ここで、説明されているように、“平均近点離角”ｎｔから“真近点離角”θを計算する問題の解を最初に見つけたのはニュートンのようです。それは出版されることはなかったニートンの手稿の中に見られるようです。
惑星の位置Ｐ（ｒ，θ）を一様な速度で経過する時間ｔに結びつける幾何学的な図形解とその数値的な解法はプリンキピア第Ⅰ篇、第6章命題31で与えられています。この事は３．（１）および（２）で説明します。
歴史的には、惑星軌道が楕円になること（ケプラーの第一法則）、それと同時に発見された面積速度一定の法則（ケプラーの第二法則）、そして最後に発見された公転周期Ｔと楕円長半径ａとの関係を示す法則（ケプラーの第三法則）が重要です。
この三法則の発見にはプトレマイオス→コペルニクス→ケプラーに至る千年以上に渡る悪戦苦闘の歴史があるのですが、それらの苦労の末に発見されたケプラーの三法則に基づいて、ニュートンは最終的な根本法則を発見します。それが、“ニュートンの運動の法則”と“万有引力の法則”です。この事については別項「楕円軌道の発見と万有引力（「プランキピア」の説明）」をご覧下さい。
この大法則の発見は、別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」１．（２）でホイルが主張しているように、現代の素粒子論における法則の発見に勝るともおとらないほど困難なものでした。
この稿は、その根本法則が発見された後の話です。
つまり、根本法則である“運動の法則”と“万有引力の法則”が発見された後の話です。これらの根本法則を用いれば、惑星の軌道が楕円になることや、ケプラーの第二法則（角運動量保存の法則）や、第三法則は見通しよく導けます。実際、多くの力学教科書では、物理学の一大成果として詳しく説明されています。
ところが、不思議なことに、ほとんどの力学教科書で惑星運動の時間変化が議論されていることはありません。惑星の位置Ｐ（ｒ，θ）を時間ｔの関数として表す事は、将来の時刻における惑星の位置を予測することであり、プトレマイオス→コペルニクス→ケプラーが最も苦労したところです。それなのに、何故触れられていないのでしょうか？
その理由は、この問題が極めて難しい数学的な問題だからです。別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」２．（１）２．でホイルが説明している様に、ｒ（ｔ）やθ（ｔ）を時間ｔの関数として表す事は極めて難しく、無限級数の形でしか表せません。
この稿では、そこの所に焦点を当てて説明します。
ここで考察する問題は次の通りです。我々はすでに、惑星が焦点に向かう逆二乗向心力の下で楕円軌道を描くこと［ケプラーの第一法則］を知っている。また、そのとき角運動量保存則（面積速度一定の法則）［ケプラーの第二法則］が成り立つことも知っているとする。
それらの事を知った上で、惑星Ｐがたどる曲線が時間とともにどのように描かれていくのかを調べようというのです。つまり、楕円軌道上の惑星の位置（ｒ，θ）を時間ｔの関数として表すこと、将来の惑星の位置を予測することです。
このとき、（ｒ，θ）をｔの関数として記述することはとても難しいために、普通の力学教科書では説明されていません。Whittakerの教科書には説明されていますが、簡潔な記述なので理解するのは難しい。以下で解りやすく説明します。
E.T.Whittaker著“A Treaties on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies”,Cambridge Uni. Press（1965年刊）p89～91 からの引用です。
ここで、説明されているように、“平均近点離角”ｎｔから“真近点離角”θを計算する問題の解を最初に見つけたのはニュートンのようです。それは出版されることはなかったニートンの手稿の中に見られるようです。
惑星の位置Ｐ（ｒ，θ）を一様な速度で経過する時間ｔに結びつける幾何学的な図形解とその数値的な解法はプリンキピア第Ⅰ篇、第6章命題31で与えられています。この事は３．（１）および（２）で説明します。
以下で上記引用文を補足しながら説明します。
最初に、楕円や補助円上の点Ｐ、Ｑ、Ｑ”の位置を示す近点離角（θ、ｕ、ｎｔ）に対して成り立つ数学的な関係式を説明します。ここでの関係式は、楕円について成り立つ数学（幾何学）的な性質から導かれるものであって、惑星が楕円軌道上で示す時間的変化を記述する物理学とはまだ関係していません。
太陽位置を表す楕円の焦点をＳ、惑星位置を表す楕円上の点をＰ、楕円軌道の近点をＡ、遠点をＢ、楕円の二つの補助円上の点をＱ、Ｑ’とする。楕円の離心率をｅとする、それらの量は下図の関係にある。
これらは単なる幾何学的関係を表している。
惑星Ｐは楕円軌道を描くことは解っているとしている。そのため惑星の位置Ｐは、真近点離角θと動径ｒを用いた極座標表示（１）式で表される。ｌ は上図に示す半通径と言われるものでｌ＝ａ（1－ｅ2）です。これは楕円の極座標表示でθ＝π／2を代入すれば、直ちに導かれる。
ここで、太陽Ｓから見た惑星位置Ｐを示す、動径ｒの方向を近点Ａから測った角度∠ＡＳＰは、“真近点離角(ture anomaly)”θと呼ばれる。楕円の極座標表示については別稿「二次曲線の性質」５．を復習されたし。
惑星の運動が楕円になることを、“運動の法則”と“万有引力の法則”から最初に導いたのはニュートンです。それは「プリンキピア」第Ⅰ編命題13・系1と命題17・問題9で証明されています。この事については別稿「楕円軌道の発見と万有引力の法則（「プリンキピア」の説明）」をご覧下さい。
また、（１）式を“運動の法則”と“万有引力の法則”から解析的に導くことはほとんどの力学教科書で説明されています。同じく上記の別稿をご覧下さい。
楕円軌道上のＰ点から楕円長軸におろした垂線の足をＪとする。また、直線ＪＰを補助円の方向に伸ばしてときに補助円と交わる点をＱとする。そして動径ＯＱの方向を近点Ａから測った角度∠ＡＯＱを“離心近点離角(eccentric anomaly)”ｕと呼ぶ。
このとき、“離心近点離角”ｕは動径ｒと次の関係にあります。
このことは、図中の直角三角形ＰＪＳについて成り立つピタゴラスの定理からただちに証明できる。
あるいは、準線に対して成り立つ楕円の性質を用いて求めることもできます。
これは“離心近点離角”ｕを定義する式だと見なすこともできる。
前出の（１）式と（２）式を用いるとｒ、θ、ｕの間に成り立つ様々な関係式が導ける。
まず、（１）式と（２）式から
さらに、楕円とその補助円の性質から線分ＰＪとＱ’Ｊ’が等しいことが言えるので
となる。もちろん、（４’）式は
に（３’）式を代入して求めても良い。
さらに（３’）式と（４’）式を未知数がsinｕとcosｕの二元連立の代数方程式とみなして解けば
