このページはある読者の方からの質問がきっかけでつくりました。それは「“月”や“イオ（木星の衛星)”の地殻内部の発熱は“潮汐力”変化のために衛星が繰り返し変形する事によって生じるとされている。しかし、それらの衛星は自転と公転が同期していて、いつも同じ面を地球あるいは木星に向けています。何故そのような“潮汐力”の変化が生じるのですか？」と言うものです。
これは確かに、興味深いご指摘で、考察してみる価値は有りそうです。
シリーズ現代の天文学９「太陽系と惑星」日本評論社（2008年刊）のp116によると、“イオの火山活動の原因はイオの軌道が円軌道からわずかに歪んでいるためである。イオの公転軌道が木星に近いために、公転軌道半径の変化が大きな潮汐力の変動を生み出して発熱させる”と説明されています。
イオの公転軌道離心率は0.0041ですから地球（離心率0.0167）などに比べると遙かに真円に近い軌道です。木星がいかに巨大だとしても、公転半径の変動のみで、それほどの潮汐力変化が起こるのだろうか？
これは計算してみる必要がありそうです。
丁度良い機会なので、別稿「潮汐力（起潮力）」を補足する意図も込めて、地球に働く月の潮汐力の説明から始めます。
月が地球に及ぼす潮汐力の変化は地球の自転に伴って生じます。
最初に別稿「潮汐力（起潮力）」４．（ロ）の図を取り上げます。
その稿で、Ａ点における“潮汐力”（赤矢印）が下記のようになる事を説明しました。
潮汐力がこの様に表される理由については別稿「潮汐力（起潮力）」の説明をお読みください。
ここでは、さらに一般的な任意の緯度θ（B点）における“潮汐力”（赤矢印）を計算します。
前項の図は地球の北極上空から見た図でしたが、下図は月の公転面に沿った位置から（つまり横から）見た図です。この場合も、月と地球の重心Ｇに対する地球回転の遠心力は、図の方向を向くことに注意してください。
Ｂ点に存在する質量ｍに働く潮汐力ΔＦBは、その点の遠心力ＦAと月の引力ＦBとの合力となります。Ｂ点の質量ｍに働く遠心力は地球中心Ｆ点の質量ｍに働く月の引力と同じになる事は別稿「潮汐力（起潮力）」で説明しております。ここが潮汐力を求めるときに最も重要な考察ですから、是非そこの解説を復習されてください。
ここで、Ｂ点に於ける三角形に於いて下記の比例関係が成り立つ。
これを用いるとＢ点に於ける“潮汐力”ΔＦBは
となる。Ｇ、Ｍ月、Ｒ、Δｒに具体的な値を代入すると
となる。縦軸をΔＦB／ｍ、横軸を緯度θ(あるいは赤道からの距離)として描いたグラフを次項の最後に示す。そこのθ＝0（赤道）での値は、確かに前項で求めた値に一致しています。
実際に海水の移動を引き起こす力として重要なのは水平方向の力です。そのため水平成分を取りだして図示すると
の様になる。実際の大洋の海水は自転する地球表面に張り付いています。そのため、地球の自転とともに月（太陽）との位置関係を変えていく。だから大洋の海水には潮汐周期（月12.42ｈ、太陽12ｈ）で大きさと方向が変わる水平方向の力が周期的に働くことになる。これが様々な潮汐現象を起こす。
Ｂ点に於ける潮汐力の水平成分ΔＦB水平は、前項の潮汐力ΔＦBから次のようにして求まる。
この中のＧ、Ｍ月、Ｒ、Δｒに具体的な値を代入してΔＦB水平／ｍを求めると
となる。これはＢ点での重力加速度ベクトルの“潮汐力による偏差加速度ベクトルの水平方向成分”を意味する。
縦軸をΔＦB／ｍ、あるいはΔＦB水平／ｍとし、横軸を緯度θ(あるいは赤道からの距離Ｌ)に取ったグラフを描いてみると下図の様になる。北緯90°はＬ＝1×107ｍです。
簡単に議論するために、地球の自転による回転楕円体への変形やそれに伴う重力加速度ベクトルの偏向を無視する。そのとき、潮汐力の働かないときの地球表面での重力加速度ベクトルは地球中心に向かい、その大きさは高校物理で習うように
で与えられる。
潮汐力が働くときには、地球表面での重力加速度ベクトルの方向は、前節で求めた偏向加速度ベクトルの水平成分ΔＦB水平／ｍだけ赤道方向に偏向する。もし地球表面に張り付いている海水面が、その潮汐力に直ちに対応するならば、海水面は、月に面した側と、その真反対側が盛り上がって、丁度ラグビーボールの様な形に変形します。
