占部実、光藤富士男編「代数・幾何教科書」共立出版社（1964年刊）の第4章、第5章からの引用です。ただし、解りやすくする為にかなり改変しています。これに続く第6章は別稿「座標変換と２次形式」で引用していますので適宜ご覧下さい。
１．行列式
（1）行列式の導入
1．二元連立１次方程式
２．三元連立１次方程式
３．行列式と面積
４．行列式と体積
５．練習
（２）ｎ次の行列式
１．偶順列と奇順列 定理1 定理2 定理2’ 定理2”
２．行列式の定義
（３）行列式の性質
１．行と列の入れ替えに対して等価 定理3
２．行列式の性質 定理4 定理5 定理6 定理7 定理8
定理4’ 定理5’ 定理6’ 定理7’ 定理8’
３．例
（４）余因数
１．小行列式と余因数
２．余因数と小行列式の関係
３．余因数展開 定理9 定理10
４．例（Vandermondeの行列式）
５．練習
（５）Cramerの公式
１．連立１次方程式 定理11
２．連立１次同次方程式 定理12 定理12’
３．補足
４．Jordanの解法
５．例
６．練習
（６）行列式の積
１．行列式の積 定理13 定理13’
２．連立１次同次方程式 定理14
３．例
４．練習
（７）章末演習問題
２．行列
（１）行列とその演算
１．行列の定義
２．行列の加法と減法
３．行列の定数培
４．行列の乗法 定理1
５．練習
（２）特殊な行列の定義
１．転置行列、対称行列、交代行列
２．対角行列、単位行 （直交行列、ユニタリー行列、エルミート行列）
３．列
４．練習
（３）逆行列
１．行列の除法と逆行列 定理2
２．行列の除法と積の交換可能性 定理3
３．練習
（４）行列の階数と連立１次方程式
１．一般の連立１次方程式
２．行列の階数
３．rankの性質 定理4 定理5
４．例
５．練習
（５）連立１次方程式
１．rankと解の関係 定理6 定理7 定理8
２．連立1次方程式の解
３．例
４．練習
（６）線形写像と行列
１．線形写像
２．線形写像と行列
３．線形写像と連立１次方程式
４．直交変換と直交行列
５．例
６．練習
（７）章末演習問題
３．参考文献
一般的な場合の公式は 1.(5)1.の 定理11 で求める。ここの議論は、そこの公式の特別な場合です。
［補足説明］ （文献4．より）
上記説明の様に、“行列式”の理論はもともと連立1次方程式を解く手法として始まった。その紀元は古く9世紀頃のインドの数学・天文学者ブラーマゲプタの書や、その後の関孝和「解伏題之法（1683年）こちらも参照」やライプニッツの書などにもその萌芽が見られる。そして行列式を一般的に定義し、その性質を論じ始めたのはクラーメル（Cramer）です。
“行列式”を表す“deternimant”という語句はガウスが二次形式の理論において、今日“判別式”(detrminant）といっているものにつけた名称ですが、コーシーが行列式をその様に呼ぶことにして以来今日ではその名称が定着している。
歴史的には“行列式”の理論がはるかに先行しており、“行列”の理論はケーリー（Cayley）の1858年の論文から始まる。
“行列”を表す“matrix”という名称はシルヴェスタ（Sylvester）が付けたもので、彼は invariant、covariant、contravariant、eliminant、なども名付けた。
日本語で“行列”と名付けたのは高木貞治あたりに始まるようです。
ここは、別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」２．（４）［補足説明１］と［補足説明２］を参照されたし。
ここは、別稿「ベクトルの内積と外積の成分表示」２．（５）２．を参照されたし。
定理1
上記の“第２章の証明”とは下記のこと。
ここは、解りにくいので、ｎ＝4の場合を例示すると下記の様になる。
上記の様に、4個の異なるものから作られる順列は全部で4！＝24個あります。
順列の数に付いて、次の定理が成り立つ。
定理2
［補足説明］ （文献3．より）
順列について、以下の 定理 2’ も言える。
さらに、以下の 定理 2” も言える。
上記の ｉｊｋ････ｍ は １～ｎ の整数を一列に並べたものです。
［補足説明］
別稿「ミンコフスキーの4次元世界」３．（５）［例２］で説明する様に、上記のεは、“完全反対称ｎ階相対テンソル”の ｎｎ個の成分 とみなすこともできます。そのときには上記のｎ！の成分以外はすべて 0 と見なすことになる。
その様に見なしたεを“Levi-Civitaのテンソル密度”と呼ぶ。
以下で行列式の基本的な性質を説明する。
定理4
定理4の系
定理5
定理6
定理7
定理7の系
定理8
上記の 定理4～定理8 は、定理3により、列に関しても成り立つ。それを 定理4’～定理8’ とすると
定理4’
定理4’の系
定理5’
定理6’
定理7’
定理7’の系
定理8’