が求まる。もちろん、（３’）式をcosｕに関して解いて（３”）式を求め、これを
に代入して（４”）式を求めても良い。
さらに（１）式と（２）式から導かれる
と、三角関数の半角公式を併用すると
が得られる。
さらに、この二式の辺々を割り算すると
が得られる。これはθとｕを直接結び付ける便利な関係式です。
以上の結果の一覧図はこちら。
前節までは単なる数学関係式でしたが、ここからが物理的な話です。
Whittakerが上記文中で説明している
が“Kepler方程式”と言われるもので、惑星運動を論じるときの基礎に成る方程式です。
式中のｎはｎ＝2π／Ｔ（Ｔは公転周期）で定義される量で“平均運動(mean motion)”と呼ばれる。これに時間ｔを乗じたｎｔを“平均近点離角(mean anomaly)”と呼ぶ。これは前図の半径ａの補助円上の点Ｑ”が等角速度で移動していく時の角度∠ＡＯＱ”を表すのですが、とにかく時間経過を表す量だと考えればよい。
このＱ”の回転角が示す時間経過に基づいてＱ（またはＰ）の位置が決まります。そのとき、Ｐ（またはＱやＱ’）の位置に基づいてＱ”の位置を示すのは簡単なのですが、その逆のことを実行するのはとても難しい数学問題です。
また、式中のｕは、（２）式で定義される“離心近点離角”ですが、すでに説明したように前図の離心円（半径ａの補助円）上の点Ｑの位置を近点Ａから測った角度∠ＡＯＱに相当します。離心円という名前のいわれは、その中心が楕円の焦点（心）からはずれているからで、天文学上の歴史的な名前です。
多くの力学教科書では、“Kepler方程式”を、［エネルギー保存則］と［面積速度一定の法則（角運動量保存則）］に“離心近点離角”ｕの定義式（２）を適用して解析的に求めています。
解析的な求め方は適当な教科書に任せることにして、ここでは幾何学を用いる方法を説明します。これは最初、ニュートン（「プリンキピア」第Ⅰ篇、第6章、命題31･問題23）によって導かれたもので、上記文中のWhittakerの説明はそれを引用したものです。
そのやり方は、［惑星の軌道が楕円となる］ことが解っていれば、楕円軌道の幾何学的関係式に［面積速度一定の法則］を適用すれば導けるという、とても教訓的なものなので次項で詳しく説明します。
まず、［惑星の軌道が楕円になる］ことが解っているとする。
楕円の幾何学的性質から、図中の楕円軌道は半径ａの補助円（auxiliary circle）をｙ軸方向にｂ／ａ倍に縮小してできる。そのため、動径ＳＰがスイープする［扇形面積ＡＳＰ］は動径ＳＱがスイープする［扇形面積ＡＳＱ］のｂ／ａ倍となる。このとき［扇形面積ＡＳＱ］＝［扇形面積ＡＯＱ］－［三角形面積ＯＳＱ］だから、
が言える。ここまでは楕円について成り立つ単なる幾何学的関係式です。
ここで、物理学の“運動方程式”と“万有引力の法則”から得られる［面積速度一定の法則］を適用します。
動径ＳＰが周期Ｔの間にスイープする［楕円の面積（＝πａｂ）］と、動径ＳＰが時間ｔの間にスイープする［扇形面積ＡＳＰ］に対して、面積速度一定の法則から
が成り立つ。故に、ｎｔとｕに対して“Kepler方程式”が成り立つことが証明できた。
［補足説明］
別稿「古典天文学」４．（８）２で説明したように、［面積速度一定の法則］は ［“運動方程式”］と［質点にはたらく力が中心力である］ことから導かれます。そのとき力が逆二乗法則である必要はありません。“万有引力の法則”のなかに含まれる力の逆二乗性が関係するのは公転周期と長半軸の間に成り立つ［ケプラーの第三法則］を導くときです。
そのため、上記のＫｅｐｌｅｒ方程式の成立条件に、力の逆二乗性は含まれていないように思うかもしれません。しかし、別稿「質点の二次元運動」のＦ＝－ｋｒとＦ＝－ｋ／ｒ2の軌道を比較されれば解るように、逆二乗法則でない中心力の場合は、その軌道がたとえ楕円であっても、その力の中心は楕円軌道の焦点と一致しません。だから、上記の議論の中には逆二乗法則性も含まれています。
つまり、上記の議論では面積速度を測定する中心点を（当然のごとく）楕円の焦点にしています。このなかに力の逆二乗性を仮定していることになります。
この当たりはニュートンの「プリンキピア」第Ⅰ編、第2章の命題6、命題7、および命題10～11で明快に論じられていますのでご覧下さい。
下図は、横軸ｕ（離心近点離角）の様々な値に対して、ｎｔ（平均近点離角）をｎｔ＝ｕ－ｅ･sinｕによって求め、それをグラフ表示（縦軸ｎｔ）したものです。
このグラフは、当然のことですがｕ＝0の時ｎｔ＝0を出発して、ｕ＝πの時ｎｔ＝πとなり、ｕ＝2πの時ｎｔ＝2πとなる。つまり近点Ａでｎｔ＝ｕ＝0とすると、遠点Ｂでｎｔ＝ｕ＝π（このときｔ＝Ｔ／2）となり、一回転しても戻った近点Ａでｎｔ＝ｕ＝2π（このときｔ＝Ｔ）となり、その時刻においてＱ”点とＱ点が一致することを示している。そのためｕ－ｎｔ＝ｅ･sinｕはｎｔに関して周期2πの奇関数となる。
そのとき問題は、ケプラー方程式 ｎｔ＝ｕ－ｅ･sinｕ をｕに関して解く事です。すなわち、任意のｎｔとｅが与えられたときに、超越方程式ｆ（ｕ）＝ｕ－ｅ･sinｕ－ｎｔ＝0を解いてｕ（ｎｔ）を求めることです。
この問題は、上記グラフにおいて縦座標値＝ｎｔの位置に横線を引き、それとｎｔ＝ｕ－ｅ･sinｕ曲線との交点の横座標値ｕを求めること、あるいはｆ（ｕ）＝ｕ－ｅ･sinｕ－ｎｔのグラフがｕ軸と交わる点のｕ値を求める事と同じです。
下図はｅ＝0.6、ｎｔ＝π／6＝0.523･･･（rad）の場合の様子を示している。
そのため一見するとｕを求めるのは簡単そうです。
しかし、残念なことに、この方程式は解析的に解くことはできません。ｎｔを与えてｕの値を数値的に求めることは極めて難しいのです。
前項で説明したケプラー方程式を逐次近似法による数値計算で最初に解いたのはおそらくニュートンです。それは、すでに紹介した「プリンキピア」第Ⅰ篇第6章命題31･問題23の後半で説明されています。
これは後に“ニュートン法”と呼ばれて有名になる数値計算法です。高等学校数学で習いますが、ここで今一度復習してみます。
となる。この手続きを繰り返して最終的に
が得られる。この式中の
が、求めるべき解ｕを与える。
上記の表現に“ケプラー方程式”を適用すると
ですから、
となる。
これらから得られるΔｕ1、Δｕ2、Δｕ3・・・を
に代入すれば、ｎｔが与えられたときのｕ値が求まる。
ニュートンは実際この手法を用いて解いたのですが、そのことに付いては３．（２）で説明します。
２．（２）４．で示した様に、“離心近点離角”ｕはｒ、θ、ｔと（１）～（６）式によって関係づけられる。そのためｕは、ｒとθをｔと結び付けるためのパラメターと考えることができる。