そのときの海水面は、各地点での偏向後の重力加速度ベクトルの方向に垂直になるはずです。次図はその事情を説明している。
潮汐力によって生じる重力加速度ベクトルｇ地球の偏向角をΔλとしています。赤道のＡ点から極のＣ点へ移動していくとき、Δλは0［ｒａｄ］から始まって中緯度で最大となり極で再び0［ｒａｄ］となります。
潮汐力が働いていない場合の地表面に対して、潮汐力平衡に達したときの地面がどれだけ傾いているかを表す量はtanΔλ［単位なし］となる。縦軸を勾配tanΔλ［単位なし］、横軸を赤道からの距離Ｌ［ｍ］としたグラフを描いてみると下図の様になる。ここで Δλ≪1 の場合に成り立つ近似 tanΔλ≒Δλ を用いている。
前述の潮汐力により変形した後の地球のＡ点（赤道）とＣ点（北極)との隆起量差Δｈは、tanΔλをＡ点（Ｌ＝0ｍ）からＣ点（Ｌ＝2πΔｒ／4＝1.0×107ｍ）まで子午線に沿って積分した値となる。
赤道から極までの子午線距離が1.0×107ｍ＝１万ｋｍとなるのは偶然ではなくて、元々メートル法の１ｍは、赤道から極までの距離の1／107倍と決められたからです。
この積分計算は、例えば高校数学で習う“シンプソン公式などの数値積分法”を用いれば簡単に実行できます。実際に計算してみるとΔｈ＝0.52ｍ程度となるが、これは積分を実施しなくても面積図形の様子から推測できます。
もちろん、月の公転半径の変化や太陽の潮汐力による変化がさらに付け加わりますから、地球に生じる実際の潮汐力変化にともなう隆起量はこれを中心にしてさらに数十ｃｍ程度は変化します。
［補足説明１］
Δｈが0.5ｍ程度になることは、別稿「潮汐力（起潮力）」５．ですでに説明しました。そのとき、地球の自転速度はかなり速いために海水面の隆起量Δｈは地球自転速度に追従して地球表面を移動する事はできません。そのため現実に起こる潮汐現象を説明するためには、長波の理論に従った動力学的な考察が必要です。
追従できないのは海水面の話で、地球の地殻自体の変形は潮汐周期に追従して変形しているようです。
［補足説明２］
地球の潮汐変形が地球の自転速度に追従できないために、地球の自転速度の減少と月の公転速度の加速が生じます。このことについては、別稿「月の潮汐力が地球の自転を遅らせ月の公転を加速する」をご覧ください。
［補足説明３］（2018年10月18日追記。NHK番組サイエンスアイでの香取秀俊氏の説明より）
ここで述べたように、地球表面は月や太陽の潮汐力により、それぞれの潮汐周期で上下動を繰り返している。海水面の潮汐力による上下動は地殻に対する相対的な海水面の上下動でその変動を直接追跡する事は可能ですが、地球の地殻表面自身の伸縮（上下動)を直接測定することは難しい。しかし、現在ではＧＰＳ技術を使ってかなりその変動の様子を知ることができるようになってきました。その結果、実際に月の潮汐力により地球の地殻表面は（潮汐周期で）40cm程度の振幅の上下動を繰り返しているようです。
ところで、最近実用化された“光格子時計”は地球重力場に対する数十センチ程度の上下動に伴う（一般相対性理論による）時間の進度の変化でも検出することができます。そのことは別稿「双子のバラドックスと一般相対性理論」５．（１）［補足説明２］でも説明しました。
そのため、この光格子時計を世界中の大陸地殻表面に設置すれば地面の潮汐力に伴う地殻の変形もリアルタイムで計測できるだろうと考えられています。この光格子時計の驚嘆すべき時間の測定精度は今後様々な利用法が考えられそうですね。
木星がイオに及ぼす潮汐力の変化はイオの公転半径が変化する事によって生じます。これは月が地球に及ぼす潮汐力の変化が地球自転に伴って生じるのとメカニズムが異なります。その点に注意されて以下の説明をお読みください。
木星の衛星イオの公転軌道離心率は0.0041程度です。これは地球の離心率0.0167よりも小さく真円に近い。イオの近日点距離Ｒminと遠日点距離Ｒmaxは下記の様な値です。
この程度の公転半径の変動で、イオ内部が発熱して火山活動が生じるほどの潮汐力が生じるとはにわかに信じられません。次節で公転半径の変化に伴う潮汐力の変動を計算してみます。