（ 定理4’～定理8’ をまとめたものはこちら ）。
“余因数”を“余因子”と言う場合もある。
［補足説明１］
上記の式変形は解りにくいので例で示すと
の様になる。
［補足説明２］
先ほどの例で余因数を示すと
となる。
このように、Ａ11の場合はたまたまですが、“余因数”と“小行列式”は一致します。
この様にすると、1.(3)2.で説明した行列式の性質 定理6 により、行列式Ｄ は以下と等価となり
となる。
［補足説明1］
余因数 と 小行列式 の関係を
の様になります。
［補足説明２］ （文献3．より）
ここは解りにくいので補足します。以下の説明は、定理9 の別証明と言ってよい。
まず、1.(2)1.［補足説明］の定理2’により以下の事が言えます。
あるいはこれに 1．(3)1.の定理3 を組み合わせて
となる。
これが言えれば、任意のα行β列における要素ａαβに関して以下のことが言える。［拡大版］
これはα行について展開していますが、β列についても同様に展開できます。
1．(4)1.あるいは1.(4)2.［補足説明２］で証明した様に、行列式Ｄは余因数Ａαβを用いて展開できる。
定理9
定理9 の（８）、（９）式はさらに一般化して次の様に表現しても良い。
定理10
この 定理10 は、1.(5)1.の 定理11 の証明に用います。
（３）を、定理8を列に関して適用した後に、余因数展開の方法を用いて解く。
（４）を、1.(2)2.で説明した定義に従った方法で計算する。
上記の方法はとても煩雑なので、余因数展開で求めた方が良い。この行列式の余因数展開は 1.(4)1．［補足説明1］ と 1.(4)2．［補足説明1］ ですでに求めているのでその結果を用いると
となる。
ここで1.(4)3.の定理10を繰り返し用いることにより以下の定理が証明できる。
定理11
これは、1.(1)1.～2.で求めた公式の一般化になっていることに注意されたし。
定理12
この逆が成り立つことは、1.(6)2.の定理14 で証明する。
［補足説明］ （文献3．より）
上記の定理12は以下の定理12’の形で使用される場合が多い。
上記［例５］はこちら
上記1.(3)3.［例１］はこちら
上記次節の証明はこちら
以下の［例5］は、1.(5)2.［補足説明］で説明した定理12’の形についてのものです。
［補足説明］
ここは何が言いたいのか解らないと思います。2．（5）を学ばれた後で振り返られて下さい。
次の 定理13 はとても重要です。また、証明が込み入っていますので、［補足説明1］を参照されながらお読み下さい。
ここの証明手順は重要です。下記で用いる 1.(3)2.の定理4 はこちら、さらに1.(3)3.の［例2］はこちらです。
この 定理13 は, 後で 2.(1)4.の定理１ の証明に用いる。
［補足説明1］
定理13の（証明） は解りにくいので、ｎ＝3 の場合 を例に取って説明します。こちらの統合版の方が見やすいかもしれません。
以上はａｉｊについて展開した証明ですが、ｂｉｊについて展開しても同様に証明できます。
それについては こちらを御覧下さい。
ｎ＝2の場合は、さらに解り易く下記のようになります。（文献3．より）
［補足説明2］ （文献3．より）
上記の 定理13 に類似の, 以下の 定理13’ も成り立つ。
［補足説明3］ （文献3．より）
上記［補足説明2］の定理13’ を用いて 定理13 を証明することもできる。
ここで, 1.(5)2.の定理12 の逆が成り立つことを証明する。
定理14
上記文中の“1次従属”に付いては, 2.(4)2.［補足説明］とそこの［例3］ を参照。
定理14の別証明が, 後ほどでてくる 2.(5)1.の 定理8の系 に在ります。
このように表現できることは、ｎ次元ベクトル空間における1次独立なベクトル ａ・1，ａ・2，・・・，ａ・ｎ と，一次独立な基底ベクトルの組 ｅ１，ｅ2，・・・，ｅｎ を考えて、互いに互いを成分表示できることを考えたら明らか。
定理14の系
［例6］
下記で用いる定理14の系はこちら
注意 （ⅳ）の左辺の行列式をｆ（ｘ），ｇ（ｘ）の“終結式”という。
［補足説明1］ （文献3．より）
［例６］は解りにくいので具体的な例を用いて少し違った角度から説明する。
下記で用いる1.(5)2.の［補足説明］はこちら
次の［例7］は重要です。別稿「余因子行列と逆行列の関係」1．（2）を読まれると下記証明が理解しやすい。
下記証明で用いる1.(4)3.定理10の（10）式はこちら
ここは、2．（3）1．［補足説明2］ を参照されたし。
“行列”とは以下に述べる“演算の定義”とセットになって初めて定義できる量です。
次の 定理１ は重要です。
上記の証明に用いた1．（6）1．定理１3はこちらです。
［補足説明１］
このとき注意して欲しい事は、Ａ又はＢの一方がただの定数の場合、例えばただの数を α あるいは β としたとき