このとき、惑星Ｐの離角θが与えられれば、（５）式を用いて直接ｕを求めることができる。ｕが求まれば、Kepler方程式（６）式を用いてそのｕ値をとる時刻ｔが求まる。すなわち、真近点離角がθとなる時刻ｔが決定できる。
同じく、惑星Ｐの軌道半径ｒが与えられれば、（２）式を用いてｕを求める事ができる。ｕが求まれば、Kepler方程式（１）式を用いてそのｕ値をとる時刻ｔが求まる。すなわち、軌道半径がｒとなる時刻ｔが決定できる。
このように、（ｒ，θ）が与えられたときに時刻ｔを求めるのは簡単です。しかし、この逆を実行するのは大変です。
人類の歴史において将来の惑星の位置を予測することはとても重要なことでしたから、実際に大切なのは時刻ｔが与えられたときの惑星Ｐの位置（ｒ，θ）を予測することです。
その為には、ｒとθが変数ｎｔの陽関数として表されなければならない。ケプラー方程式が未知数ｕに関してｔの簡単な陽関数として解ければ良いのですが、残念なことにそれはできません。ｕはtの三角関数の無限級数として表されるだけです。
結局のところ、プトレマイオス、コペルニクス、ケプラーは、この無限級数の係数を求める為に大変な苦労をしなければならなかった。このことは別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」２．（１）２．で説明しました。
ケプラー方程式を最初に解いたのはニュートンです。それは幾何学的な方法によるもので、彼の著書「プリンキピア」第Ⅰ篇、第6章、命題31･問題23で説明されています。さらにその命題の後半で、逐次近似による数値計算で解く方法（ニュートン法）も説明しています。ニュートンがここまで解析していたことに驚かされます。
時刻ｔに惑星Ｐが居る位置（ｒ，θ）を作図で求める。
以下はニュートン著「プリンキピア」第Ⅰ篇、第6章、命題31･問題23（文献２．より）の引用です。
命題31・問題23
与えられた楕円軌道上を運動する物体の指定された時刻における場所を見いだすこと。
Ａは楕円ＡＰＢの主頂点、Ｓは焦点、Ｏは中心とし（第71図）、またＰは見いだされるべき物体の場所とせよ。
ＯＡをＧに延長し、ＯＧ対ＯＡがOA対OSに等しくせよ。垂線GHをたて、またOを中心とし、半径OGで円GEFを描け。そしてこの基準線GH上を、車輪のGEFがその軸のまわりに回転することにより前進し、その間に車輪の点AによってサイクロイドALIが描かれるとせよ。
そのようにしたならば、GKを車輪の周GEFGに対し、物体がAから進んで弧APを描く時間 対 楕円上を一回転する時間の比にあるようにとれ。
垂線KLをたてサイクロイドとLで交わらせよ。するとKGに平行にひいたLPは楕円と求める物体の場所Pにおいて交わるであろう。
［証明］
Oを中心として半径OAで半円AQBを描き、LPを、必要ならば延長して、弧AQとQにおいて交わらせ、SQ、OQを結ぶとせよ。OQを弧EFGにFにおいて交わらせ、そのOQに垂線SRをおろすとせよ。
面積APSは面積AQSに比例する。すなわち、扇形OQAと三角形OQSの差に、あるいは矩形1／2×OQ×AQと1／2×OQ×SRの差に比例する。すなわち、1／2×OQは与えられているから、弧AQと直線SRの差に比例する。
したがって〔与えられた比、SR対弧AQの正弦、OS対OA、OA対OGは相ひとしく、減比の理によってAQ－SR対GF－弧AQの正弦もそれに相等しいため〕GKに、すなわち弧GFと弧AQの正弦との差に、比例する。
［証明終わり］
プリンキピアの文章は、正確かつ適切に書かれているのですが、極めて難解です。解りやすくするために状況と記号を２．（３）２．の図と同じにして説明します。
楕円ＡＰＢの近点をＡ、遠点をＢ、焦点（太陽）をＳ、中心をＯとする。また惑星の位置をＰとする。ここで、ＯＡを延長して、ＯＧ：ＯＡ＝ＯＡ：ＯＳになる点Ｇを定める。そしてＯＧに垂直な線ＧＨ（茶色直線）を引く。
このときＯA＝ａ、ＯＳ＝ａｅ だから ＯＧ：ａ＝ａ：ａｅ → ＯＧ＝ａ2／ａｅ＝ａ／ｅ となる。そのため、ＡＧ＝ＯＧ－ＯＡ＝ａ／ｅ－ａ＝ａ（1－ｅ）／ｅとなり、ＧＨは二次曲線の準線となることが解る。
ここで、中心Ｏのまわりに半径ＯＧの円ＧＦＥＧ（車輪）を描く。そして準線ＧＨ（茶色直線）を地面と見なして、車輪ＧＦＥＧを転がしＨ方向へ前進させる（図では上方に転がす）。そのとき近点Ａはサイクロイド曲線ＡＡ’Ｉを描く。
次に、［車輪の周長ＧＦＥＧ＝2π×ａ／ｅ］：［距離ＧＫ］＝［惑星の公転周期Ｔ］：［惑星が弧ＡＰを描く時間ｔ］となる点Ｋを取る。そしてＫにおいて準線ＧＨに垂直な線を立てる。その垂線がサイクロイド曲線と交わる点をＡ’とし、そのＡ’から線分ＫＧに平行な線を引く。その平行線が楕円と交わった点が惑星の位置Ｐとなる。
つまり、車輪が一回転するとき進む距離ＧＬを周期Ｔと見なして、任意の時刻ｔに相当する割合の位置にＫ点を取ると、Ｋ→Ａ’→Ｐとして定まる位置Ｐが時刻ｔにおける惑星の位置となる。
また、このときＰと共に定まる図中の角度∠ＡＯＱ＝ｕがケプラー方程式ｎｔ＝ｕ－ｅ･sinｕ の時刻ｔに対する解です。
さらに注意すると、Ｇから弧ＧＦに沿って距離ＧＫだけ移動した点がＱ”であり、∠ＡＯＱ”が平均近点離角ｎｔとなる。このＱ”の位置は0＜θ＜πの間はＦより遅れて（つまりｎｔ＜θ）おり、0＜θ＜2πの間はＦより進んで（ｎｔ＞θ）いる。Ｆ点とＱ”点が一致するのはθ＝ｎｔ＝πとθ＝ｎｔ＝2πの時です。この当たりは２．（３）３．で説明した通りです。
［証明］
前記の図を時計回りに90度回転して下図の様にｘ軸とｙ軸を取る。そうするとサイクロイド曲線を描く点Ａ’の方程式は、車輪の回転角をｕ（rad）とすると
となる。この事は図上で簡単に確認できる。
このとき、［車輪の半径］ はＯＧ＝ａ／ｅあり、サイクロイドを描く［点Ａ’の半径］はＯ’Ａ’＝ａ となる。さらに、［車輪が一回転するときに進む距離］はＧＬ＝［車輪半径］×2π＝ＯＧ×2π＝2π×ａ／ｅ となる。そのため
となる。
このとき、距離ＧＬを周期Ｔの時間をかけて等速度で移動するのはＦ’（or Ｏ’）点ではなくてＫ（orＱ”）点であることに注意してください。そのとき、図を検討すれば明らかな様に、車輪の回転角速度（＝離心近点離角の角速度ｕ／ｄｔ）は、Ｐが近点Ａ付近にあるとき速くなり、Ｐが遠点Ｂ付近にあるとき遅くなります。
［証明終わり］
［補足説明］
ニュートンの証明中の 矩形1／2×OQ×AQ の意味は、扇形面積OQA＝円板面積×扇形の割合＝π（半径）2×（弧長ＡＱ／周長）＝π×ＯＱ2×（弧長ＡＱ／2πＯＱ）＝1／2×半径OQ×弧長AQのことです。
また、扇形面積ASQを計算するときに、扇形面積OQＡから引き算する三角形OQSの面積が必要ですが、ニュートンは点Ｒを新たに導入して三角形の面積＝1／2×底辺×高さ＝1／2×ＯＱ×ＳＲ として計算しています。