恒星空間に対するイオの公転周期と自転周期は1.7691日＝42時間27.6分程度です。つまり、イオの“公転周期”と“自転周期”は同じです。これは“木星がイオに及ぼす潮汐力の働きによって、位置エネルギー的に安定な自転周期と公転周期の一致した状態になっているため”です［シリーズ現代の天文学９「太陽系と惑星」日本評論社（2008年刊）のp108］。
その辺の事情は月と同じですが、木星のガリレオ衛星（イオ、エウロパ、ガニメテ゜、カリスト）などを含めて、他のほとんどの衛星もそうなっている。
イオの公転運動について重要な事は、イオの自転周期は公転周期と同期しているために、イオはいつも同じ面を木星に向けているということです。衛星の惑星に面した半球を“表側”（near side）、その反対側の半球を“裏側”（far side）と呼びます。
そのとき、もしイオと木星の距離に変動がなければ、木星の潮汐力に因ってイオに生じる地殻の変形は時間的に変化しません。イオに生じる激しい地殻変化はイオと木星間の公転半径の変動が原因と考えられています。次節でそれを確かめる計算をしてみます。
木星によってイオ表面に存在する質量ｍに生じる潮汐力は２．（１）１．で説明した地球の場合と全く同様に計算できる。そこの図をイオと木星に置き換えて、Ａ点に生じる潮汐力を計算してみる。
地球の場合と全く同様に考えて、イオの“裏側”（far side）Ａ点における“潮汐力”（赤矢印）を求める。
であるから、イオが木星に最も近づいた時の“潮汐力”ΔＦARminは
イオが木星から最も遠ざかったときの“潮汐力”ΔＦARmaxは
となる。
イオの地殻を周期的に歪ませる潮汐力の変化は、これらの潮汐力の公転運動に伴う差だから、ΔＦARmin－ΔＦARmax≡Δ’ＦAを見積もればよい
となる。これは、月に因って地球の“裏側”（far side）Ａ点に生じる“潮汐力”が地球自転によって変化する量ｍ×1.1×10-6Ｎの137倍程度です。公転軌道半径の変化でこれほどの変化が生じるとは驚きです。
イオ地表面に於ける重力加速度は
だから、潮汐力による重力加速度のＡ点に於ける変動比は
となる。イオの重力加速度は地球の1/5程度だから、変動比では地球の750培程度となります。そのため、イオの地殻は公転とともにかなり変形する事が予想される。このあたりをもう少し調べてみる。
イオの地表面の変形を計算するために、任意の緯度θに於けるる“潮汐力”の公転に伴う変化量を求めておく。その求め方は前章の地球の場合と全く同じですから、ここではいきなり“潮汐力水平成分の変動量”を求めます。
今の場合下記の状況が成り立つ。
２．（１）３．の議論を参考にすると、イオが木星に最も近づいたときの“潮汐力水平成分”の加速度偏分は
イオが木星から最も遠ざかったときの“潮汐力水平成分”の加速度偏分は
となる。
イオの地殻を周期的に歪ませる加速度の変動量は、これらの偏分の公転運動に伴う差だから（ΔＦA水平Rmin／ｍ）－（ΔＦA水平Rmax／ｍ）≡Δ’ＦA水平／ｍを見積もればよい。
縦軸をΔ’ＦＡ水平／ｍ、横軸を緯度θ(あるいは赤道からの距離)に取ったグラフを描いてみると下図の様になる。
２．（１）３．のグラフと比較してみられたし。縦軸の値が地球の場合の137倍程度になっている事が読み取れます。
公転に伴って生じる潮汐力の変動によってイオがどの程度変形するか見積もってみよう。Δ’ＦＡ水平／ｍをイオの重力加速度ｇｲｵで割ってtanを取ると、緯度θ（赤道からの距離Ｌ）の地点での地表傾度の変化量のグラフが得られる。
２．（２）２．のグラフと比較してみれば解るように勾配変化の最大値は地球の場合の750倍程度となる。
前述の潮汐力により変形した後の地球のＡ点（赤道）とＣ点（北極)との隆起量差Δｈは、tanΔλをＡ点（Ｌ＝0ｍ）からＣ点（Ｌ＝2πΔｒ／4＝2.86×106ｍ）まで子午線に沿って積分した値となる。
積分を数値計算するのは面倒だから、グラフの様子からその面積を計算して隆起量差Δｈのおよその値を見積もってみる。図形の様子からその値は、0.00004×2.86×106ｍ～100ｍ程度となる。
イオは固体であるから、42時間の周期で変動する重力加速度ベクトルの変化を完全に追従して、平衡状態の形状を実現しているとは考えられないが、かなりの変形が生じることは確かです。
