壁と床の両方に摩擦が有る場合の梯子の立てかけ問題

　壁と床の両方に摩擦が有る場合の梯子の立てかけ問題を例にして、高校物理に於ける摩擦の取り扱いを考えてみます。

１．大学入試問題で見かける例

　以下の例は大学の入試問題とその解答です。　これらの問題では、“壁と床の両方に摩擦力が働く”としている。壁にも当然摩擦はあるのですから、これは実際の状況に即した問題です。しかし、これがはたして高校レベルの知識で解けるのだろうか？

例１

例２

例３

２．問題点の提起

　前節の問題ではいずれも、梯子が滑って倒れる臨界値を求めるために、“滑り出す直前には床と壁が同時に最大静止摩擦力に達する”という条件を用いている。はたしてそのような仮定が許されるのだろうか。そのことについて考察する。

（１）最大静止摩擦以内でつり合っている状態

　以下の議論では話を簡単化するために梯子の質量はゼロとし、人の重さＷだけが働いていると考える。また滑り出す直前の臨界値ではない通常の釣り合い状態を考える。
　そのとき摩擦力Ｆ_ＡやＦ_Ｂのいずれもまだ最大静止摩擦に達していないので、それらの摩擦力を摩擦係数μ_Aやμ_Bによって垂直抗力Ｎ_ＡやＮ_Ｂと結びつけることはできない。


　このうち（１）（２）式を用いると（４）式は（３）式と同じになるので結局独立な式は３個となる。しかし未知数はＮ_Ａ、Ｎ_Ｂ、Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂの４個なのでθ、ｌ、ｘ、Ｗが与えられてもＮ_Ａ､Ｎ_Ｂ、Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂは一意には決まらない。このことは図２を検討すれば明らかです。

１．摩擦係数が非常に大きな場合

　人が梯子のＣ_１点（図２参照）に載っているとき、抗力Ｒ_Ａ、Ｒ_Ｂから生じる摩擦力Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂが各面での最大静止摩擦力以内であれば図２の（１）、（２）、（３）・・・等々のいずれもが解になり得ます。
　（１）、（２）、（３）・・・のいづれにおいてもＲ_Ａ、Ｒ_Ｂ、Ｗの合力はゼロなのですから、図中の力が“力のつり合い”と“力のモーメントのつり合い”の式を満足することは明らかです。結局、合力の作用点が作用線Ｌ_１上にありさえすればいずれも解になります。この当たりの力の合成については別稿「剛体の静力学」を参照。

　人が梯子の上をＣ_１点からＣ_２点へ移動した場合でも、やはり同様に摩擦力Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂが各面での最大静止摩擦力以内であれば図２の（４）、（５）、（６）・・・等々のいずれもが解になります。Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂが最大静止摩擦力以内でありさえすれば、合力の作用点が作用線Ｌ_２の上にあれば“力のつり合い”と“力のモーメントのつり合い”の式を満足する解Ｒ_Ａ、Ｒ_Ｂが存在します。

［補足説明］（2017年6月5日追記）
　最近、ある読者の方から上記の抗力Ｒ_Ａ、Ｒ_Bは、［梯子の傾き］、［Ｃ点のｙ座標］、［荷重ＷのＡＢ上の位置］の変化に応じて、下記の変化をすることを教えていただきました。確かに興味深い関係です。

　図には作用点Ｃの鉛直方向の変化の様子しか描いておりませんが、荷重ＷがＢ点から出発して梯子ＡＢ上を登って行くと線分ａ_Aｂ_Aとａ_Bｂ_Bの間隔は（平行関係と傾きを保ったまま）次第に狭まって行き、やがて入れ替わります。上図は入れ替わってから、さらに少し登った状況を示しています。
　ところで、摩擦角θ_A、θ_Bは、上図の変化とは関係なく定まっていますから、上図の変化が（２）１．で説明する事柄に影響を与えることはありません。

２．摩擦係数が有限な場合

　前項では摩擦力Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂが各面での最大静止摩擦力以内であると仮定した上での話しでしたが、現実には壁も床も静止摩擦係数μ_Aとμ_Bで定まる最大静止摩擦力による制限があります。
　それぞれの摩擦係数から定まる摩擦角をθ_Aとθ_Bとすると