しかし、２．（３）２．で証明した様に1／2×底辺×高さ＝1／2×OS×OQsin（∠ＡＯＱ） とすれば、新たに点Ｒを導入する必要はありません。ただし、次項の説明にＳＲが必要になりますので、そのときはニュートンの証明を思い出してください。
さらに、最後の文節の〔与えられた比、SR対弧AQの正弦、OS対OA、OA対OGは相ひとしく、減比の理によってAQ－SR対GF－弧AQの正弦もそれに相等しいため〕の部分は、SR：［ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝OS：OA＝OA：OG＝［AQ－SR］：［GF－ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝ｅ：1 （ただし、ｅは離心率）となることを言っている。つまり、惑星の公転に伴ってそれらの量が変化しても前者／後者＝ｅ＝一定値になると言っている。
最初のSR：［ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝ｅ：1となることは、［三角面積ＯＱＳ］＝1／2×ＳＲ×ＯＱ＝1／2×ＯＳ×ＯＱsin（∠ＡＯＱ）よりＳＲ／［ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝ＯＳ／ＯＱ＝ＯＳ／ＯＡ＝ｅが成り立つからいえる。
また、最後の［AQ－SR］：［GF－ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝ｅ：1となることは、［弧長ＡＱ］／［弧長ＧＦ］＝ｅかつ［ＳＲ］／［ＯＱ×sin（∠ＡＯＱ）］＝ｅ（前出）であることからいえる。実際、これらの関係式を用いると（［弧長ＡＱ］－［ＳＲ］）＝ｅ×（［弧長ＧＦ］－［ＯＱ×ｓｉｎ（∠ＡＯＱ）］）だから［弧長ＡＱ－ＳＲ］／［弧長ＧＦ－ＯＱｓｉｎ（∠ＡＯＱ）］＝ｅとなる。
最後の面積ＡＰＳはGKに、すなわち弧GFと弧AQの正弦（＝OQ×sin（∠ＡＯＱ））との差に、比例する。の部分ですが、その前文で面積ＡＰＳは、弧ＡＱと直線ＳＲの差（＝弧長ＡＱ”）に比例する事を説明しています。そして、〔 〕文の中で［弧長ＡＱ－ＳＲ］／［弧長ＧＦ－ＯＱ×ｓｉｎ（∠ＡＯＱ）］＝ｅ＝一定値であることを確認しています。このことから面積ＡＰＳは弧GFと弧AQの正弦（＝OQsin（∠ＡＯＱ））との差に比例する。
もちろん、ＧＫが弧ＧＦと弧ＡＱの正弦（＝ＱＪ＝弧ＦＦ”）の差であることは、［弧ＧＦ］－［ＯＱｓｉｎ（∠ＡＯＱ）］＝前出の図のＧＫ＝（ＧＦ’－ＫＦ’）からも明らかです。
つまり、惑星がＰ点に居るときの時刻を表す角度ｎｔの位置Ｑ”点は、［弧長ＡＱ－ＳＲ］だと言うことです。これは次節の逐次近似計算で繰り返し用います。
ニュートンは、前項の説明に続いて、Ｐの位置を数値的に求める方法も説明しています。これはケプラー方程式を逐次近似で解析的に解くもので、以下の様に記されている（文献２．より引用）。
注解
しかしこの曲線をひくのは困難なことですから、それにきわめて近い解をとるほうか望ましいわけです。
それには57.29578度の角すなわち半径に等しい弧が張る角に対して、焦点間の距離ＳＨ（2ｅａ）対楕円の直径ＡＢ（2ａ）の比にある角Ｂを見いだし(第72図)、また半径に対して同じ比の逆比にあるような長さＬを求めます。それらが求まりますと、問題は以下の解析によって解くことができます。
何かの作図によって、それとも推測からででも、物体の真の場所ｐに近い場所Ｐがわかったとしましょう。楕円の軸上に縦座標ＰＲをおろしますと、楕円の両直径の比から、外接円ＡＱＢの縦座標ＲＱが与えられます。この縦座標は、ＡＯを半径としますと、角ＡＯＱの正弦であり、楕円とＰで交わります。この角が大まかな計算で真に近い数で見いだされれば十分なわけです。
またこの角は時間に比例すること、すなわち四直角に対して物体が弧ＡＰを描く時間対楕円を１回転する時間の比にあることも、わかっているとします。この角をＮとしましょう。
それから角Bに対して角AOQの正弦 対 半径の比にある角Ｄを、また角（Ｎ－ＡＯＱ＋Ｄ）に対し、長さＬ 対 同じ長さＬと角ＡＯＱの余弦との、この角が直角より小さければ差、大きければ和、の比にある角Ｅをとります。
次に、角Ｆを、角Ｂに対して角（ＡＯＱ＋Ｅ）の正弦 対 半径の比に、また角Ｇを、角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ＋Ｆ）に対Lて長さＬ 対 同じ長さＬと角（ＡＯＱ＋Ｅ）の余弦との、その角が直角より小さければ差、大きけれぼ和、の比にあるようにとります。
三番目に、角Ｈを、角Ｂに対し角(ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ）の正弦 対 半径の比に、また角 Ｉ を、角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ－Ｇ＋Ｈ）に対し長さＬ 対 同じ長さＬと角（ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ）の余弦との、その角が直角より小さけれぱ差、大きけれぼ和、の比にあるようにとります。
このようにしてどこまでも進めてゆきます。最後に、角ＡＯｑを角（ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ＋･･･････）に等しくとるとします。するとそれの余弦Oｒと縦座標ｐｒとから、この縦座標はその（角の）正弦ｑｒに対し楕円の短軸
対 長軸の比にあるのですが、物体の正しい場所ｐが得られましょう。
角（Ｎ－ＡＯＱ＋Ｄ）が負になるような場合は、角Ｅの十符号はいたるところで－符号に、－符号は十符号に変えねばなりません。また角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ＋Ｆ）および（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ－Ｇ＋Ｈ）が負になる場合には、角ＧおよびＩの符号についても同じように解されねばなりません。
しかし無限級数ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ＋･･･････はきわめてすみやかに収束しますから、第二項Ｅ以上に進む必要はほとんどないでしょう。
またこの計算法は、面積ＡＰＳは弧ＡＱと焦点Ｓから半径ＯＱに垂直におろした直線との差に比例する、という定理にもとづいています。
ここも極めて難解な文章です。とりあえず数式になおしてみます。