42時間周期で繰り返し生じる地殻変動の発熱で内部にマグマが発生して火山噴火が生じるのも頷ける。
［補足説明１］
岩崎恭輔著「アストラルシリーズ第６巻 惑星Ⅱ－惑星探査機がみた世界－」恒星社厚生閣（1988年刊）のp144～147に、イオの火山活動と、離心率の変動について興味深い記述がありますので引用しておきます。
［イオの噴火の写真はこちら］
本節で説明する発見は土星探査機カッシーニによってなされた。
カッシーニ (Cassini-Huygens) は、アメリカ航空宇宙局（NASA）と欧州宇宙機関（ESA）によって開発され、1997年10月15日に打上げられ、2017年9月15日まで運用されたた土星探査機です。
カッシーニは、金星→金星→地球→木星の順に合計4回のスイングバイを行なって2004年7月1日に土星軌道に到着した。カッシーニには惑星探査機ホイヘンス・プローブ
(2.7 m、320 kg) が搭載されており、タイタンでカッシーニより切り離されてタイタンに着陸し、大気の組成・風速・気温・気圧等を直接観測した。
これらの詳細は、2021年7/15放送の「NHKコスミックフロントNEXT“冒険者達が語る太陽形のヒミツ 土星”」や、Ｗｉｋｉｐｅｄｉａの記述などをご覧下さい。
エンケラドスは1789年8月28日にウィリアム・ハーシェルによって発見された。観測には彼の 1.2 メートル口径の望遠鏡が用いられており、これは当時としては世界最大の望遠鏡であった。エンケラドスは見かけの明るさが暗く、また土星とその環に近いため、小さい望遠鏡では地球から観測するのが難しい。ボイジャー2号による1981年8月の接近観測が行われるまでは、点としての画像しか捉えられておらず、その詳細な性質はよく分かっていなかった。
エンケラドスは2014年4月3日、米航空宇宙局 (NASA) は、カッシーニの観測によって土星の衛星エンケラドゥスに液体の水の大規模な地下海の証拠が発見されたと報告した。
エンケラドスの表面は氷で覆われているのですが、その表面に多数存在する割れ目（周囲より温度が高い）からら氷のプルームを活発に吹き上げていること発見されたのです。詳細な観測からそれは氷の層の内側に存在する地下の海から吹き上げられた水が凍ったものであると考えられています。
そして、地下の海の証拠はエンケラドゥスは「微生物が生息する太陽系で最も可能性の高い場所」の一つであることを示唆している。
太陽から離れた位置の土星を周回する小さな衛星であるエンケラドスに液体の水が存在するのは、本稿で説明している潮汐力によって衛星の形が変形する事に伴う内部摩擦の発熱作用によると考えられている。
ただし、エンケラドス（半径500km程度、公転半径24万km、公転周期33時間）の場合はエンケラドスの直ぐ外側を回転する土星の衛星ディオーネ（半径1100km程度、公転半径38万km、公転周期66時間）と土星からの両方の重力による潮汐作用によると考えられています。
エンケラドスは約33時間ごとに土星－エンケラドス－ディオーﾈが一直線に並ぶ配置を取り、そのたびにエンケラドスは楕円の長軸方向への変形作用を受けます。それが内部地殻の発熱作用を生じる。
オランダの天文学者クリスティアーン・ホイヘンスによって1655年3月25日に、土星を公転する衛星として初めて発見された。太陽系全体では地球の月、木星の4つのガリレオ衛星に次いで、6番目に発見された衛星です。土星半径の約20倍離れた軌道を公転しており、タイタンの表面から見た土星の大きさは約5.7度で、地球から見た月の11倍程度の視半径となる。
タイタン（英語読み Titan）またはティタンは、土星の第6衛星で最大の衛星である。 太陽系内の衛星としては唯一、豊富な大気を持つ天体であり、地球以外で唯一、表面に安定的に液体が存在することが確認されている天体です。
太陽系では木星ガニメデに次いで2番目に大きな衛星で、よく「惑星のような衛星」としても記述される。地球の月と較べて半径は1.48倍、質量は1.8倍。太陽系最小の惑星である水星よりも大きいが、質量はそのわずか40%しかない。