となりますので、つり合い時に合力の作用点が存在できるＬ₁とＬ₂上の区間は下図の赤矢印範囲内となります。

　実際には、梯子のＢ端が床から受ける摩擦力は左向き、Ａ端が受ける摩擦力は上向ですので、上図の黄色で表した領域内に合力の作用点は存在するはずで、その場合には梯子は滑らずつり合いを保ちます。
　つまり、合力の作用点Ｏが上図の黄色の領域内のＬ₁あるいはＬ₂上にあれば、どの場合でも前記の（１）〜（４）式のつり合いの条件式を満たすのです。
　このとき人が乗っている位置Ｃ₁やＣ₂が決まったときに、合力の作用点が上図黄色範囲内のＬ₁やＬ₂の何処に有るかは前記の４つの方程式からは決まりません。それを決めるには、床と壁の摩擦力と垂直抗力をどちらがどの程度分担するのかを決める“条件関数”がさらに必要になります。それが無いのなら、Ｎ_Ａ､Ｎ_Ｂ、Ｆ_Ａ、Ｆ_Ｂを一意には決めることはできないのです。

（２）人が梯子を登るときの合力の作用点の移動

１．壁と床の両方に摩擦が有る場合

　今仮に、摩擦力が最大静止摩擦力以下でも摩擦力がどの程度あらわれるかを決める関数とか、あるいは床の垂直抗力と壁の摩擦の間、床の摩擦と壁の垂直抗力の間で、どちらがどの程度の力を受け持つかを決める“条件関数”が存在して人がＣ₁にいるとき、その合力の作用点が下図のＯ₁点に定まったとしましょう。

　人が梯子を登ってＣ₁→Ｃ₂→Ｃ₃→Ｃ₄→・・・と移動していくと、合力の作用点Ｏは前記の“条件関数”に従ってＯ₁→Ｏ₂→Ｏ₃→Ｏ₄→・・・と移動していくはずです。そうしてやがて上図のａｂか又はａｃの境界線上に来るはずです。
　このとき、　最初にあげた大学入試問題を解くときに必要な前提“滑り出す直前は床と壁が同時に最大静止摩擦力に達する”が成り立つためには、境界に達した後の作用点は、境界を突き抜けるのではなくて、境界に沿ってａ点に向かって移動しなければならない。
　つまり床や壁のどちらか一方の摩擦力がおのおのの最大静止摩擦力を越えそうになったら、越えそうになった摩擦力の増加がそこでストップ（より詳しく言うと静止摩擦係数μの割合でのみ変化）して他方の摩擦力が増大していくという“別のメカニズム”が必要となります。はたしてその様な都合の良いメカニズムが有るのだろうか？
　
　確かに、図５のＯ₃→Ｏ₄→ａの変化は線分ＢＯ₃→線分ＢＯ₄→線分Ｂａの傾きが大きくなる方向に変化します。ですから、梯子上を移動する人の体重が一定ならば、壁のＡ点に働く垂直抗力（壁を押さえつける力と言っても良い）はだんだん増えていきますから、それに応じる形で壁から働く静止摩擦力も摩擦係数μの割合で増えいっても良さそうです。そのとき床のＢ点では常に最大静止摩擦力以下ですから問題有りません。つまり境界ａｂ上ではＡ点についての普通の最大静止摩擦力に関する公式（最大静止摩擦力∝μ×垂直抗力、但しμは一定値）が“条件関数”として働き始めるのかもしれません。
　また、ｃ→ａ線上を移動する場合は、床のＢ点に働く垂直抗力つまり床を押さえつける力は変化しますが、μに応じて床の静止摩擦力が変化するとすれば、壁の摩擦力が最大静止摩擦力以内におさまっていますから、作用点はｃ→ａ線上を移動するかもしれません。この場合も、Ｂ点についての最大静止摩擦力に関する公式（最大静止摩擦力∝μ×垂直抗力、但しμは一定値）が“条件関数”として働き始めるのかもしれません。
　
　そのメカニズムを保証するものが高校物理の摩擦の理論の中に有れば、この問題は解けますが、もし無いのならばこの問題は成立しません。

２．壁の摩擦が無い場合

　普通よく見かける壁の摩擦がない問題は、上図の壁の摩擦角がθ_A＝0となった場合です。

　このとき、上記の問題が解けるのは、“壁面に於いて任意の垂直抗力に対して摩擦力は常にゼロである”という条件があるからで、これは前述の“条件関数”に他なりません。
　このときには、上記の“条件関数”がありますので合力の作用点は一意に決まります。そして人が梯子を登れば合力の作用点は図のようにａｂ線上を一意に移動していき、合力の作用点が点ａに達したとき梯子は滑って倒れます。
　もし摩擦角θ_Bがθ_B＞θの場合には人がＡ点まで登っても梯子は滑って倒れることは有りません。
　いずれにしても、この場合には完全に解けます。