ただし、河辺先生の訳が不適切と思われる箇所 “またこの角は時間に比例すること、すなわち四直角に対して物体が弧ＡＰを描く時間対楕円を１回転する時間の比にあることも、わかっているとします。” の部分を “また、時間に比例する角があること、すなわち四直角に対して物体が弧ＡＰを描く時間対楕円を１回転する時間の比にある角が存在することも、わかっているとします。” に、また“との、その角が直角より小さければ差、大きけれぼ和、”の部分を“との差］（それは角が直角より小さければ減少し大きければ増大する）”に修正しています。
注解
しかしこの曲線をひくのは困難なことですから、それにきわめて近い解をとるほうか望ましいわけです。
それには57.29578°の角すなわち半径に等しい弧が張る角に対して、焦点間の距離ＳＨ（2ｅａ）対楕円の直径ＡＢ（2ａ）の比（ｅ倍）にある角Ｂ（＝ｅ rad）を見いだし(第72図)、また半径（≡1）に対して同じ比の逆比（1／ｅ倍）にあるような長さＬ（＝1／ｅ）を求めます。
それらが求まりますと、問題は以下の解析によって解くことができます。
何かの作図によって、それとも推測からででも、物体の真の場所ｐに近い場所Ｐがわかったとしましょう。楕円の軸上に縦座標ＰＲをおろしますと、楕円の両直径の比（＝ａ／ｂ）から、外接円ＡＱＢの縦座標ＲＱ（＝ＰＲ×ａ／ｂ）が与えられます。
この縦座標は、ＡＯ(＝ａ≡1）を半径としますと、角∠ＡＯＱの正弦（ＱＲ＝ＯＱ×sin∠ＡＯＱ）であり、楕円とＰで交わります。この角（∠ＡＯＱ）が大まかな計算で真に近い数（∠ＡＯｑ）で見いだされれば十分なわけです。
また、時間に比例する角があること、すなわち四直角（2π）に対して物体が弧ＡＰを描く時間対楕円を１回転する時間の比にある角が存在することも、わかっているとします。この角をＮ（≡ｎｔ：これが、惑星が位置ｐにいるときの、時刻ｔに関係する）としましょう。
それから角B（＝ｅ rad）に対して［角∠AOQの正弦（sin）］ 対 ［半径(≡1）］の比にある角Ｄを、また角（Ｎ－∠ＡＯＱ＋Ｄ）に対し、［長さＬ］ 対 ［同じ長さＬと角∠ＡＯＱの余弦（cos）との差］（それは角が直角より小さければ減少し大きければ増大する）の比にある角Ｅをとります。
次に、角Ｆを、角Ｂに対して［角（ＡＯＱ＋Ｅ）の正弦（sin）］ 対 ［半径(≡1）］の比に、また角Ｇを、角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ＋Ｆ）)に対して［長さＬ］ 対 ［同じ長さＬと角（∠ＡＯＱ＋Ｅ）の余弦（cos）との差］（それは角が直角より小さければ減少し大きければ増大する）の比にあるようにとります。
三番目に、角Ｈを、角Ｂに対し［角(ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ）の正弦（sin）］ 対 ［半径(≡1）］の比に、また角 Ｉ を、角（Ｎ－∠ＡＯＱ－Ｅ－Ｇ＋Ｈ）に対し［長さＬ］ 対 ［同じ長さＬと角（∠ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ）の余弦（cos）との差］（それは角が直角より小さければ減少し大きければ増大する）の比にあるようにとります。
このようにしてどこまでも進めてゆきます。最後に、角∠ＡＯｑを角（∠ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ＋･･･）に等しくとるとします。するとそれの余弦（Ｏｑ･cos（∠ＡＯｑ）＝）Oｒと縦座標ｐｒ（この縦座標ｐｒは角∠ＡＯｑの正弦ｑｒ（＝Ｏｑ×sin∠ＡＯｑ）に対し［楕円の短軸］対［長軸］の比（＝ｂ／ａ）にある）とから、物体の正しい場所ｐが得られましょう。
角（Ｎ－∠ＡＯＱ＋Ｄ）が負になるような場合は、角Ｅの十符号はいたるところで－符号に、－符号は十符号に変えねばなりません。また角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ＋Ｆ）および角（Ｎ－∠ＡＯＱ－Ｅ－Ｇ＋Ｈ）が負になる場合には、角Ｇおよび角 Ｉ の符号についても同じように解されねばなりません。
しかし無限級数∠ＡＯＱ＋Ｅ＋Ｇ＋Ｉ＋･･･はきわめてすみやかに収束しますから、第二項角Ｅ以上に進む必要はほとんどないでしょう。
またこの計算法は、面積ＡＰＳは弧ＡＱと焦点Ｓから半径ＯＱに垂直におろした直線（＝ＳＲ’）との差に比例する、という定理にもとづいています。（これは前節［補足説明］の最後で説明した事柄、“惑星がＰ点に居るときの時刻を表す角度ｎｔの位置Ｑ”点は、［弧長ＡＱ－ＳＲ’］によって求まる。”を言っています。）
数式に直してもなお解りにくいが、今日この文章が逐次近似による数値計算法（“ニュートン法”）を説明するものであることは解っている。
そのためこれらの式を２．（３）４．に例として挙げたｅ＝0.6、ｎｔ＝30度＝π／6＝0.52359radの場合の式と比較してみる。このとき初期値ｕ0＝∠ＡＯＱ＝2.63ｒａｄ≒148.97°は適当にとっています。
上図を、２．（３）４．の例に対応させて描き直すと以下のようになる。
今は、まだｕの値は解らないのですが、確実にｕ0＞ｕが言えるであろう位置に初期値ｕ0を取っています。そのため、上記の角（Ｎ－∠ＡＯＱ＋Ｄ）、角（Ｎ－ＡＯＱ－Ｅ＋Ｆ）、角（Ｎ－∠ＡＯＱ－Ｅ－Ｇ＋Ｈ）、・・・は全て負になりますので、文中に説明されている様に、角Ｅ、Ｇ、Ｉ、・・・の前の符号を－符号に変えねば成りません。
上記の式をそのよう訂正して、２．（３）４．に例で示した式と比較すると
となり、確かに旨く対応しています。
このやり方の本質は、“ｕからｎｔを計算するのは簡単であるが、その逆は簡単にできない”所にあります。そのため直接ｕを求めるのはあきらめて、適当なｕ0を与えて、惑星がｕ0の位置にあるときに、求めることができる時刻ｎｔ0を求める。
これは図の上で簡単にも求まる。何度も注意したように“惑星がＰ点に居るときの時刻を表す角度ｎｔの位置Ｑ”点は、［弧長ＡＱ－ＳＲ’］によって求まる。”
そうして求まったｎｔ0とｎｔを比較して、その差分ｎｔ0－ｎｔに適当な数値1／（1－ｅcos（∠ＡＯＱ））を掛けた量Δｕ1＝（ｎｔ0－ｎｔ）／（1－ｅcos（∠ＡＯＱ））だけ弧ＡＱ（＝ｕ0）に付け加えて（ひく場合もある）ｕ1を求める。そうすると、ｕ1は求めるべきｕ値に近づいているはずです。
次に、惑星がｕ1の位置に移動したと仮定して、そのときの時刻ｎｔ1を同様な手順で求める。そうしてｎｔとｎｔ1を比較するわけです。以下同様な手順を繰り返す。
つまり、ｕ0とｕの関係は解らないが、ｎｔとｎｔ0、ｎｔ1、ｎｔ2、・・・の関係ならば解る。そのためｎｔ0→ｎｔ1→ｎｔ2→ｎｔ3→・・・・をｎｔに近づけることによつて、ｕ0→ｕ1→ｕ2→・・・をｕに近づけていこうと言うのです。