タイタンは主に氷と岩石で構成されているが、金星と同様に、分厚く不透明な大気によって、タイタンの表面に関してはほとんど知られていなかった。2004年以降、探査機カッシーニ搭載のホイヘンスによって、タイタン極地に液体炭化水素の湖が発見されるなどの新しい情報がもたらされた。地質学的に若い地表面はほとんど滑らかであり、クレーターが僅かにある程度だが、山や氷の火山と推定されるものが発見されている。カッシーニによる赤外線・電波観測機器によるデータを元にタイタンの全球地質図が作成され、2019年に公表された。
太陽系の衛星の中では唯一、濃い大気とメタン循環を持っている。大気の大部分は窒素であり、残りの僅かな成分はメタンとエタンから成る雲や、窒素に富んだ有機スモッグである。また、地球以外の天体で、安定した液体の存在が明確に確認されている唯一の天体でもある。タイタンには液体メタンの雨が降り、メタンおよびエタンの川や湖が存在すると考えられていた。このことは、カッシーニ探査により確認されている。風雨を含む気候は、砂丘や、液体メタンとエタンによる河川、湖、海、三角州といった地球と似たような特徴的な地形を作り出している。タイタンにある液体（表面と表面下層）と濃い窒素の大気は、94 K（-179.2 ℃、-290.5 ?）という極低温の状況下で、地球の水循環に似たメタン循環を起こしている。
土星に近づいたときの衛星タイタンは、球形ではなく、土星方向に少し伸びたラグビーボールのような形になる。その後、公転軌道上を半周して土星から遠くなったときのタイタンは、より球形に近づく。タイタンの公転周期は16日なので、「固体潮汐」と呼ばれるこのような変化が8日間で起こる。
ちなみに地球の場合、月と太陽による重力が海水面を引き上げていて、外洋では最高60cm程度引き上げられる。また同様に、地殻にも約50cmの固体潮汐が起こっている。
ローマ・ラ・サピエンツァ大学のLuciano Iess氏らは、探査機「カッシーニ」を使ってタイタンの固体潮汐を調べた。もしタイタンが岩石だけでできているなら、土星の重力は1m程度の固体潮汐を引き起こす。だが、2006年2月から2011年2月までの6回にわたり接近観測したデータによると、タイタンの固体潮汐は約10mに及んだ。これは、タイタンを構成するものが岩石だけではないことを示している。
「タイタンに働く土星の潮汐力は、木星の衛星に働く潮汐力に比べられるほどではありません。とても精密な測定だったのです。この重力測定によって我々は掘削することなく、タイタンの内部構造の詳細なデータを得ることができました」（NASAジェット推進研究所のSami
Asmar氏）。
観測されたような潮汐が起こるには、内部の海がそれほど大きかったり深かったりする必要はない。変形しやすい外部層と固体マントルの間に液体の層があれば、それでタイタンは土星を公転しながら膨張と収縮をすることができるからだ。また、太陽系のほとんどの衛星と同様、タイタンの表面も主に氷でできているので、内部の海もほとんど液体の水であると考えられる。
しかし、タイタンの表面下に液体の層が存在していても、それが生命の存在を示唆しているとは限らない。生命は岩石と接している液体水の中で発生すると考えられているからだ。今回の測定法では海底が岩石なのか氷なのかは判断できない。
今回の結果はタイタンのメタン補充機構の謎と密接に関係している。液体水の海にアンモニアが溶けると、アンモニア水が浮力で上昇する。上昇したアンモニア水が地殻を通過する過程で泡が発生し、その泡が地殻の氷からメタンを発生させる。このようにして、液体メタンが溜まった深い貯水池を作ることもできると考えられている。
「タイタンが持っている特徴は全て大量のメタンの存在によるものです。なのに、大気中のメタンは不安定で、短期間の間になくなってしまう。タイタンの内部にメタンが貯蔵されたプロセス、そこからメタンガスが地表に噴出するプロセスを解明することにおいて、今回タイタンで見つかった液体水の層は重要な鍵となるでしょう」（米コーネル大学のJonathan
Lunine氏）。
エウロパまたはユーロパ (英語: Europa) は、木星の第2衛星である。ガリレオ衛星と呼ばれる木星の四大衛星の中では最も小さく、発見されている木星の衛星の中では内側から6番目を公転する。月よりわずかに小さく、太陽系内の衛星の中では6番目に大きい。1610年にガリレオ・ガリレイによって発見され、ギリシア神話のゼウスが恋に落ちたテュロスの王女エウローペーにちなんで名づけられた。
