を書きました。
上記の完全な非線形場の方程式の左辺は、計量テンソルgμνとその1次および2次導関数から構築されたリッチテンソルRμνです。
本稿は、Galina Weinstein 著「Einstein 's Discovery of Gravitational Waves 1916-1918」(2012/2/16)の日本語訳です。Google翻訳を利用させて頂いたのでぎこちない文章になりました。意味が解りにくい所は原文でご確認下さい。文中に挿入した節の題目は当方が適当に追記したものです。
彼の1916年の画期的な一般相対性理論の論文で、Einstein は制限的な座標条件を課していました。彼の場の方程式はシステム√-ｇ＝1 に対して有効でした。その後、Einstein
は重力波に関する論文を発表しました。
この論文で提示された解は、上記の制限条件を満たしていませんでした。Einstein は、彼の重力波の論文で、重力場は光速で伝播すると結論付けました。解は、ミンコフスキーフラットメトリックに加えて、フラットな時空を伝搬する小さな外乱です。Einstein
は、電気力学の遅延ポテンシャルと同様の方法で、ミンコフスキー計量からの小さな偏差を計算しました。
しかし、上記の導出を得るために、Einstein は数学的誤りを犯しました。このエラーにより、彼は、縦波、横波、および新しいタイプの波という、近似場の方程式と互換性のある3つの異なるタイプの波を取得しました。Einstein
は補遺を追加し、システム√-ｇ＝1 では、3番目のタイプの波のみが発生し、これらの波がエネルギーを輸送することを提案しました。彼は自分のシステム√-ｇ＝1
に夢中になりました。
Einstein の同僚（Nordstro¨m）は、座標系√-ｇ＝1 では、質量点の重力波はエネルギーを運ばないことを示しましたが、Einstein
は彼の重力波の論文で実際には間違いを犯していないことを説得しようとしました。しかし、Einstein は最終的に同僚の結果を受け入れ、拘束性条件√-ｇ＝1
を落としました。これにより、最終的に彼は平面横方向重力波を発見しました。
すでに1913年、ウィーンで開催されたドイツの自然科学者と物理学者の第85回会議で、Einstein は一般相対性理論の草案理論（1913年のGrossmanとの共著論文）に取り組んだときに重力波について考え始めました。
Einstein の1913年のウィーン講演後の議論で、マックス・ボルンはEinstein に重力の伝播速度について、その速度が光速の速度になるかどうかを尋ねました。
Einstein は、場の外乱が非常に小さい場合の方程式を書き留めるのは非常に簡単であると答えました。その場合、計量テンソル成分は外乱のない計量とはごくわずか異なり、外乱は光速とともに伝播します。Einstein
はまた、これは数学的に複雑な問題であるとボルンに語った。一般に、非線形である場の方程式の解を見つけるのは難しいからである。
参考文献2． Einstein , Albert (1913), "Zum gegenwa¨rtigen Stande des Gravitationsproblems."
Physikalische Zeitschrift 14, 1249-1262.discussion 1262-1266（この中にBornとの議論がある ）
1916年、Einstein はこれらの手順に従い、重力波を研究しました。
彼の1916年3月のレビュー論文「一般相対性理論の基礎」で、Einstein は拘束性座標条件√−ｇ＝1を課しており、彼の場の方程式の座標系は√−ｇ＝1を満足するものです。
1916年6月、Einstein はプロイセン科学アカデミーに重力波に関する論文を発表しました。この論文は後に「重力の場の方程式の近似積分」というタイトルで公開されました。
この論文では、彼は弱重力場線形化近似を検討しました。この論文で提示された解は、座標条件√−ｇ＝1を満たしていませんでした。Willem de Sitter は、弱い場の線形化された近似で場を計算するために、この座標条件を使用しないことが好ましいとEinstein
に通知しました。実際、de Sitter は、座標条件√−ｇ＝1が放棄された場合、Einstein の1916年の重力場方程式が物体から発せられる場について解けることを発見しました。
光速に比べて速度が小さいシステムを扱い、重力場が無限に弱いと仮定して、Einstein は電磁気学の場の方程式に似ているため、場の方程式の線形近似バージョンを解きました。
重力相互作用は瞬時には伝達されません。加速された電荷が電磁波を放出する電気力学と同様に、Einstein は、重力場は光速で伝播し、平面重力波はミンコフスキー平面時空間で光速cで移動すると結論付けました（Einstein
