本稿は、1924年11月25日に受理され、1925年に Annales de Physiquei に掲載された、Louis de Broglieの学位論文「量子論に関する研究」の紹介です。
以下で引用したのは、1927年に岩波書店から出版された「物理学文献抄 第1輯」に掲載された芝亀吉氏による抄訳です。
ただし、この抄訳はかなり不十分で解りにくい。訳文が解りにくいのも、この論文の内容が極めて革新的なので、芝氏自身も正確に理解できなかっのかも知れません。原論文を参考にしてかなり改変・追記を試みているのですが、私自身良く理解できないところが多々あります。
緒 論
１．位相波
（１）量子論と相対性理論との関係
（２）“位相速度”および“群速度”
（３）時空世界に於ける位相波
２．“Maupertuisの原理”と“Fermatの原理”
（１）“最小作用の原理”の二つの形
（２）波の伝播および“Fermat原理”
（３）量子関係の拡張
３．軌道の安定に関する量子条件
（１）量子条件の新しい解釈
（２）Sommerfeldの準周期的運動に関する量子条件
（３）二帯電体の同時に運動する場合の量子化
４．新しい考えの種々の応用
（１）光の量子
（２）Ｘ線およびγ線の散乱
（３）統計力学
（４）黒体輻射の分布
（５）再び光量子に就いて
５．参考文献
［補足説明１］
ここは何を言っているのか解りにくいので補足します。
ド・ブロイは可秤量物質粒子に対しても相対論から得られる
と、量子論から得られる
が成り立つと考え、両者を等しいと置きます。
そして、このν0 は可秤量物質粒子が内部に持つ振動現象の振動数であるとします。
次に、この粒子が速度 ｖ＝βｃ（β＝ｖ／ｃ＜１） で運動する様に見える座標系から見た時の振動数 ν1 を求めると、相対論では動いている物体の時間はゆっくり進む事をから、
が得られます。
一方、相対論に依ると、動いている物体の質量は増加し、その増加した質量に対応するエネルギー値に対応して可秤量物質粒子が内部に持つ振動現象の振動数を ν とすると
であるから、これらを用いると
が得られる。つまりν1 と ν の間には
の関係が生じる。
すなわち、同じ可秤量物質粒子に随伴する振動現象の振動数として、 ν1 と ν の二つの異なったものが得られてしまう。上記の“難点”とはこの事を言っている。
そして、この“難点”を解決するのが『位相一致の定理』だとド・ブロイは言っているのですが、ここも解りにくい所なので補足します。
まず、ド・ブロイの言う可秤量物質粒子に随伴する波動（“随伴波”）は、可秤量物質粒子が静止している周りの空間に於いて場所によらずすべて同一の位相で振動（振動数ν0で）している。つまり可秤量物質粒子が静止している座標系（Ｋ0系とする）に於いて
で表される様な振動をするとしている。
ところが、同一の可秤量物質粒子が速度ｖで動いている様に見える座標系（Ｋ系とする）から見ると、前記の可秤量物体粒子は速度 ｖ で移動している事になるため、Ｋ系での時間 ｔ 及び位置 ｘ はＫ0系での時間 ｔ0 とローレンツ変換
で結び付けられることになり、Ｋ系での“随伴波”は
で表されることになる。これはまさにｘ軸の正方向に対して伝播速度（位相速度）
で伝播進行する波となる。このことは、後の１．（3）節でミンコウスキー図の上でも説明されますので、そこも参照して下さい。
このとき
つまり、先ほど求めたνで振動する波となります。
またこの進行波の速度ｖで移動する可秤量物質粒子の位置に於ける位相は、上の進行随伴波を表す式の ｘ に ｘ＝ｖｔ を代入した
の式で決定さることになります。
つまり“Ｋ系から見た随伴波（速度Ｖで移動する進行波）のちょうど可秤量物質粒子の位置に於ける“随伴波”の振動の振動数は先ほど求めたν1となる”のです。
これがド・ブロイの言う『位相一致の定理』の意味です。その様に“随伴波”の振動数なる量を解釈すれば先に述べた“難点”は完璧に解決されたことになる。