言葉だけでは解らないので、 ｅ＝0.6 とＮ（＝ｎｔ＝30度＝π／6≒0.52359rad）の場合を、初期値ｕ0＝∠ＡＯＱ＝2.63ｒａｄ≒149°を与えて、ニュートンの説明文に従って計算してみる。
まず、初期値ｕ0＝∠ＡＯＱ（下図のＱ点）から、惑星がＱ点にあるときの時刻ｔ0を表す“平均近点離角”ｎｔ0（下図のＮ0点）を求める。次に、Ｎ0－Ｎから差分Ｅを求める。そして∠ＡＯＱ－ＥによってＱ1点を求める。
こうして求まったｕ1（図中のＱ1点）を初期値として、まず、惑星がＱ1点にあるときの時刻ｔ1を表す“平均近点離角”ｎｔ1（下図Ｎ1点）を求める。そして同様な手順を繰り返してＱ2点を求める。
ここで上図と次図を比較してみれば、前項文中の“（それは角が直角より小さければ減少し大きければ増大する）”は、角（∠ＡＯＱ－Ｅ－･･･）が直角よりも小さければ １－ｅ･cos（∠ＡＯＱ－Ｅ－･･･）＜1となり、直角よりも大きければ １－ｅ･cos（∠ＡＯＱ－Ｅ－･･･）＞1となることを言っていることが解ります。つまり、図中のｕi＝∠ＡＯＱ－Ｅ－･･･における接線の傾きがｕ＝π／2＝1.57･･･を境にして変化する様子を注意している。
新たにもとまったｕ2（図中のＱ2点）を初期値として、まず、惑星がＱ2点にあるときの時刻ｔ1を表す“平均近点離角”ｎｔ2（下図のＮ2点）を求める。そうして以下同様な手順をくりかえすと
となる。
すなわち、ｎｔ0（＝2.33626）→ｎｔ1（＝0.845078）→ｎｔ2（＝0.558866）→ｎｔ3→･･･としてｎｔ点（与えられた時刻＝0.52359）に近づけると、ｕ0（＝2.63：初期値）→ｕ1（＝1.43995）→ｕ2（＝1.09116）→ｕ3（＝1.04239）→･･･となって（求めるべき値）ｕ＝ｑ点にどんどん近づいていく。
上図ではｕ3＝Ｑ3点はｑ点にほとんど一致するので重ねて描いてある。ちなみに、この方法で求めた最終的な解は、ｕ＝∠ＡＯｑ＝1.04149rad＝59.6732°となる。
このとき、初期値ｕ0＝∠ＡＯＱｕ0＝2.63ｒａｄ≒148.97°は、２．（３）４．の例に於いてニュートン法の手順が解りやすいように真の値ｕからかなりはずれた値にしたのですが、もっとｕに近い値から出発すればよい。そうすれば、ニュートンが指摘しているように、上記の手順を1、2度繰り返すだけで、極めて正確な値に収束します。
［補足説明］
プリンキピアを読めば、ニュートンがケプラー方程式の本質“ｕからｎｔを計算するのは簡単だが、その逆は極めて困難である”を明確に理解していたことが解ります［特に補助定理28（ここは、文献３．を参照されたし）］。
プリンキピアの文章は正確かつ適切に書かれているのですが、この手順を幾何学的に理解することは極めて難しい。実際のところ、プリンキピアの中の証明は最初に解析的な手法で証明してから幾何学の言葉に翻訳しなおされたものだろうと、多くの科学史研究家は推測しています。
おそらくニュートンは、この計算法を２．（３）４．に示した図の上で、彼が発明した微分・積分法によって解析的に見つけたに違いない。そう考えないとｎｔi－ｎｔ＝ｆ（ｕi）からΔｕi＝ｕi-1－ｕiを導くときに（ｎｔi－ｎｔ）へ乗じるべき1／ｆ’（ｕi）＝1／（1－ｅ･cos（∠ＡＯＱi-1））の形を予測することは難しかったでしょう。それを見つけるにはsinの微分がcosであることの知識が必要だからです。
そのように解析的に導いた上で、当時は微分・積分の解析学はまだ存在せず代数学・幾何学しか無かったので、仕方なくユークリッド幾何学の言葉に翻訳して記述せざるを得なかったのだろう。
それにしても、幾何学の言葉は論理的に厳密ですが理解するのは難しい。私自身、わずか20行たらずのこの文章を理解するのに厖大な時間を要しました。「プリンキピア」の内容が深遠なことに圧倒されます。
文献５．によると、ベッセル関数に関しては先行研究が様々あるようです。解ｕ（ｔ）の解析的表現である級数解の最初の数項を求めたのはラグランジュ（1770年）のようです（文献５．§1.4）。彼がどのような方法で求めたのか良く解らないが、おそらく逐次近似で代入して求めたのだろう。［文献８．p133で説明されているLagrangeの定理を用いてもｕ（ｔ）はｓｉｎr･ｎｔによる無限級数展開できるようですから、その定理を用いたのかもしれません。荒木俊馬著「天体力学」Ⅱ§9参照］
ｕ（ｔ）の完全な無限級数解を求めたのはベッセル（1817年）のようです。そのとき彼は無限級数の係数を構成する関数の性質も詳しく調べたので、その係数関数は今日ベッセル関数と呼ばれている。（関数自体の発見者はダニエル・ベルヌーイ）
なお、べッセル（Friedrich Wilhelm Bessel）は年周視差（はくちょう座61番星）の最初の発見、シリウスとプロキオンの伴星の存在の指摘などの観測天文学でも有名です。
以下で、ベッセルの方法を説明します。
２．（２）４．で説明した関係式を用いれば、ｕが求まったときそれからから（ｒ，θ）を計算するのは簡単です。だから、問題はそのｕ（離心近点離角）を時間ｔ（平均近点離角ｎｔ）の関数として表すことです。
それは、Newtonの章で説明したように、極めて難しい数学的問題でした。ところが、時代が下るとニュートンやライプニッツが発明した微分・積分学（すなわち解析学）が発達してきます。またフーリエによるフーリエ級数展開の理論が発見されます。Besselの仕事はまさにフーリエ級数の理論が発見された直後に成されたものです。
おそらく、当時の数学者（天文学者）には、“ケプラー方程式の解を求めることは難しいが、ｕ－ｎｔ＝ｅ･sinｕは変数ｎｔに関して周期2πの奇関数となる”ことは良く解っていたはずです。
そのため、周期関数について成り立つフーリエ級数展開の理論が発見されるやいなや、直ちにこの理論がケプラー方程式の解法に使えると気付いたのでしょう。
ケプラー方程式をｕ－ｎｔ＝ｅ･sinｕと変形すれば、それが周期2πの奇関数であることが解ります。そのためフーリエ級数の理論により
の様に展開できます。
この展開式で注意して欲しい事は、変数ｕとｎｔは0、π、2π、･･･では一致しますが、それ以外の部分では一致せず横軸上での移動の様子が異なる事です。３．（１）２．解説の［証明］文の最後で注意したことを思い出してください。そこの［補足説明］の図のｕ＝∠ＡＯＱとｎｔ＝∠ＡＯＱ”の関係です。
そのためｅ･sinｕを変数ｎｔを横軸にしたグラフではｅ･ｓｉｎ［ｆ（ｎｔ）］となるのです。ここでｕはｎｔの簡単な関数で表せないのでｕ＝ｆ（ｎｔ）と表しています。ｅ･sinｕ＝ｅ･sin［ｆ（ｎｔ）］のグラフを描いてみるとｅ＝0.4の場合以下の様になります。
このグラフは等角速度で回転していくＱ”点（“平均近点離角”）に対して、“離心近点離角”を表すＱ点の回転速度は速く（近点付近）なったり遅く（遠点付近）なったりすることを表しています。
