ）をｘで偏微分したものが同じになります。すなわち
となります。
これは次のようにして一般的に成り立つことが証明できる。
つまり、一部の変数のみを変換（今の場合ｙ→η）するルジャンドル変換では、変換していない変数ｘでｕとωxuを偏微分したとき、固定する変数はｙ→ηに変わっており、関数もｕ→ωxuに変換されているが、ｘに関する偏微分導関数は変わらない事を意味している。
このことの重要な例として熱力学に於けるＵ（Ｖ，Ｓ）曲面とＦ（Ｖ，Ｔ）曲面、およびＨ（Ｐ，Ｓ）曲面とＧ（Ｐ，Ｔ）曲面の関係がある。詳細は別稿「熱力学関数（状態方程式曲面）の性質」３．（２）２．［補足説明２］を参照されたし。
同様に、２．（Ｃ）の方法による“接平面座標”（ξ，ｙ，ωyｕ）の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面（ｘ方向の接線）を描いてみる。
すなわち
なる点が、“ルジャンドル変換” ωyｕ（ξ，ｙ）＝ｕ（ｘ，ｙ）－ξｘ により
なる点に変換されます。
（ξ，ｙ）の関数としてのωyｕ（ξ，ｙ）は
によってｘ，ｕをξ，ｙであらわして、ｕから“ルジャンドル変換”で求めたωyｕの式に代入すればよい。すなわち
となる。このグラフを描くと
となる。
このグラフωyu（ξ，ｙ）は、ｕ（ｘ（ξ，ｙ），ｙ）＝（1／2）｛ξ2＋（ｙ－1）2｝＋１／2のグラフに－ξｘ＝－ξ（－∂ω／∂ξ）＝－ξ（ξ＋１）のグラフ
の値を加えたものであることに注意。
このときｕとωyｕは全く異なった状態量です。古い状態量ｕに状態量－ξｘを付け加えることにより新たな状態量ωyｕを作ったのですが、それを表す変数も（ｘ，ｙ）から（∂ｕ／∂ｘ，ｙ）≡（ξ，ｙ）に変換されていることに注意されたし。
［補足説明］
このとき、ｕ（ｘ，ｙ）とωyu（ξ，ｙ）のグラフを比較してみれば明らかなように、変数ξを固定してωyu（ξ，ｙ）をｙで偏微分したものと、変数ｘを固定してｕ（ｘ，ｙ）をｙで偏微分したものが同じになります。すなわち
となります。
これは次のようにして一般的に成り立つことが証明できる。
つまり、一部の変数のみを変換（今の場合ｘ→ξ）するルジャンドル変換では、変換していない変数ｙでｕとωyuを偏微分したとき、固定する変数はｘ→ξに変わっており、関数もｕ→ωyuに変換されているが、ｙに関する偏微分導関数は変わらない事を意味している。
二次元曲面の場合の逆ルジャンドル変換を考える。関数ω（ξ，η）のξとηの偏動関数をつくると
となるので
が言える。
（１）と（４）を比較すると右辺の符号が逆転しているように見えるが、（２）と（３）を比較されると以下の事情が解ります。
この式は、曲面ω＝ω（ξ，η）の点（ξ，η，ω）に於ける接平面がω軸を切る値がｕであることを表している。つまりω＝ω（ξ，η）の“点座標”から、その“接平面座標”であるｕ＝ｕ（ｘ，ｙ）に変換されている。だから、ルジャンドル変換の逆変換もルジャンドル変換となる。
このように“点座標”と“接平面座標”は双対性の関係をなしている。そのためルジャンドル変化は単に1点を他の１点に対応づけるのではなくて、接平面要素（ｘ，ｙ，ｕ，∂ｕ／∂ｘ，∂ｕ／∂ｙ）を別の接平面要素（ξ，ξ，ω,∂ω／∂ξ，∂ω／∂η）に対応させるものと理解することもできる。
［補足説明］
クーラン、ヒルベルトの文献１．では、ルジャンドル変換後の関数をωではなくて－ωで定義しており、ルジャンドル変換を
の様に表している。
このようにすると前述の式は
となるので
となります。この定義の方がルジャンドル変換の双対性をより旨く表せます。
実際、解析力学におけるラグランジアンＬとハミルトニアンＨを相互に変換するときの“ルジャンドル変換”は、この形の定義に従っています。
一方、熱力学における状態量間の“ルジャンドル変換”は、この稿で採用した定義に従っています。第４章で説明するように、こちらの定義の方が幾何学的に解釈するとき便利です。
（ｎ＋１）次元空間内のｎ次元曲面を想像するのは難しいが、考え方は二次元空間内の曲線、三次元空間内の曲面と同じです。
ただし、ルジャンドル変換で新たに導入された量が、物理的に何を意味するのかを理解するのは容易ではありません。それぞれの物理学理論で解読しなければなりません。その解読の中に物理の本質があります。
熱力学に対応した定義です。この場合には
となる。
解析力学に対応した定義です。この場合には
となる。
“ルジャンドル変換”の熱力学への応用とは、第２章で説明した量をそれぞれ
ｕ→Ｕ（内部エネルギー）、
ω→Ｇ（ギブズの自由エネルギー）、ωxｕ→Ｆ（ヘルムホルツの自由エネルギー）、ωyｕ→Ｈ（エンタルピー）、
ｘ→Ｖ（体積）、ξ→-Ｐ（圧力）＝（∂Ｕ／∂Ｖ）S、ｙ→Ｓ（エントロピー）、η→Ｔ（絶対温度）＝（∂Ｕ／∂Ｓ）V
へ置き換えることです。
その当たりは、文献２．の第２章２．１“自由エネルギーの導入” で明快に説明されています。文献２のpdfファイルをダウンロードされてお読みください。その中に描かれている図２．１（次図参照））を本稿２．（２）の図と比較されれば、すべてが了解できます。
以下の説明は文献２．からの引用です。
Ｇは、ギブズ（Josiah Willard Gibbs、1839-1903年）により1873年12月に公刊された第二論文“A Method of Geometrical Representation of the Thermodynamic