以上の説明と同じことなのですが、別稿「アインシュタインの特殊相対性理論（1905年）」3．（2）2．［補足説明7］でも解説しています比較してみて下さい。
あるいはド・ブロイの1930年刊の教科書「波動力学研究序説」3．（1）～（2）も参照して下さい。
［補足説明２］
ここは何を言っているのか解りにくいので補足します。
まず、ド・ブロイは可秤量物質粒子にはある種の波が随伴しているとしている。そのとき、可秤量物質粒子が《静止している場合》には、その随伴波は可秤量物質粒子のまわりの空間全体で同じ位相の振動数ν0で振動している波動であるとしています。つまり可秤量物質粒子は振動数ν0で振動する振動体だと見なすわけです。
所が、可秤量物質粒子が《速度ｖで運動している場合》は、その可秤量物質粒子に随伴する波はあたかも可秤量物質粒子から振動数ν1の進行波として吐き出されるように見える波になると言うことです。つまり可秤量物質粒子が随伴波の波源となるのですが、可秤量物質粒子が振動数ν1で振動する振動体としての波源になると言うことです。実際には、波源になるという言い方は正確ではなくて、付随しているだけです。可秤量物質粒子の位置に於ける随伴波の位相が、可秤量物質粒子を振動体波源と考えたときとちょうど一致した位相になると言うことです。ド・ブロイの言う『位相の一致の定理』はその事を言っています。
その振動数ν1は、静止していたときの可秤量物質粒子の固有振動数(静止していた時の随伴波の振動数)であるν0に対して、相対論的時間の遅れを正しく反映した少しゆっくりとした振動ν1になると言うことです。
そのとき、少しゆっくりと振動子ながら随伴波を吐き出している可秤量物質粒子は速度ｖで動いています。つまり随伴波を吐き出す波源である可秤量物質粒子が速度ｖで動きながら振動数ν1で振動して随伴波を吐き出している。
そのため可秤量物質粒子が吐き出す進行波を静止座標系(可秤量物質粒子が速度ｖで動いている様に見える座標）の一点に静止している観測者からみると、可秤量物質粒子の吐き出す進行波（つまり随伴波）はあたかも振動数νで振動する波長λの進行波として観測されます。
すなわち、 ν1＜ν0＜ν の関係となりますが、これが［補足説明1］の中に出てきた三つの振動数の間の関係です。
ここの所は、1．（3）［補足説明１］と［補足説明２］で説明されている“ミンコフスキーの時空図”の上で確認されると良く解ると思います。
［補足説明１］
原論文に書かれている数式表現を用いて、上記（3）式の導出を補足すると以下の様になります。
伝播の位相速度が僅か異なる二つの随伴波を重ね合わせたとき、合成波の伝わる様子は
で表される。上式の波群がどの様に伝播するのかを理解するには別稿「慣性重力波とロスビー波、そして赤道波」５．（４）３．のアニメーション図をご覧下さい。
ここで（２）の部分の位相が一定である条件から、一次の直線の方程式
が得られるが、その直線の傾きが合成波の群速度を表している。
ここの説明が良く理解できない方は、別稿「群速度と位相速度」などを参照して下さい。
［補足説明２］
先の［補足説明１］で“群速度”Ｕ が
となることを証明したが、この表現はもっと一般的な議論から得られる形もあります。
事実、波群を作るために重ね合わせる波の形を元の形にもどしたとき下記の様になりますが
この波の表現に於いて、 ω と ｋ が僅かに異なる波を重ね合わせて波群を作ります。
そのとき、波群の“群速度”Ｕ は
で表すこともできます。このことは、例えば別稿「群速度と位相速度」２．やその中のSommerfeldの解説部分で証明されていますのでご確認下さい。
そのため上記で示した “群速度” Ｕ が “可秤量物質粒子” の “移動速度” ｖ に一致することの証明は、この形からも示すことができます。それを以下で確認しておきます