エウロパは地上望遠鏡による観測に加え、1970年代前半以降は宇宙探査機のフライバイによる探査も行われている。1989年に打ち上げられたガリレオ探査機のミッションでは、現在のエウロパの全体のデータが得られている。これまでにエウロパに着陸した探査機は存在しない。
エウロパの主成分はケイ酸塩岩石で、水の氷からなる地殻を持ち、おそらくは鉄とニッケルからなる金属核を持つ。また、酸素を主成分とした極めて薄い大気を持つ。表面にはひび割れや筋状の構造が見られるが、クレーターは比較的少ない。
エウロパは既知の太陽系の天体の中で最も滑らかな表面を持っている。表面が若く滑らかであることから、地下には水の海 (内部海) が存在するという仮説が提唱されており、その海に地球外生命が存在する可能性についても議論されている。主要な理論モデルでは、潮汐力によるたわみに起因する加熱によって海が液体の状態に保たれ、プレートテクトニクスに似た氷の動きを駆動し、表面から下の海へ化学物質を吸収していることが示唆されている。内部海に起源を持つと思われる塩がエウロパ表面に見られるいくつかの地形を覆っており、このことから内部海は海底との相互作用を起こしていることが示唆されている。これはエウロパにおける生命の居住可能性を決める上で重要な要素である。
さらにハッブル宇宙望遠鏡による観測では、土星の衛星エンケラドゥスで発見されているものと似た水蒸気の噴出が検出されている。これは氷火山の噴火現象に起因するものであると考えられている。1995年から2003年まで木星を周回していた宇宙探査機ガリレオで得られたデータの厳密な分析に基づき、エウロパでの水の噴出活動の存在を支持するさらなる証拠が得られている。このような噴出活動の存在は、衛星表面に着陸すること無くエウロパの内部海における生命の探査を行うための手助けになるのではないかと科学者は考えている。
エウロパの木星公転周期は約3日半、軌道半径は約670,900 km です。軌道離心率は0.009で、ほぼ円軌道に近い。木星の赤道面に対する軌道傾斜角も小さく0.470°です。他のガリレオ衛星と同様にエウロパは木星に対して潮汐固定されており、公転周期と自転周期が一致している。
エウロパは、イオ、ガニメデと軌道共鳴を起こしている。イオの一つ外側のエウロパと 2:1 の平均運動共鳴を起こし、エウロパはさらに外側のガニメデと 2:1 の平均運動共鳴を起こしているため、全体では 1:2:4 の連なった軌道共鳴となっている。ガニメデが軌道を一周する間にエウロパは軌道を二周、イオは四周する。イオとエウロパの合 (木星から見て同じ方向に2つの衛星が並ぶこと) は、常にイオが近点、エウロパが遠点にいる時に発生する。エウロパとガニメデの合も、エウロパが近点にいる時に発生する。イオとエウロパの合の経度とエウロパとガニメデの合の経度は同じ割合で変化し、そのために三重の合は発生しない。すなわち、イオとエウロパとガニメデの3つが木星から見て同じ方向に並ぶことは無い。このような複雑な軌道共鳴はラプラス共鳴と呼ばれる、この共鳴を起こしているは、太陽系の中ではイオ、エウロパ、ガニメデが唯一です。
エウロパの軌道離心率は非常に小さいがゼロではなく、他のガリレオ衛星（主にイオから）の重力的な擾乱によってこの値が維持されている。軌道離心率がゼロではないので、軌道を一周する間にエウロパと木星との距離は変化する。エウロパが木星にわずかに近付くと木星からの重力が強くなり、エウロパは木星の方向とその逆方向の向きに引き伸ばされる。エウロパが木星から遠ざかると、木星からの重力が弱くなり、球に近い形状にもどる。この変化によって内部海に潮汐が発生、エウロパの内部が揉まれて熱が発生しで内部海を液体の状態に保つことを可能とし、地下での地質学的な活動が継続的に駆動されている。軌道離心率は主にイオとの平均運動共鳴によって継続的に維持されているため、潮汐によって継続的に加熱され続けることができる。
月もイオと同じように自転周期と公転周期が同期していて、いつも同じ面を地球に向けています。その為地球が月に及ぼす潮汐力の変化は月の公転半径の違いによるものが主となる。その変化量を月についても見積もってみます。