1916b、685）。
したがって、Einstein は最初に一般相対性理論の完全な非線形場方程式
を書きました。
上記の完全な非線形場の方程式の左辺は、計量テンソルgμνとその1次および2次導関数から構築されたリッチテンソルRμνです。
解gμν は、ミンコフスキーフラットメトリックとフラット時空を伝搬する小さな外乱の和
です。
δμν はミンコフスキーフラットメトリックです。そのため、μ＝νならδμν＝1、μ≠νならδμν＝0となります。
したがって、フラットミンコフスキーメトリックは、特殊相対論的システム
によって表されます。そしてγμνはフラットメトリックからのわずかな偏差です。
Einstein に、メトリック gμν ＝δμν ＋γμνを利用することを手紙で助言したのはde Sitter です。Einstein はそれを了承します。そして彼の1916の重力波論文で与えられた単純な近似解に彼を導いたのはde Sitter の助言のおかげと言っている。（Einstein 1916b、692）
Einstein は、γμν の代わりに
の関係であたえられるγ’μνを導入しました。
もしγμν がどこでも 1 に比べて非常に小さい場合、上記の完全な非線形場の方程式で、γμν とその導関数の高次の累乗を無視することにより、場の方程式の1次近似解を取得します。
完全な非線形場の方程式に調和座標条件
を課すことにより、線形化された重力場方程式
が導かれます。（Einstein 1916b、690）
新しい調和座標系では、Einstein は電気力学の遅延ポテンシャルと同様の方法でγ’μν を計算しました（つまり、γ’μν は遅延ポテンシャルの助けを借りて直接導けます）：
ここで、右の式は、放出時に遅延時間（t− r / c）で、時間t のポイントに到達するときに取得する必要があり、r は波源までの距離です。
式：
は、Einstein の線形化された重力場方程式の波動方程式
を表します。
Einstein は重力場のエネルギー成分を必要としていました。したがって、彼は線形化された場の方程式に ∂γ’μν ／∂ｘσ を掛け、μとνについて和をとり、物質の総エネルギー運動量の保存則
を取得しました。
ここで重力場のエネルギー成分tμνは
です。（Einstein 1916b、690から691）
次に、彼は、座標系の原点にある質量Mの質量点の重力場を計算しました。
しかし、Einstein は上記の導出過程で、数学的誤りを犯しました。彼の1918年の論文「On Gravitational Waves」で、彼はエラーの性質を説明しています。（Einstein 1918、157）
彼は場の方程式に ∂γμν ／∂ｘσ ではなく ∂γ’μν ／∂ｘσ を掛けました。つまり、彼は γμν の代わりに γ’μν を使用しました。
この誤りにより、Einstein は次の結論に到達しました。彼は、彼の近似場方程式と互換性のある 3 つの異なるタイプの重力波を得たのです。縦波と横波、および新しいタイプの波です。
Einstein は、重力場tμν のエネルギー成分を使用して、縦波と横波によって輸送されるエネルギーを計算しました。しかし、彼は、縦波と横波がエネルギーを輸送しないのに対し、3番目のタイプの重力波だけがエネルギーを輸送することを発見しました。Einstein は、エネルギーを輸送しない波につながったように見える de Sitter が提案した座標基準との関係に悩まされていました！ （Einstein 1916b、693）
プロイセン科学アカデミーに提出された1916年の重力波に関する論文に、Einstein は補遺を追加し、その後それを出版しました。補遺の応答で、Einstein はユニモジュラ座標（座標条件√−ｇ＝1）に戻り、この座標条件を課すと、エネルギーを運ぶ3番目のタイプの波だけが存在する（したがって実際の）が、他の2つのタイプは排除された（したがって架空のもの）。したがって、彼は√−ｇ＝1が成り立つと仮定しました。つまり、座標条件√−ｇ＝1は自然であるとしたのです。
Einstein は、この座標条件の非常に興味深い物理的正当性さえ見つけました。補遺を公開する前に、Einstein は de Sitter に、なぜ彼が座標条件√−ｇ＝1に戻ることにしたのかを説明しました。Einstein は2つの座標系を導入しました。それに関して√−ｇ＝1 がどこでも成り立つ座標系K（Einstein の補遺に示されているシステム）。そして、K’で表される de Sitter のシステム（これは、重力波に関するEinstein の1916年の論文で提示されたシステムでした）。