［補足説明１］
ド・ブロイは、本節で 【（1）節で述べた事柄】 と 【特殊相対性理論に於けるミンコフスキー4次元時空図】 との関係を説明しています。
本節の内容を理解するためには、例えばBorn著「アインシュタインの相対性理論」第Ⅵ章§2．～3．などをあらかじめ復習されることを勧めます。
そこの図を復習すると
となるのだが、ここでは時刻 ｔ＝ｔ’＝0 に原点を出発した“可秤量物質粒子”は静止系のｘ軸の正方向に速度ｖで移動している。すなわち運動系座標の原点に付着したまま静止系上を移動している。
そのため上図の関係は下図の様になる。
今の場合、“可秤量物質粒子”であるＰ点は上図の ｃｔ’軸 に沿って移動することになる。ｃｔ’軸上の緑色の点が、随伴波の一振動周期Ｔ0（図の上ではＴ0＝ＡＢ／ｃとなる）ごとの可秤量物質粒子の世界点の移動を表している。
上図の緑色の直線は、“可秤量物質粒子”に付随する物質波の空間分布と移動の状況を示している。各緑色直線は同一の振動位相状況を示しており、“可秤量物質粒子”が静止して見える系に於いては、その“可秤量物質粒子”のまわりの空間すべてにその物質波は存在して同位相で振動している事になる。
所が、その可秤量物質粒子が速度ｖで移動している様に見える系（今のは“静止系”と呼んでいる。）から見ると、その随伴波はｘ軸の正方向に “位相速度”Ｖ＝ｃ2／ｖ で移動して行く“進行波”となる。
実際、“静止系”から見ると、その随伴波の“波長”λは上図のＢＢ’の長さに相当する。
そして、“静止系”の定まった点で、その進行波を観測すると、その波の位相は上図のＢ’Ｂ”の長さを ｃ で割った周期（＝Ｔ1とする）で振動していることが観測される。この周期Ｔ1はもちろんＡＤの長さを ｃ で割ったものに一致します。実際のところ次で引用している本文中の関係式
は、上記の“Lorentz逆変換式”をＯＡ間の変化に適応して以下の置き換えで得られるものですから。
次に、“静止系”から見ると、“可秤量物質粒子”に随伴する進行性の随伴波は、【上図のＢ’Ｂ”の長さをｃで割った周期（＝Ｔ1とする）に相当する時間】 で 【距離ＢＢ’の長さ】 だけ伝播・進行しますので、随伴進行波の“位相速度”は以下の様にして求まります。
まず直角三角形ＢＢ’Ｂ”を考えます。直線ＢＢ”はｘ’軸に平行で、ＢＢ’はｘ軸に平行、Ｂ’Ｂ”はｃｔ軸に平行だから、“ミンコフスキー時空図”の性質から ＢＢ’：Ｂ’Ｂ”＝ ｃ ： ｖ の関係があります。そのため
となります。つまり
の関係があることになります。
［補足説明２］
第一図の中の
が移動速度ｖで移動している可秤量物質粒子のに随伴する波の、可秤量物質粒子の位置に於ける（静止系観測者が見る）振動周期
となる事に注意されたし。
これは、相対論的に見て運動物体の時間がゆっくり進む様にみえて、可秤量物体粒子に随伴する随伴波の振動数が少し小さくなる事に対応しており、これが 【（１）で説明した『位相一致の定理』のミンコフスキー図上での説明】 に相当します。
［補足説明１］
ここは、専門家を対象とした説明なので、素人にはとても難解な所です。大幅な補足説明が必要です。ここはド・ブロイの1930年の著書「波動力学研究序説」１．を平行して参照しながらお読み下さい。
［補足説明２］
以下は、「波動力学研究序説」１．（1）～（2）を参照。
［補足説明３］
次の文節は、省略が多い抄訳なので、「波動力学研究序説」１．（４）“Hamiltonの原理”の他形である“Maupertuisの原理”を参照されたし。途中で用いられている“オイラーの公式”もそこで説明されています。
［補足説明４］
本節の以下の部分では、一般相対性理論のリーマン空間の議論で必要になる、共変・反変座標および、共変あるいは反変表示の4次元量の説明をしています。4元量での説明を導入しているのは２．（３）の説明に必要だからなのですが、私どもにとっては極めて難解です。