［補足説明１］
上図の赤色曲線は数式処理ソフトMahematicaで描いたのですが、この曲線はｎｔの簡単な関数で表すことはできません。そのため、後で求める無限級数解を先取りして用いました。
また、この級数はｅが大きいと収束が悪い（つまりｓｉｎ［ｒｎｔ］のｒが大きい項で生じる凸凹がいつまでも減らない）のでｅ＝0.4にしました。この事については以下の［補足説明３］を参照されたし。
“フーリエ級数展開の理論”とは、
上図のような周期関数は、以下の三角関数に適当な係数を乗じて和をとったもので表現できるというものです。
ただし、元の関数が奇関数の場合は ［ｓｉｎ関数の和］、偶関数の場合は ［定数＋ｃｏｓ関数の和］となります。今取り上げている関数は奇関数の例です。
そのとき、無限級数の係数は、以下の積分操作（ただし奇関数の場合）で求めればよいというのがフーリエの発見したことです。偶関数やもっと一般的な周期関数のフーリエ級数展開については適当なページをご覧下さい。
このとき、級数の係数を表す積分関数が後に“ベッセル関数”と呼ばれることになる。
この関数を用いると“離心近点離角”ｕは“フーリエ級数展開の理論”により、“平均近点離角”ｎｔの無限級数関数として表される。
［補足説明２］
最初に引用したWhittakerの文献１．では、ｕそのものではなくそれをｎｔで微分したｄｕ／ｄｔ（周期2πの偶関数になる）をフーリエ級数展開してから、それを項別に積分することで求めています。
その様にしても良いのですが、上で説明したように直接求めることもできます。ここの式展開は文献５．の§17．22から引用しました。
前項の無限級数の係数であるBessel関数をもっと具体的な形にしないと、このままでは役に立ちません。以下でBessel関数の巾級数表示を求めます。このとき、見通しを良くするためにｒｅ≡ｘと置いて議論します。
ここで、ｒが奇数ならば第１項が0となる。
同様に、ｒが偶数（ｒ＝0も含む）ならば第２項が0となる。
このときさらに、ｓが奇数の場合には
となる。同様にｓが偶数の場合には
となる。
これらの関係式を前記の式に代入する。
ｒが奇数の場合には第2項のみ残るので
となる。
同様に、ｒが偶数（ｒ＝0も含む）の場合には第1項のみが残って
となり、ｒが奇数の場合と全く同じ結論が得られる。これらの式展開は文献４．から引用しました。
ｘを元のｒｅにもどすと、任意の自然数ｒ＝1、2、3、4、5、･･･に対するBessel関数は以下のような巾級数で表される。
Bessel関数の巾級数展開については、文献５．のcapterⅡが詳しい。特に§2.11を参照されたし。
前項で求めたBessel関数の巾級数表示を前々項で求めた展開式に代入すると、Kepler方程式の解は
となる。
具体的に書いてみると
となる。
最後の形を見れば解るように、この無限級数はｅが小さいとき（実際の太陽系惑星ではｅ＜0.2）には急速に収束します。そのためｅの４次の項まで計算すれば充分正確な値が得られる。ちなみにｅ＜0.1ならｅ4の項までの計算で、有効数字4桁の精度が得られる。
［補足説明３］
上で求めた無限級数は、ｅ＞0.6627434の場合には収束せずに発散してしまうことが知られている。それはsin［ｒ･ｎｔ］の前に掛かっているｅの巾級数がｒ→∞となってもそんなに急速に0に近づかない事による。そのためｅがｅ＞0.6627434の場合、sin［ｒ･ｎｔ］の高次の項の変動がいつまでも収まらなくなる。
上記の式は、求めたい時刻ｎｔを代入すれば、その時刻における“離心近点離角”ｕが直ちに求まるのでとても便利ですが、離心率ｅが大きな場合には収束性が悪くて使えません。
［補足説明４］
前章で説明したニュートン法は、逐次近似法のために繰り返し計算をしなければ成りませんが、離心率がｅ＞0.6以上の場合でも有効です。
そのとき、最初に仮定する初期値を真の値に近く設定すれば2､3度繰り返し計算するだけで極めて精度良く求まります。それはもともとのｕ（ｎｔ）の関数がｎｔに関して滑らかに変化するからです。
しかし、ｅが１に近い長周期彗星や小惑星に対しては、ニュートン法も使えません。その場合にはｅ＝1の放物線に対する解を修正して用いるようです。その方法については文献１０．などを参照されてください。
［補足説明５］
ここで求めたのと同じことなのですが、もう少し初等的で、解りやすい説明が文献６．の§4.1.3にありますので、別稿にて引用しておきます。
前節で求めたｕ（ｎｔ）の表現式により任意のｎｔ値のときのｕ値が求まる。ｕ値が求まれば、２．（２）４．で求めた関係式に代入することで、その時刻のｒやθが求まる。
ここでは、Bessel関数を用いて ｒやθを直接ｎｔの関数として表してみます。導くのは結構面倒ですがｒ（ｎｔ）やθ（ｎｔ）が直接ｎｔの無限級数関数の形で表されているので利用するのに便利です。
“軌道半径”ｒは、“平均近点離角”ｎｔに関して、周期2πの偶関数になることは明らかです。そのためこれは“フーリエ級数展開の理論”により、以下のように［定数＋cos関数の和］の形の無限級数で表される。ただし、以後の話を簡単にするためにｒ／ａ（ａは楕円の長半径）について論じる。
このとき、フーリエの理論は、定数項Ｂ0と係数Ｂｒについて
で計算すれば良いと言っている。［そうすれば良いことは、フーリエ級数論の適当なページをご覧下さい。］
定数項Ｂ0は直ちに積分できて
となる。
係数Ｂr（ｒ＝1，2，3，4，･･･）は以下の様になる。
ここでｄ／ｄ（ｒｅ）Ｊr（ｒｅ）はBessel関数Ｊr（ｒｅ）の一次導関数を意味する。
これらの係数を代入すると、
が得られる。ここの式展開は文献５．の§17.22より引用した。
４．（１）２．のBessel関数の巾級数展開表示を用いると
であるから、これを前項の結果に代入すると
が得られる。
これが、別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」２．（１）２．で、ホイルが説明している（６）式です。
［補足説明１］
上記Besselの方法はｒ／ａを直接フーリエ級数展開しても求めるものでしたが、前節で求めたｕ（ｎｔ）の展開式を用いて求めることもできます。そのやり方が文献６．の§7.2.1で説明されていますので、別稿にて引用しておきます。
［補足説明２］
ｅ＝0.4の場合について、ｒ／ａのグラフを描くと下図の様になります。
このグラフは、３．（１）２．で出てきたサイクロイド曲線に似ていますが、その場合と違ってこの曲線を簡単な関数で表すことはできません。このグラフは上記の無限級数関数で（ただし、ｅ5までの項を用いて）描いたものです。
ここでも、［真近点離角］－［平均近点離角］＝θ－ｎｔ は周期2πの奇関数であることは明らかです。そのため、これは“フーリエ級数展開の理論”により、以下のようにsin関数の無限級数で表される。
