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惑星探査機のスイングバイ航法

惑星探査機の航行に利用されるスイングバイ航法について説明します。これは運動量保存則の例です。

1.簡単な説明(運動量保存の法則)

スイングバイ理解の[第1の鍵]運動量保存則です。

(1)m1>>m2の場合

となり、m1はその速度を維持し、m2はぶつかる前の相対速度で弾き跳ばされるので、m1が持っていた速度との和になり増速する。例えば最初m2が静止していたらv2'=2v1、m2が左方向にm1と同じ速さ−v1で動いていたらv2'=3v1となる。

(2)m1=m2の場合

となり、速度を交換する。

(3)m1<<m2の場合

となり、m2はその速度を持続し、m1はぶつかる前の相対速度で弾き返されるので、m2が持っていた速度との差になる。そのためm1の速度は最初持っていた速度より遅くなる。

 これは高校物理の練習問題ですが、(1)が、スイングバイの原理を示している。が惑星、mが惑星探査機と考えれば、スイングバイ航法とは小さな惑星探査機が巨大な惑星に衝突されてはじき飛ばされる現象です。旨くやれば、探査機は惑星の公転速度の2倍以上の速度を得ることができる。そのぶん惑星の運動エネルギーと運動量は減少するが、質量が巨大故にそのことで生じる惑星の速度変化は無視できる。

 スイングバイ航法の本質は運動量保存則です。[運動の法則]、[運動量保存則]、[エネルギー保存則]は同等の内容を別な方向から見ているのですが、この現象の理解には運動量保存則の見方が最も適している。そのとき、エネルギー保存則は跳ね返り係数e=1の完全弾性衝突を代弁している(別稿「力積と運動量」参照)。惑星と探査機の相互作用は完全弾性衝突の例ですが、二次元、三次元の衝突では跳ね返り係数が定義できないので、跳ね返り係数の代わりにエネルギー保存則を利用する。

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2.二次元軌道による説明(ガリレオの相対性原理)

 二次元の運動でもう少し詳しく説明する。スイングバイを理解する[第2の鍵]ガリレオの相対性原理です。ガリレオの相対性原理とは「運動座標系の速度が光速度に比べてゆっくりの場合には、物理現象を静止した座標系から眺めても、等速直線運動をしている座標系から眺めても、同一の運動法則に従っているように見える」ということです。
 これは、惑星と共に動く座標系(その座標系では惑星は静止している。)で探査機の運動を論じ、その結論をそのまま太陽静止(惑星が公転速度で動いているように見える)の座標系に移せば良いことを言っている。だから、まず静止している惑星の回りの探査機の運動を論じる。

 話を具体的にするために、スイングバイをさせる惑星を木星とする。木星から無限遠離れた位置(実際には0.2天文単位程度離れれば無限遠とみなせる)での探査機の速度をv0として、様々な侵入距離p(下図)で木星に接近させて軌道の変化する様子を調べる。ちなみに与える速度は木星の公転速度(v=1.3×104m/s)と同程度の速度とする。

  探査機の速度が無限遠点でゼロなら探査機の飛行軌道は放物線に、有限速度なら双曲線となる。厳密に論じるには軌道が双曲線軌道になることから証明しなければならないが、ここでは、探査機の軌道は双曲線軌道を描くことは解っているとして運動量保存則エネルギー保存則から何が言えるかを調べてみる。考え方は別稿「質点の二次元運動(放物運動、楕円運動)」3.(3)の楕円軌道や、「ラザフォードのα線散乱実験と有核原子モデル」5.(2)の双曲線軌道と同様である。

このとき、探査機は図の方向に飛び去り最終的に初速v0と同じ速度で木星から離れていく(木星静止の座標系から見て)。このとき

となる。上式のpを偏向角θと関係づけるために、上図を反時計回りに角度Φほど回転して標準形の双曲線グラフにする。

この形のとき成り立つ双曲線の性質(別稿「二次曲線の性質」2.(4)参照)を用いて

となる。これを前出の式に代入して整理すると

が得られる。これが欲しかった式である。

 この中で重力定数G、木星質量M、侵入速度v0は全て与えられた値である。だから侵入距離pを調節すれば木星を通過した後に、探査機を任意の方向へ飛ばすことができる。侵入距離pの調整は、木星接近時にロケットエンジンを進行方向と垂直にごくわずか働かすことで実行できる。
 スイングバイによる加速を最も効率良く引き出すには、角度θが何度で木星から離れていくようにすれば良いであろうか。それは1.で述べたように木星の進行方向にはじき飛ばされるようにするのが良い(下図)。つまり木星から離れていく探査機の速度ベクトルの方向を木星の公転速度の方向と一致させると最大の速度を得ることができる。
 なぜなら、木星静止の座標系(ここで用いているもの)から太陽静止の座標系に移ると、探査機の速度ベクトルは、[木星静止座標での探査機の離脱速度ベクトル(大きさは初速v0と同じ)]+[木星の公転速度ベクトル(v=1.3×104m/s)]のベクトル和になるが、上記の場合、両速度ベクトルは同一方向での和になり、それ以外の方向の場合は、両速度ベクトルがつくる平行四辺形の対角線の大きさになるからである。
 太陽静止系での探査機の速度ベクトルが、そのようになることをガリレオの相対性原理は保証している。