［補足説明４］
以下は、例えば「ミンコフスキーの４次元世界」４．（１）２．などを参照。
［補足説明５］
以下は、例えば「ミンコフスキーの４次元世界」４．（２）などを参照。
［補足説明４］
本節の以下の部分では、“最小作用の原理” を “リーマン空間の4次元世界” で説明しています。
4次元世界で論じると、この文節の最後で説明している様に “Hamiltonの原理” と “Maupertuisの原理” の等価性を簡単に示す事ができます。
［補足説明1］
ここは、ド・ブロイの理論の中心をなす部分です。
要するに、２．（３）［補足説明１］で説明する
の関係式を導く元になる
の対応関係を説明している部分です。
しかし、本節の抄訳は大幅に省略・縮小されているので、この抄訳から理解するのは難しいです。別稿で引用している Louis de Broglie著「波動力学研究序説」（1930年刊） などを参照して補われて下さい。
［補足説明1］
ここも、ド・ブロイの理論の中心をなす部分です。
要するに、1．（1）［補足説明１］で説明した可秤量物質粒子に対しても、
相対論から得られるエネルギー表現
と、波動である光子の量子論から得られる
が可秤量物質粒子に対しても成り立つとして
両者を等値して
なる関係を導いたことを、前節で説明した。このことを
の対応関係によって理論付けている所です。上記の等値関係の中にド・ブロイ理論の最大の飛躍があるのですから、その根拠を説明している本節はこの論文の中心をなす部分と言って良い。しかし極めて難解な部分です。
ド・ブロイは、 ｍ0ｃ2 と ｈν0 が“相対性理論に於ける4元量の第4成分”である事から、この等値関係が成り立つのなら、これらの量の第1～第3成分の量に関しても等値の関係が成り立つべきであるとして話を進めている。この第1～第3成分の等値関係こそ“運動量”と“振動数”（波長）の関係を対応付ける。
ド・ブロイは、ここで4元的な量を全面に出して説明しているので、その論理展開は極めて難解です。ここも別稿で引用している Louis de Broglie著「波動力学研究序説」（1930年刊） などを参照して補なう必要があるのでしょう。
［補足説明1］
この段階では、“可秤量物質粒子”に付属する随伴波の位相速度Ｖが、“可秤量物質粒子”が移動する場所の場(静電場や電磁場)に応じて変化するという話です。それは丁度幾何光学に於ける光線が媒質の屈折率分布の変化に応じて屈曲することと対応するわけです。
そのとき、この議論の中に出てくる
の関係式は、随伴波の波長λがＶ／νである事を鑑みると
となるので、この中に有名なド・ブロイの“物質波の仮説”がすでに含まれている事になります。このことは本学位論文の最後で提示されます。
［補足説明1］
ちなみに“Bohrの量子条件”
につきましては、別稿「ボーアの水素原子モデル(1913年)」を復習して下さい。
ここの説明が超有名な“Bohrの量子条件”に対するド・ブロイの“位相波の共鳴条件”による説明です。
ここは ν／Ｖ＝1/λ：“位相波の波長”の逆数 であることと、ωＲ＝ｖ：“可秤量物質粒子(具体的には原子中の円形軌道上の電子）の移動速度”であることに注意されれば特に難しい所はないのですが、最も独創的な所は、共鳴条件を決定するλに関係するのは随伴波の位相速度Ｖなのに、実際の量子条件に関係する速度は、Ｖではなく群速度ｖ（電子の実際の移動速度）に入れ替わる所です。ここに、ド・ブロイの共鳴条件の真骨頂があります。
つまり
の関係にあります。
［補足説明２］
本節の内容は解りにくいので、この学位論文の前に書いた３つの論文の中の第一論文の説明を引用・紹介しておきます。ド・ブロイは第一論文の中で以下の様に説明しています（第一論文の簡単な紹介が文献1．pdfファイルの2．（1）“1923年のde Broglie理論”にありますので参照されて下さい）。