地球を回る月の軌道の離心率は0.0549程度です。これは地球の離心率0.0167よりも大きく、木星（0.0485）や土星（0.0555）に近い。月の近地点距離Ｒminと遠地点距離Ｒmaxは下記の様な値です。
厳密に言うと、［遠地点距離］－［近地点距離］は約７ヶ月半の周期で増減している。
月の公転軌道半径の変動による潮汐力の変動を見積もってみる。イオの数値を月の数値で置き換えて、イオと全く同様な考察をすればよい。
３．（２）２．の議論に於いて、イオを月に、木星を地球に置き換えて考えれば良い。地球の質量は5.97×1024ｋｇであるから、月が地球に最も近づいたときの“潮汐力水平成分”の加速度偏分は
月が地球から最も遠ざかったときの“潮汐力水平成分”の加速度偏分は
となる。
月の地殻を周期的にに歪ませる加速度の変動量は、これらの偏分の公転運動に伴う差だから（ΔＦA水平Rmin／ｍ）－（ΔＦA水平Rmax／ｍ）≡Δ’ＦA水平／ｍを見積もってみればよい。
公転周期は恒星に対して月が一週する時間である “１恒星月”＝27.321662日＝27日7時43分12.0秒 です。月の“自転周期”は、この恒星月に同期してることに注意してください。
［補足説明１］
厳密な事を言うと、ここの公転周期は恒星月ではなくて、“近点月”を用いなければならない。それは、月がその公転軌道上の近地点から軌道を一週して再び近地点までの期間で、平均27.554 5505日（27日13時18分33.16秒）です。
太陽の摂動による歳差の為に、月の近地点は地球に対して約8.85年で一周する。つまり、近地点は月が公転軌道を一周するごとに地球から見て東の方向へ（反時計回りに）約3°ずつ移動していく。このため近点月は恒星月より約5.5時間ほど長くなる。
縦軸をΔ’ＦＡ水平／ｍとして、横軸を緯度θ(あるいは赤道からの距離)に取ったグラフを描いてみると下図の様になる。
２．（１）３．や３．（２）２．のグラフと比較してみられたし。縦軸の値が地球の場合の7.5倍程度、イオの場合の１／１８倍程度になっている事が読み取れます。
公転に伴って生じる潮汐力の変動によって月がどの程度変形するか見積もってみよう。Δ’ＦＡ水平／ｍを月の重力加速度ｇ月で割ってtanを取ると、緯度θ（赤道からの距離Ｌ）の地点での地表傾度の変化量のグラフが得られる。
前述の潮汐力により変形した後の地球のＡ点（赤道）とＣ点（北極)との隆起量差Δｈは、tanΔλをＡ点Ｌ＝0［ｍ］からＣ点Ｌ＝2πΔｒ／4＝2.73×106［ｍ］まで子午線に沿って積分した値となる。
積分を数値積分するのは面倒だから、グラフの様子からその面積を計算して隆起量差Δｈのおよその値を見積もってみる。図形の様子からその値は、2.5×10-6×2.73×106ｍ～8ｍ程度となる。
月は固体であるから、約27.5日の周期で変動する重力加速度ベクトルの変化に追従して変形して平衡状態を実現するのは難しいようですが、上記の仮想平衡における変化量値は地球表面での値よりかなり大きな量であることは確かです。
［補足説明１］
実際の隆起量測定が、30年前のアポロ月面着陸やロシヤのミッションで設置された反射板とレーザー光線を使った距離測定によって2002年頃NASAによって行われたようです。それによると振幅10ｃｍ、すなわち、Δｈ～20ｃｍ程度のようです。
http://www.jpl.nasa.gov/releases/2002/release_2002_37.html
最近の月周回人口衛星“かぐや”のミッションでも、変形の測定が行われたようですが、そのデータの詳細を知りたいところです。
［補足説明２］
アポロ月着陸船により月に設置された複数の地震計は、何年にもわたって月の地震記録を地球に送ってきた。その結果解ったことは、月の地震は弱いが30分～数時間も継続する（これは月震動が長時間減衰せずに反射され続ける為らしい）。また月振は深さが800～1200ｋｍのかなり深いところで発生している。月震の頻度は月公転軌道の近地点距離と遠地点距離の差の変動周期（約7ヶ月半）で増減している。等々･･･が解ってきた。これらから、月震は、月の深部の岩石が、地球の潮汐力によってひしめき合うのが原因と推定されている。