 太陽静止の座標系から見て、探査機がどのように動くかを知るには、まず木星静止の座標系の双曲線軌道上での位置を時間の関数として求める。そして次に、木星静止の座標系から太陽静止の座標系に移る。その座標上で木星をその公転速度ベクトルで移動させて、各時間の探査機の位置を、太陽静止の座標系上にプロットすればよい。そのとき探査機が木星近辺を移動している間の時間程度では、木星はほぼ等速度運動をしていると見なせる。

 下図は木星から1天文単位離れた位置で13.1km/sの速度を持ち、その点と木星を結ぶ直線に対して木星の右0.1°〜0.5°の角度で侵入していく惑星探査機の軌道を木星静止の座標系で示している。それらは木星を経過した後、木星の進行方向に1天文単位離れた位置を通過するような位置関係で軌道を表示している。このとき大事なことは、木星の進行方向の後方で木星公転軌道を横切ることです。そうすると木星から運動量をもらうことができる。

 木星静止の座標系で見ると惑星探査機の速度の大きさは木星通過の前後で変化せず、単に完全弾性衝突であることを示しているにすぎない。しかし太陽静止の座標系で見ると明らかに惑星探査機は増速している。
 この当たりの事情は、ちょうど1.(1)において、m1静止の座標系から見るとm2のm1に対する相対速度の大きさが衝突の前後で変わらないのに、元の座標系で見るとm2の衝突後速度の大きさが衝突前相対速度の大きさにm1の速度を足したものになることに対応する。

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3.重力場の繋ぎ替え(惑星の重力場から太陽の重力場へ)

 [第3の鍵]は、探査機は、ほとんどの時間を太陽の重力場の中を飛行するということです。2.項の運動を木星静止の座標系から見ると探査機には何の得も無いように見えるが、太陽を中心とした太陽静止座標系から見ると話は変わってくる。2.項の議論から明らかなように、旨くやれば木星軌道の位置で木星の公転速度ベクトルの方向に木星公転速度の約二倍以上の速度を得ることができるのだから、太陽引力を振り切ってより遠くの惑星、さらに恒星空間に到達できることになる。

 厳密言うと探査機は太陽の引力ポテンシャル場と木星の引力ポテンシャル場の重ね合わされたポテンシャル場の中を飛行する。その合成されたポテンシャル場の様子を下図に示す。

 木星の質量は太陽の約1000分の1であるから、木星と太陽の距離の30分の1程度木星から離れれば木星の引力の影響はほとんどなくなる。(以下の計算参照)

 太陽に対してほぼ円運動をする木星の軌道位置で、仮に木星の公転速度の2倍の速度を探査機が得たとすると、太陽の回りをその距離で円運動する為に必要な運動エネルギーの4倍の運動エネルギーを得たことになる。円運動の場合の運動エネルギーの2倍(速度では21/2倍)を持てば無限の彼方まで飛び去る放物線軌道に移れる。それよりもさらに大きな運動エネルギーを得たのだから、探査機は太陽の重力圏を振り切ってはるか彼方の恒星空間へ飛び立つ、双曲線軌道に乗ったことになる。(別稿「質点の二次元運動」参照)

 惑星探査機は地球を出発するときにロケットエンジンを用いてある速度まで加速するが、それ以後は微少な方向調製以外にはロケット燃料を使用しない慣性飛行で目的の惑星に飛んでいく。

例1 ボイジャー1号、2号

 1977年8月20日に地球を速度v=36km/sで出発した探査機ボイジャー2号は、スイングバイ航法により木星(10km/s→21km/s)と土星(16km/s→24km/s)で増速し、天王星と海王星を観測して恒星空間へ旅立った(下図)。この当たりの位置関係は天文ソフトmitakaで確かめることができる。

ボイジャーの解説   ボイジャー搭載のレコード

 ちなみに海王星の公転軌道半径は30天文単位だから、地球から海王星までをホーマン軌道で移動させるとすると約30年かかる(下図参照)。しかしボイジャーはたったの12年で到着したのだからいかに効率よく増速されたかが解る。

 以下に、地球、木星、土星、海王星について、それぞれの公転軌道半径の位置での太陽系脱出速度の計算値を参考に示す。上記のスイングバイにより獲得した速度と比較してみて欲しい。(詳しくは別稿「惑星探査機の軌道と飛行速度」参照)

例2 パイオニア10号、11号

 パイオニア10号、11号は木星によるスイングバイで増速して恒星空間に旅発っていった。地球外生命との遭遇を考え、太陽系や人類の様子を記した金属板を搭載した惑星探査機として有名。

例3 マリナー10号

 スイングバイを利用して逆に減速する事も可能です。1.の解(3)の場合で1が探査機、m2が惑星と見なせばよい。その具体的な例が1973年のマリナー10号の飛行である。マリナー10号は金星よりも速い速度で金星に追いついて行き、金星の進行方向の前方で金星軌道を横切る事で減速と軌道の方向修正を実現した。(下図)

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4.参考書

  1. スイングバイ航法は、パリティ編集委員会編「間違いだらけの物理概念」(丸善刊)の堀源一郎著「スウィングバイのエネルギー源は?」に詳しく解説されている。高校生には少し難しいが、ここでの説明が理解できたら十分解読できる。
  2. 天文ソフトmitakaPlusにボイジャーの三次元飛行軌道図がある。ダウンロードサイトはこちら
  3. 山川宏著「宇宙探査機はるかなる旅路へ(宇宙ミッションをいかに実現するか)」化学同人社(2013年刊)
     最近出版された本ですが、スイングバイ航法を利用した様々な探査機のミッションとその軌道の特徴が紹介されています。軌道設定上の注意点も説明されていますのでご覧ください。
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