まず、水素原子の内部として、原子核の周りを回る電子を想像します。その中の閉じた円形軌道を光速度に近い速度で旋回運動する電子とそれに付随する随伴波を考えます。
時刻ｔ＝0で、電子は移動速度 ｖ＝βｃ （ β＜１ つまり ｖ＜ｃ ） で、電子に伴う随伴波は位相速度 Ｖ＝ｃ／β＝ｃ2／ｖ （ Ｖ＞ｃ ） で円軌道を回り始めるとします。
このとき“随伴波の伝播速度” Ｖ の方が“電子の移動速度” ｖ より大きいのですから随伴波は電子よりも先に進んでいきます。その様に電子よりも先に進んでいく随伴波が円軌道を1周した後に、遅れて進んでいる電子に追いつくまでの時間を
τ とします。その時ｔ＝0～τの間に円軌道上で電子が進んだ距離は ｖ・τ＝βｃ・τ です。
その時、同じ時間 τ で随伴波が円軌道上を進む距離は 《円軌道の1周の距離》＋《上記のτ時間に電子が進んだ距離》 です。その距離は《随伴波が速度 Ｖ＝ｃ／β でもって時間 τ に進んだ距離》に他なりません。そのため以下の関係式が成り立ちます。式中の Ｔ は電子が円軌道を1周する時間すなわち“電子の回転周期”です。
ところで、電子には常に随伴波が付属しており、その随伴波の電子の位置に於ける位相は振動数ν1で進むのでした。このことは1．（1）［補足説明1］の『位相一致の定理』や、1．（3）［補足説明2］で説明した事ですからそこを復習して下さい。
そのため、位相波が時間τだけ経過して電子に追いついたとき、電子の位置で付随している位相波の位相は以下の様になります。すなわち
を得る。
ここでド・ブロイは、“随伴波が電子に追いついたとき、その追いついた瞬間の随伴波の位相と、その時点での電子の位置における随伴波の位相が一致していることが、電子に随伴する位相波が円形軌道上で共鳴している条件である”とした。このとき電子に付随する随伴波は電子から前方へ送り出され続けている事に注意して下さい。そのため、上記の共鳴条件が成り立って初めて随伴波は安定に存在し続ける事ができます。つまり、その時の電子軌道は安定な軌道となる。
この条件は取りもなおさず下記の条件と同じです。すなわち
となります。これは“Bohrの量子条件”そのものです。
また、上記の条件は本文中で述べられている電子の定常状態に対する“Einsteinの量子条件”と同じである事は直ちに確認できます。そのことは第一論文でも注記されている。
となりますが、これは上で求めたド・ブロイの量子条件に他なりません。
ド・ブロイの最初の着想は以上の様なものですが、これは結局のところ、本文中での説明、あるいは別稿「ボーアの水素原子モデル(1913年)」5．（1）での説明と同じになります。
ここは原論文の第４章の内容の要約です。
［補足説明1］
本節は何が言いたいのか良く解らない。おそらく、水素原子の様な二体問題と見なせる電子軌道の安定性は、「古典力学に於ける二体問題」に量子条件を適用すれば同様に議論できると言っているのだろうが、ド・ブロイの説明するメカニズムの本質が何なのか理解できません。
実際、上記の様に説明される重心座標に於ける電子や原子核の動く円軌道とそれぞれの可秤量物質粒子に付属する位相波の軌道との関係について、納得できる根拠などは有りはしないのですから。
だから、本節の内容はド・ブロイの論文中で、考慮・考察に値する所ではないと思います。
訳者は以下に於いて、原論文の第５章～第７章と追記を、一つの章の中の５つの節として、簡略に紹介しています。
［補足説明1］
本節のここまでの内容も、この論文中で考慮・考察に値する所ではないと思います。
多くの実験・観測結果からわかっているように光速度はあらゆる座標系で測定して一定不変です。だから光子が静止した状況に於ける光子の静止質量という議論はまったく意味をなしません。
光子は、光速度ｃで進む時、その光子のエネルギーhνから ｈν＝ｍｃ2 → ｍ＝ｈν／ｃ2 によって計算される質量ｍを持つだけです。