Einstein はさらに、平面重力波を探していました。de Sitter のシステムK’で、彼は3つのタイプの重力波（縦波、横波、および追加のタイプ）を見つけましたが、そのうちの1つだけが（3番目のタイプ）はエネルギー輸送に関連していました。対照的に、Einstein のシステムKには、このエネルギーを運ぶ3番目のタイプだけが存在していました。
Einstein は、これは、システムK’で得られた最初の2種類の波、縦波と横波が実際には存在しない、しかし、ガリレオ空間に関する座標系（√−ｇ＝1の座標系の元で）の波状の動きによってシミュレートされたものであることを意味すると説明しました。
したがって、Einstein は、ユニモジュラ座標は、エネルギーのない波、したがって実際には存在しない波を見つけるシステムを除外すると結論付けました。
その後、Einstein はこの説明を彼の1916年の重力波論文の補遺として追加しました。彼は、エネルギーを輸送しない重力波が存在する可能性があるという奇妙な結果を明らかにする簡単な方法があると説明しました。つまり、それらは実際の重力波ではなく、参照システム（つまりde Sitter のシステムK’）の振動を反映する架空の波であるということです。
もし、それらが派生した場所の最初から√−ｇ＝1の座標系を選択した場合、この選択では、エネルギーを輸送する3番目のタイプの波のみが存在します。
座標条件√−ｇ＝1は、エネルギーを輸送しない重力波を排除するため、これらのタイプの波は、この座標の選択によって排除されます。この意味で、それらは「本物の」波ではありません。
Einstein は、一次近似の計算のために座標の選択を制限することは好ましくないとしても、彼の結果は、制限の下での座標の選択が、√−ｇ＝1である座標系に物理的に正当化されることを示したと結論付けました。 （Einstein 1916b、696）。
de Sitter は、Einstein が「本物」と「見かけ」という言葉を使用することに反対しました。これに対してEinstein は、「本物の」とは、他の方法では変換できないプロセスを意味すると答えました。Einstein は、この用語を使用せず、彼の座標系√−ｇ＝1は単純または好ましいと言うことに同意しました。この選択では、3番目のタイプの波のみが発生するためです（エネルギーを輸送する波にのみ遭遇します）。Einstein は古典的な用語を避けましたが、de Sitter が反対した彼の座標系√−ｇ＝1に執着し続けました。
次に、de Sitter は、座標条件√−ｇ＝1が放棄された場合、1次近似の彼の場の方程式を解くことができると Einstein に提案しました。Einstein はこの提案に従ったのですが、再び奇妙な結果を得て、それが彼をこの座標条件（条件√−ｇ＝1）に戻しました。
Einstein は、1916年の論文で犯した数学的エラー（γμμの代わりにγ’μμ を使用）にまだ気づいていませんでしたが、座標条件√−ｇ＝1と1916年に彼が見つけた3番目のタイプの重力波に巻き込まれていました（Weinstein 2015、249-251）。
Einstein の1916年6月の重力波論文では、重力場は質量点からエネルギーを運びます。
Einstein は1915年11月の論文で、√−ｇ＝1と仮定し、重力場のエネルギー成分の式 ｔνσ を導き出しました。
彼の1916年6月の重力波論文では、Einstein は座標条件√−ｇ＝1を想定せず、重力場のエネルギー成分の式 tμν を導き出しました。これにより、Einstein は3番目のタイプの重力波のみがエネルギーを運ぶことができると結論付けることができました。（Einstein
1916b、692-693）
1917年9月、Nordstro¨m は重力場中の質量点でのエネルギーを計算しました。
ただし、Nordstro¨m は、Einstein の1916年3月の一般相対性理論のレビュー論文（Einstein 1916a、806）の重力場のエネルギーの成分
を使用しました。
Einstein は、
を満足するすべての座標系に適用される理論で上記の方程式（場のエネルギーｔασの表現式）を導き出していたのです。
Nordstro¨m は、座標系√−ｇ＝1の質量点の重力場の上記のエネルギー ｔνσ の44成分が消えてｔ44＝0 となることを発見しました。
したがって、座標系√−ｇ＝1では、重力場と質量点の重力波はエネルギーを運ばず、これは、1916年の重力波論文の補遺におけるEinstein の結論と一致しないと言うことをEinstein に知らせた。