としてはいけないことです。
練習 問8 の様に、ＡやＢが ｎ行正方行列 のときは
が正しい。
なぜなら、行列式の定数倍は、1．（3）2．で説明したように成分表示の一つの行あるいは一つの列に掛かるだけですが、行列の場合は、2．（1）3．で説明したようにすべての成分に掛かるからです。
ここは勘違いしやすいところですので特に注意！して下さい。
転置行列を表す記号“ｔ”を行列の右肩に付ける本も多いので注意されたし。
［補足説明1］
単位行列に関係して定義される特殊行列について補足しておきます。
直交行列に関しては、２．（６）４．でもう少し説明します。
［補足説明2］
さらに, 複素数を成分とする行列もあります。
以下の例は重要です。
例1
上記の性質はＡの列数がｔＡの行数になり、Ｂの行数がtＢの列数になることに注意すれば明らかです。
例2
ここは、別稿「曲面上の幾何学」3．（2）7．も参照されたし。
本節は、別稿「余因子行列と逆行列の関係」の3行3列行列の場合を参照しながら読まれると理解しやすいです。
上記の 2.(1)4.の定理1 はこちら。
以下で用いる １．（５）１．Cramerの公式（10） はこちら
上記の関係において ｘｉｊ と Ａｊｉ は添字 ｉｊ に関して互いに転置の関係になっていることに注意されたし。
他の列についても同様な手順を繰り返すと Ｘ＝（ｘｉｊ） の任意の列が求まる。
以下は、1．（6）3．［例7］ の証明を復習されたし。
上で用いた1．（4）3．定理10の（7）式はこちら。
ここで、Ａの逆行列Ａ-1と元の行列Ａとの積は交換可能である事に注意。以上をまとめると、
定理2
このとき、行列Ｘの（ｉ，ｊ）成分を構成する“余因数”は、ａ（ｉ，ｊ）行列の転置行列の位置（ｊ，ｉ）成分の“余因数”になっていることに注意されたし。
［補足説明１］
例えば、（３×３）行列
の（ｉ，ｊ）成分の“余因数”（余因子）を（ｊ．ｉ）成分［（ｉ，ｊ）成分ではなくその転置の位置］として並べた行列
を行列Ａの“余因数行列”（余因子行列）と言といい
で表す。
行列Ａの（ｉ，ｊ）成分の余因数（余因子）とは行列Ａからｉ行とｊ列の成分を除いた成分からできる小行列式に（－1）ｉ＋ｊを乗じたものです。
だから定理２の（２）式の逆行列Ｘ＝Ａ-1は
と表せます。
このとき、2．（1）4．［補足説明1］で説明した様に、
である事に注意して下さい。
［補足説明２］
ここの 定理2 を用いると 1．（6）3．［例7］ が簡単に証明できる。
このようにできるのは、定理2 を導くとき ［例7］ で用いたテクニックを使っているからです。
［補足説明］
定理2で示した様に、行列Ａとその逆行列Ａ-1の積は交換可能 Ａ-1Ａ＝Ｅ＝ＡＡ-1 です。しかし、上で注意した様に、二つ正方行列ＡとＢの積は一般にＡＢ≠ＢＡであって、交換可能ではありません。
これは行列式の積｜Ａ｜｜Ｂ｜＝｜Ｂ｜｜Ａ｜が常に交換可能であったのと大きく違います。
行列式の積が交換可能なのは行列式の値はその行と列を入れ替えても等しい［1.(3).1.定理3］からです。しかし、その行と列を入れ替えた行列は全く異なった行列ですから、その積に関して交換可能ではないのは当然です。
以下の問14～16は重要です。
［補足説明］ (文献3．より)
以下の議論で必要になるベクトルの“1次従属性”と“1次独立性”、そして“一次結合”について説明します。
最初に列ベクトルについて説明する。ここでは行列を（ ）で囲って表していることに注意されたし。
以下では ｋ＝ｍ の場合を考える。
［例 1］
［例 2］
以下は ｋ＝ｍ≡ｎ の場合
［例 3］
以下は, 別証明
以上は列ベクトルについて説明したが、行ベクトルについても全く同様にして“1次従属性”と“1次独立性”、そして“一次結合”が定義される。
階数(rank) に対して成り立つ性質の説明を続ける。
定理4
一次結合の意味は、前項［補足説明］を参照。下記(ⅶ)はこちら、(ⅵ)はこちら。
下記の 正則行列 に付いては、2.(2)2.［補足説明］を参照。
定理5
定理5の系
次の［例 3］例は重要です。
次の 問18 は重要です。
これは、要するに、ベクトルａとベクトルｂが張る平面内にベクトルｃが存在することを示している。
定理6
上記の 階数の性質(ⅶ) はこちらです。
連立1次方程式（３）が解をもつ場合、その具体的解法に付いて以下の定理が成り立つ。
定理7
定理8
定理８の系
上記の1.(6)2.定理14はこちら
［補足説明］
1(5)2.の定理12、 1.(6)2.の定理14、 2.(5)1.の定理8の系 の関係は錯綜していますが、ある意味 2．(4)2.［補足説明］における“一次従属性”の定義 とそこの ［例2］と［例3］の説明 でつくされています。
上記の 定理7 はこちらです。
この稿は、下記文献１．の4章～5章からの引用です。解りやすくなるようにかなり改変しています。