Properties of Substances by Means of Surfaces”（物体の熱力学的諸性質の曲面による幾何学的表示）で導入されたので、“ギブズの自由エネルギー”と呼ばれている。論文のタイトルからも判るようにギブズはを幾何学的に導入している。記号“Ｇ”は導入者ギブズの名前（Gibbs）にちなむ。
Ｆは、ヘルムホルツ（Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz、1821-1894年）により導入された（1882年）ので、“ヘルムホルツの自由エネルギー”と呼ばれている。記号“Ｆ”は自由エネルギー（free energy）に由来する。ヘルムホルツの自由エネルギーが導入された1882年は、ギブズの自由エネルギーが導入されてから9年後であり、最も有名なギブズの第三論文“On
the Equilibrium of Heterogeneous Substances”（不均質物質の熱力学について）の第２部が公刊された1878年から数えても4年後である。このことからも平衡系の熱力学についてはギブズが独走していたことが判る。
Ｈには呼称が３つある。“熱関数”、“エンタルピー”、“カマーリング・オネスの自由エネルギー”の３つである。記号“Ｈ”で表すのは熱関数（heat function）の呼称に由来する。エンタルピー（enthalpy）はカマーリング・オネス（Heike Kamerlingh-Onnes、1853-1926年）による造語（1909年）です。
別稿「絶対温度とは何か」８．（２）１．で説明したように、形式的には状態量であるＵに同じく状態量であるｐＶやＴＳを足したり引いたりするのが“ルジャンドル変換”です。ＨはＵにｐＶを足したものであり、ＦはＵからＴＳを引いたものであり、ＧはＦにｐＶを足したものあるいはＨからＴＳを引いたものです。
そのためＵに状態量であるｐＶやＴＳを加えたり、引いたりして新しい熱力学的状態量を導入しようとすると、普通の教科書では、まずＨやＦを導入して、最後にＧを導入する事になります。
しかし、歴史的には、熱力学関数の幾何学的意味を正しく理解したギブズによって、まず“Ｇ”［２．（Ａ）の場合］が一気に導入され、次に“Ｆ”［２．（Ｂ）の場合］が導入され、最後に“Ｈ”［２．（Ｃ）の場合］が導入された。
この当たりの詳しい説明は別稿「熱力学関数（状態方程式曲面）の性質」３．と別稿「ギブズの自由エネルギー（化学ポテンシャル）とは何か」１．（２）３．２．をご覧ください。
解析力学では、普通別稿で説明したクーラン、ヒルベルトの形式の符号の定義を用いています。そのため、３．（２）のクーラン、ヒルベルト形式の定義に於いて、ω→Ｈ（ハミルトニアン）、ｕ→Ｌ（ラクランジアン）の置き換えをして、変数を以下のように取れば良い。
このとき、ルジャンドル変換を表す式
は、ラグランジアンＬからハミルトニアンＨを定義する式そのものです。
［補足説明１］
ｎ個の変数の内の変換されないｍ個の変数ｑ1～ｑmに関する偏微分導関数に対して、２．（２）２（Ｂ）の方法［補足説明］で述べたのと同様な事情が成り立ちます。クーラン、ヒルベルト形式のルジャンドル変換のために符号が変わりますが、以下の関係式が成り立ちます。
証明は同様に行えばよい。
これを用いると、オイラー・ラグランジュ方程式は
となる。
さらに、逆ルジャンドル変換から
が導ける。
これはハミルトニアンＨをｐiで゛偏微分して求めても良い。すなわち
となる。
これらの方程式の組
を、ハミルトンの正準方程式（canonical equation）という。
［補足説明２］
ここの説明だけでは、ラグランジアンＬとラグランジュの運動方程式（オイラー・ラグランジュ方程式）、およびハミルトニアンＨとハミルトンの正準運動方程式が何を意味するのかは解りません。
この事について、最近の本では例えば村上雅人著「なるほど解析力学」海鳴社（2016年刊）などをご覧下さい。解析力学とは何かを理解するには、この本のように簡単な例を沢山当たってみるに限ります。とても解りやすく説明されています。
この本の中に出て来るラグランジュの未定乗数法については別稿で説明していますので合わせてご覧下さい。
［補足説明３］
ランダムハウス英語事典によると“canonical”（adj．）とは
【1】宗規にかなった，宗規によって定められた，教会法上の;司教座聖堂参事会員の．
【2】聖書正典に含まれている:the canonical books (of the Bible) 正経書．
【3】権威ありと認められた，正統の，規範[標準]的な;認可[容認]された:canonical works 正統の作品．
【4】〔数学〕〈方程式･座標などが〉基準の，正規の，正準の．
【5】〔音楽〕canon 形式[技法]の．
【6】〔言語学〕〈言語の形式･パターンが〉(ある言語に)特徴的な，一般的な，基本的な：
the canonical form of the past tense 過去時制の基準形式
a canonical syllable pattern 音節配置の基準パターン．(また canonic)
のこと。
［補足説明４］
村上雅人著「なるほど解析力学」海鳴社（2016年刊）p146～151 補遺2 ルジャンドル変換 を引用。
ルジャンドル変換について、文献１．に明快な説明があります。このページは、そこの記述に依存しています。その内容をできるだけ解りやすく説明することに勤めました。