Einstein は、1916年の論文で実際には間違いを犯していないことを Nordstro¨m に説得しようとしましたが、1917年10月、Nordstro¨m は再び Einstein にｔ44が消えることを示しました。Nordstro¨m は、1916年3月のレビュー論文からEinstein の公式に基づいて行った計算で再びｔ44＝0 が得られたため、重力波論文から Einstein の1916年の ｔνσ の表現を確認できなかったと率直に伝えました。
Nordstro¨m は Einstein に告白し、彼が単に主要な計算を包括的かつ残念ながら繰り返しただけであったことを認め、再び同じ結果を得たのであって、それ以外の結果は得られず、どこで矛盾が生じたのかわからないと伝えた。そして彼らは両方とも問題がおそらくユニモジュラ座標（座標系√−ｇ＝1のこと）にある可能性があることを認めあった。
そんなとき、1918年、Erwin Schrodinger が、座標系√−ｇ＝1を選択すると、重力場のすべてのエネルギー成分 ｔνσ が消失することを実証しました。
結局、Einstein は最終的に Nordstro¨m と Schrodinger の結果を受け入れて、1916年の重力波論文に計算エラーが含まれていたことを認め、1918年に彼は修正されたアップバージョン論文をプロイセンアカデミーへ提出します。Einstein の1918年の重力波に関する論文で、エネルギーを輸送しない重力波を排除するために、座標系√−ｇ＝1が特権的であるという結果を落としました。（Weinstein 2015、253-256）。
彼は de Sitter の1916年の解決策を再現し、Nordstro¨m が彼に送った手紙と Schrodinger の結果に言及しました。Einstein は、Nordstro¨m が座標系√−ｇ＝1を選択すると、重力場のすべてのエネルギー成分が ｔνσ を使用して2次まで計算すると消滅することをすでに指摘していると説明しました。したがって、Einstein はユニモジュール座標を放棄し、その結果、3つではなく2つのタイプの波を取得し、それによって1916年6月の重力波論文のすべての問題を解決しました。（Einstein 1918、161）
電気力学および一般に物理学では、波は確かに2つのタイプがあり、運動の方向に沿って（縦波）または横方向に（横波）運動を生成します。しかし、Einstein は、電磁波と同様に、重力波は横波であり、縦波は数学的幻想であり、定式化の複雑さを構成し、取り除くように変換でき、エネルギーを運ぶことができないことを発見しました。
エネルギーを輸送しない重力波が座標√−ｇ＝1の選択によって排除されない場合、それらはどのように排除されるのだろう？
Einstein は、エネルギーを輸送しない重力波が、フィールドフリーシステム（フラットミンコフスキーメトリック）からの座標変換によって生成されることを示しました。したがって、それらの存在は再び現れたものにすぎません。これらの解はまだ架空のものであり、実際の解はエネルギーを運ぶ波だけです。Einstein
は、x方向に沿って進行するこれらの波の方程式を書きました。（Einstein 1918、161）
Einstein は1918年の重力波の論文で、二体力学システムからの重力波の放出によるエネルギー損失の割合を説明する四重極公式を作成しました。
Einstein は1916年の論文を修正しているときに、重力波を放出する源がこれらの波によって運び去られるエネルギーをゆっくりと失うことを発見しました。
電磁気学では、波は双極子源から放出されますが、一般相対性理論では、運動量保存則によって、重力と同様に双極子源が禁止されているため、重力波は双極子ではなく四重極によって放出されます。（Einstein 1918、 164）
Einstein の四重極公式は次の形
になります。
（式の右辺の）Ｉ は四重極モーメントテンソルを表し、その成分は重力波を放射するバイナリシステムの慣性モーメントの成分です。4πｒ2ｔr4は重力波によるエネルギー損失率であり、ｔr4（半径/半径成分に沿って）は重力場のエネルギー成分です。バイナリシステムは、離れた2つの物体で構成されます。
軌道は楕円形で、平面上にあります。バイナリシステムは、放射線を放出することによってエネルギーを失い、軌道角周波数ωが増加し、2つの物体間の距離が減少します。
Eddington は、彼の1922年の論文「重力波の伝搬」で、Einstein の1918年の四重極公式を再導出し、次の結果
を得ました。
Eddington は、彼と Einstein の2つの公式の間に矛盾があると結論付け、それはどちらかの探求過程における数値の違いよるものであると説明しました。
数値のずれは、Einstein の1918年の探求で、わずかな計算ミスのために誤って係数1/2を導入したことが判明した。（Eddington 1922、279）