そのときの係数Ｃr（ｅ）は以下の積分で計算される。まず、
となる。
この形は、すでに出てきたＡr（ｅ）やＢr（ｅ）のような簡単な超越関数ではない。これを最も効果的に計算するには、Besselの方法に従うのがよい。彼は
の関係式を用いた。Besselがこの展開式をどうやって見つけたのか良く解らないが、三角関数の有理関数のフーリエ展開式から求めたのかもしれない。
例えば、岩波全書「数学公式集Ⅱ」（1971年刊）のp250によると
いずれにしても、この式を前記の式に代入すると
となる。
これらの係数を代入すると
が得られる。ここの式展開は文献５．の§17.2より引用した。
４．（１）２．のBessel関数の巾級数展開表示を用いると
となります。
このとき一番右側のＪr-q（ｒｅ）のｒ－ｑは、ｒとｑの値によっては負の整数となることがある。その場合には、ｒが負の整数の場合について成り立つ公式
を用いればよい。この公式が成り立つことは４．（１）２．の証明をたどれば解ります。あるいは文献５．の§2.1を参照されてください。
つまり ｒ－ｑ＜0 の場合には、｜ｒ－ｑ｜が ｒ－ｑ の絶対値を表すとして
とすればよい。
これらを前項の結果に代入する。展開は極めて面倒だが、ｅ4の項まで計算すると
が得られる。
これが、別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」２．（１）２．で、ホイルが説明している（５）式です。
また、最初に引用したWhittakerの文章のExample２．で導くことを求めている式です。おそらくWhittakerはこのやり方ではなくて、次の［補足説明１．］のやり方で求めろと言っているのだと思います。
荒木俊馬著「天体力学」Ⅱ§9にｅ6の項までの展開式が載っています。
［補足説明１］
上記Besselの方法はθ－ｎｔを直接フーリエ級数展開しても求めるものでしたが、前々節で求めたｕ（ｎｔ）の展開式を用いて求めることもできます。そのやり方が文献６．の§7.2.1で説明されていますので、別稿にて引用しておきます。ただし、このやり方もかなり面倒です。
［補足説明２］
ｅ＝0.3の場合について、θ－ｎｔのグラフを描くと下図の様になります。
このグラフは、４（１）１．で示したｕ－ｎｔのグラフ曲線に似ていますが、その場合と同様にこの曲線も簡単な関数で表すことはできません。このグラフは上記の無限級数関数で（ただし、ｅ4までの項を用いて）描いたものです。このとき、ｅが大きいと級数の収束が悪いので離心率をｅ＝0.3に落として例示しています。
［補足説明３］
天文学では、このθ－ｎｔ を“中心差”(equation of center)と呼んでいます。当然のことですが、離心率ｅが小さくなる（つまり軌道が円に近づく）につれて小さくなります。
別稿「プトレマイオス天動説のエカントとコペルニクス地動説の周転円」２．（２）で、実際の太陽系惑星の中心差の大きさを見積もっていますが、それは上記の式に各惑星の離心率ｅを与えて同様のグラフを描いてみれば良い。
水星（ｅ＝0.2056）と火星（ｅ＝0.0933）の場合を描いてみる。縦軸のスケールを変えていることに注意。
別稿で説明したように、惑星の（楕円軌道）観測値と（円軌道）理論値との間の角度差の平均はラジアン単位（1ｒａｄ＝57°）で測って離心率程度になる。
ただし、これらの中心差は全て太陽から見た場合ですから、実際は地球から見た値に変換しなければ成りません。
［補足説明４］
４．（１）１．で説明したｕ－ｎｔのグラフと上記［補足説明３］のθ－ｎｔのグラフに、無限級数解のｅの一次の項まで取ったグラフ（青色曲線）を重ねて描いてみる。
ｅ＝0.0933の火星軌道については
と
の様になる。
別稿「プトレマイオス天動説のエンカトとコペルニクス地動説の周転円」３．（１）や、そこの［補足説明２］で説明したことを考慮すると、これらの青色曲線がプトレマイオス・コペルニクス理論が予測するカーブに（完全に一致するわけではないが）かなり近いはずです。青色曲線と赤色曲線を比較してみれば解るようにプトレマイオス･コペルニクス理論は中心差を説明する上においてかなり成功した理論であったことが解る。
さらに、青色曲線と（真に正しい楕円軌道の）赤色曲線との差は、ｎｔを近日点から測ったとき、ｎｔ～π／4＝45°付近ではプトレマイオス・コペルニクスの理論点が楕円軌道の理論点（観測値）よりも少し遅れ気味（ｕでは15’程度、θでは39’程度）になり、ｎｔ～π･5／4＝135°付近ではプトレマイオス・コペルニクスの理論点が楕円軌道の理論点（観測値）よりも少し進み気味（ｕでは14’程度、θでは36’程度）になることを示している。
ケプラーはこのわずかな差を徹底的に追求して楕円軌道を発見した。
この稿を作るために下記の文献を参照しました。
下記の文献も補足的に参照しました。
この稿を作るときに、河辺先生が翻訳された文献２．を利用させていただいたのですが、「プリンキピア」の難しさを思い知らされました。プリンキピアが難しいのは、その中に書かれている事柄が、極めて深遠で、時代を遙かに超越しているからだと言われています。超越しているが故に（当時それを記述する数学がなかったので）、ニュートンは幾何学の言葉で書かざるを得なかった。
実際、文献２．を読んでみて、河辺先生は極めて正確かつ適切に翻訳されていると感じました。プリンキピアを理解するには、まず文献２．の縦書文章を横書きに直し、かつ数式で表現する作業から始めるべきです。その過程を経ないと次の段階に進めないと思った方がよい。この本を理解するためには、厖大な努力が必要だと肝に銘じるべきです。
またそのとき、幾何学の言葉は中学生でも論理的な理解は可能（だからこそニュートンは用いた）だがその証明過程をたどるのは難しく、今日の解析学による説明の方がはるかに解りやすいと言われています。確かにその通りです。
しかし、私は、ケプラー方程式の導出に於いて、現代の教科書の解析的説明は解りやすいのですが本当のところ何をやっているのか良く解らなかったのです。ところがこのたび、「プリンキピア」の幾何学的説明を知って、この方程式の意味が明瞭に理解できました。まさに目を覆っていた鱗が落ちた感じでした（ニュートンを引用しているWhittakerもおそらくそう感じたのでしょう）。
現代の教科書で微分・積分や微分方程式を用いて展開されている事柄を、もう一度「プリンキピア」の幾何学的証明でたどってみると良いかもしれません。この当たりは別稿「楕円軌道の発見と万有引力の法則（「プリンキピア」の説明）」で説明しておりますのでご覧下さい。
この稿をつくることで、それらのことを再認識しました。ニュートンはまさに天才ですね。彼の偉大さが良く解りました。
