以下は、マックス･ボルン、エミル･ウォルフ著「光学の原理�T」付録�Wからの引用です。δ関数は当ＨＰでも何度か出現しましたし、今後さらに利用することが予想されますので、この関数の性質を確認しておきます。

Diracのδ関数（impulse function）

１．δ関数の定義

［補足説明］
　関数（3）の（2）式の形での積分値が １ となることの証明は、別稿「マックスウェルの速度分布則１」２．（２）などを参照して下さい。　

２．δ関数の性質

［補足説明］
　（5）式をδ関数の“推移性”と言っているが、要するにｆ(ｘ)に関数δ（ｘ−ａ）を乗じて積分をすれば関数ｆ（ｘ）のｘ＝ａの位置の値が得られると言うことをいっているにすぎない。
　
　（5）式に於いてａ＝0とすると

となるが、これはδ関数が、“クロネッカーのデルタ”

の自然な拡張に成っている事を示している。
　
　また、（5’）式に於いて関数ｆ(ｘ)＝１と見なせば、（5’）式は（1ｂ）のδ関数の定義式そのものに帰着する。

［補足説明］
　例えば（9）式について、δ関数を(3)式のμ→∞の場合で定義すれば、(3)式は“偶関数”だから(9)式が成り立つのは明らかですが、ｆ(ｘ)δ(-ｘ) と ｆ(ｘ)δ(ｘ) の積分を比較しても良い。
　ｆ(ｘ)δ(-ｘ) の積分は

であり、 ｆ(ｘ)δ(ｘ)の積分は、（5）より

となる。両者の右辺が同じだから、（9）式が成り立つ。

［補足説明］
　（11）式も下記の二つの積分を比較すれば証明できる。

３．δ関数の微分

［補足説明］
　（15）式は、ｆ(ｘ)δ’(-ｘ) と −ｆ(ｘ)δ(ｘ) の積分を比較して証明する。

　
　（16）式も同様に、ｘδ’(-ｘ) と −δ(ｘ) の積分を比較して証明する。最初の積分は部分積分を用いる。

４．Fourierの積分定理とδ関数

［補足説明］
　Fourierの積分定理とδ関数の関係に付いては、別稿「熱伝導方程式（拡散方程式）とその解法」３．（３）も参照されて下さい。
　Fourierの積分定理、Fourier変換、Fourier級数、δ関数は、もともと熱伝導方程式（拡散方程式）の解法に関係して導入、発展してきた概念です。