３．私の見解

　前節２．（２）１．の最後で述べたように、たしかに人が梯子を登るにつれてＡかＢの一方の摩擦力が最大静止摩擦力に近づいて、いよいよそれを越えて滑り出そうとすると、梯子を静止させている力は他方の点に掛かってくるのかも知れません。そして他方の摩擦力が増大して上記の都合の良い“別のメカニズム”が存在するのかもしれません。
　しかし、それは大いに疑問です。

1. 　まず、言えることは作用点が境界ａｂやａｃ上を動く“別のメカニズム”の前に、Ｏ_１、Ｏ_２、・・・の位置がどこであるかをまず問題にすべきです。その当たりの“条件関数”の議論を棚上げにしておいて、例に上げた問題の様に、いきなり図５中の黄色領域の境界線に沿って移動してａに達するという議論をしても、それはないだろうと思います。
   　高校物理では“最大静止摩擦力以下の場合には、垂直抗力に対して任意の比率の摩擦力を取り得る。”と習うわけですが、私自身は、最大静止摩擦力以下でも、その任意の比率の内のどれを取るのかを定める法則が存在するのではないかと思っています。もちろん壁面や床面の傾きやその表面の様子に依存しますが、そういった法則（“条件関数”）が存在するはずです。
   　図６の場合の“壁面に於いて任意の垂直抗力に対して摩擦力は常にゼロである”もそういった“条件関数”の一つであると言える。
2. 　次に言えることは、高校物理では静止摩擦から動摩擦に移行する瞬間の事柄は取り扱わないし、取り扱えないのです。
   　私自身は、最大静止摩擦を超えた次の瞬間（図５のＯ₃を越えたとき）に壁面の摩擦力はほとんどゼロにまで減少するのではないかと思っています。その時梯子にはそれまで加えていた力のみが働き力Ｆ／ｍで決まる加速度が瞬間的に生じて物体が動き出し動摩擦の領域に入っていくのではないでしょうか。
   　そのため、例えば図５の作用点Ｏ₁が水平左方向に移動して境界ａｃを越えるに至ったとき、まずＢ点が滑って、Ｂ点で床から梯子に働いていた摩擦力は一瞬ほとんどゼロになる。それに応じて梯子がＡ点で壁を押していた力もゼロとなる。そのためＡ点の垂直抗力もほとんどゼロになるので、Ａ点に於ける摩擦係数μ_Aが何であろうと壁側のＡ端も一気に滑ってしまうのではないだろうか。つまり前記の都合の良い“別のメカニズム”は無いのではないか。
3. さらに言えることは、静止摩擦から動摩擦に移行する瞬間には加速度が生じますから“力のつり合い”や“力のモーメントのつり合い”の式は成り立ちません。だから本来前記の（１）〜（４）式を用いて臨界状態を議論することはできない。だから図５の黄色領域の境界線上でどの様なことが起こるのか簡単に推し量ることはできない。

結局、この問題は高校物理の問題として成立しないと思います。

４．受験生への助言

　もし君達が大学受験で最初に述べた様な問題に出会ったら色々疑問はあるでしょうが、それは置いておいて前述の仮定“滑り出す直前は床と壁が同時に最大静止摩擦力に達する”を用いて解いて下さい。それ以外の解き方は有りません。
　注意深い入試問題作成者は上記の問題点に気付いておられるようで、壁と床の両方に摩擦力が働く問題はさけています。そのためこのテーマの出題のされ方は

1. 摩擦は床には働くが、壁や塀には働かないとする。
   
2. 梯子を立てかける物体の形を下図の様なものにして両端に摩擦が働かないとする。
   
3. ロープなどで下端を引っ張り、梯子の両端に摩擦が働かないとする。
   

のいずれかの形が多いようです。
　これらのいずれの場合も、摩擦が働かない接点では垂直抗力のみが働くことになり未知数が一つ減り、最大摩擦力以下の状況でも２．（１）で立てた連立方程式を完全に解くことができます。
　そのため、その解の極限として最大静止摩擦力を越える状況を議論することができて、Ａタイプの問いでは梯子が滑る臨界値を求める事ができます［２．（２）２．図６参照］。