［中村士著「太陽系をさぐる」岩波書店（1984年刊）p94より］
［補足説明３］
いずれにしても、27日周期で繰り返えされる地殻の変形によって発熱して、月の内部はかなり高温状態になっているかもしれない。この当たりについては下記の概説記事を参照されたし。
http://www.kaguya.jaxa.jp/ja/science/result_of_kaguya_j_info_201407.htm
惑星に生じる潮汐力変化とその衛星に生じる潮汐力変化は、そのメカニズムが違います。
惑星は一般的に衛星の公転周期と異なった（より短い）周期で自転しています。一方、惑星を回る衛星の自転周期は大半の衛星で公転周期と同期しており、いつも同じ面を惑星の方に向けています。
そのため、衛星によって“惑星に生じる潮汐力”は“惑星の自転”に伴って変化します。
一方、大半の衛星では自転周期と公転周期が同期しているために、惑星によって“衛星に生じる潮汐力”は“衛星の公転半径の変化”に伴って生じます。
さらに、ここでは考察していませんが、同じ惑星を回る他の衛星や太陽からの潮汐力も存在します。
特に太陽によって生じる潮汐力は無視できません。
また木星の衛星イオ、エウロパ、ガニメデの公転周期は１：２：４の比になっており、それらの衛星は公転軌道上の同じ位置で、木星とそれらの衛星の複数が一直線上に並ぶ軌道共鳴が生じます。そのため他の衛星もイオの潮汐力の変動に影響してきます。これらの衛星のためにイオの軌道が真円からずれて離心率がゼロでなくなるからです。
ただし、それらの衛星がイオに及ぼす潮汐力そのものは、木星とイオの間の公転半径の変動に伴うものに比べると1／100程度以下です。その程度以下だということは具体的な数値を代入すれば確かめられます。
惑星と衛星の質量差、惑星と衛星との距離、その離心率、等々･･･は、それぞれの惑星－衛星系で異なります。そのため、惑星と衛星に生じる様々な潮汐力の変化を比較するには、実際に数値を当てはめて計算してみることが必要です。
ちなみに
月によって、地球の“裏側”Ａ点に生じる潮汐力は、２．（１）１．で求めたように
程度です。これは地球の自転に伴って生じる潮汐力の変化です。
一方、月によって地球の“裏側”Ａ点に生じる潮汐力は、地球－月間の距離の変動伴って変化します。その変化量は
程度になります。これは上記の自転による変化量の 1／3 培程度です。
［補足説明１］
この効果のため、月が“近日点”にあるときの潮位は、その半恒星月前（13.66日≒約2週間前）あるいは半恒星月後の“遠日点”にあるときの潮位と比べて高くなります。したがって、二つの相継ぐ大潮において、両者ともが最高潮位差を記録することはなく、必ずいずれか一方の方が大きくなります。
［補足説明２］
ここで説明した月の公転半径の変化に伴う潮汐力変化の周期は、すでに注意したように“近点月”の周期です。
［補足説明３］
地球に生じる潮汐には太陽によるものもあります。それは別稿で説明したように月の半分程度の影響でした。そのとき、地球公転半径の変化に伴う太陽潮汐力の周期的な変化もあります。地球が太陽を回る公転軌道の近日点は、一年に付き約11秒＝0.00305度ずつ、地球の公転軌道に沿って前へ進む。これは他の惑星の摂動のためで、約10万年で一周する。そのため“近点年”は恒星年（約365.25636日）より約4分半ほど長い365.2596日＝365日6時13分53秒です。
木星によってイオの“裏側”Ａ点に生じる潮汐力は
程度です。もしイオの自転周期が公転周期と異なっていれば、この程度の潮汐力変化が自転周期に伴ってイオのＡ点に生じることになります。
一方、イオの“裏側”Ａ点に生じるイオの軌道半径の違いによる潮汐力の変化量は、３（２）１．で計算したように
程度になります。
これは上記の仮想自転による変化量の 1／40 培程度です。
地球によって月の“裏側”Ａ点に生じる潮汐力は
程度です。もし月の自転周期が公転周期と異なっていれば、この程度の潮汐力変化が自転周期に伴って月表面に生じることになります。
一方、月の“裏側”Ａ点に生じる月の軌道半径の違いによる潮汐力の変化量は、３（２）１．のイオと同様に計算して
程度に成ります。これは上記の仮想自転による変化量の 1／3 培程度です。
