このとき
と置けば、実数の積分の定義より
が成り立つことが言えるが、実数の線積分が有限確定値に収束することが証明できているので、上記の複素積分も有限確定値に収束することが証明できる。［証明は省略］
複素積分を手短に復習する為のページです。別の稿で利用するために作りました。
ｆ（ｚ）はある領域Ｄで連続であるとし、その領域内に２点Ａ、Ｂをとり、これを一つの曲線Ｃで結ぶ。曲線Ｃをｎ等分し、ＡからＢに向かって純にｚ1、ｚ2、ｚ3、･･･、ｚn-1をとり、これらの点で区切られる曲線の各部分の上に、任意の点ζ1、ζ2、････、ζnをとる。そのとき次の和のことを積分路Ｃに沿ったｆ（ｚ）の複素積分と呼ぶ。
このとき
と置けば、実数の積分の定義より
が成り立つことが言えるが、実数の線積分が有限確定値に収束することが証明できているので、上記の複素積分も有限確定値に収束することが証明できる。［証明は省略］
積分路Ｃが点ａを中心とする円の場合、以下の式が成り立つ。
次は複素積分について最も重要な定理です。
ｆ（ｚ）が閉曲線Ｃで囲まれた領域ＳおよびＣの上で正則であれば、常に次式が成り立つ。
これをコーシー（Cauchy）の定理（1825）という。正則であると言うことの意味については別稿のこちらを参照。
［証明］
実積分に関する二次元のグリーンの定理から
が言える。
これらの式と、ｆ（ｚ）が閉曲線Ｃの内部で正則だから、その領域内でコーシー・リーマンの関係式を満足することを用いると
となる。
［証明終わり］
コーシーの定理から直ちに次の定理が導ける。
ｆ（ｚ）は領域Ｓで正則とし、Ｓ内の二点Ａ、ＢをＳ内の二つの連続曲線Ｃ1、Ｃ2で結ぶとき、閉曲線Ｃ1＋Ｃ2の内部に不正側点が無ければ
である。これは上下端Ａ、Ｂを固定しておけば、積分路Ｃが不正側点を通らない限り連続的に変形しても、この積分値が変わらないことを意味している。
閉曲線が以下の様なものであり、図の斜線の領域と境界曲線上Ｃ、Ｃ1でｆ（ｚ）が正則であれば以下の関係式が成り立つ。
Ｃの内部に他の閉曲線Ｃ1があり、ｆ（ｚ）はＣとＣ1の上及びその中間の領域で正則である場合
Ｃの内部に有限個の閉曲線Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3・・・・があっても同様のことがいえる。すなわち
ただし、ＣおよびＣn（n=1,2,･･･）を回る方向は同一方向に取る。
関数ｆ（ｚ）は領域Ｓで正則とし、ｚ0をＳ内の定点、ｚをＳ内の任意点とし、ｚ0とｚをＳ内の連続曲線Ｃで結ぶ積分路に対して
を考えれば、これはｚ0、ｚを与えればＣには依存しないからｚのみの関数である。これを
と書いてｆ（ｚ）の不定積分という。そのとき以下の定理が成り立つ。
ｆ（ｚ）が領域Ｓで正則で、Ｓ内の任意の二点ｚ0、ｚをとるとき、積分
は積分路に無関係な一定値をもち、Ｆ（ｚ）はＳ内で一価正則関数であり、その導関数はｆ（ｚ）に等しい。
［証明］
［証明終わり］
Ｆ（ｚ）のことをｆ（ｚ）の原始関数と言うが、原始関数が求まれば定積分の値を求めることができる。すなわち
関数、ｆ（ｚ）、Ｆ（ｚ）がＳで正則で、Ｓの各点で
ならば、Ｓの二点ａ、ｂに対して
である。
上記の結論を利用すれば
の値が計算できる。すなわち
特に積分路Ｃが閉曲線をなしてａ＝ｂの場合には
となる。この結論は、とても重要で色々なところでしばしば用います。
次も重要な定理です。
関数ｆ（ｚ）が閉曲線Ｃの上及びその内部において連続で、内部で正則な場合、Ｃ内部の任意の点ｚの値は
で表される。これをコーシー（Cauchy）の積分公式という。
［証明］
［証明終わり］
とくにＣがｚを中心とする半径ｒの円の場合にはζ−ｚ＝ｒｅｉθ、ｄζ＝ｉｒｅｉθｄθだから
となる。
これらはＣ上のｆ（ｚ）の値が与えられると、Ｃ内の任意点におけるｆ（ｚ）の値が求められることを示すもので、いわゆる境界値問題の解を与える。
コーシーの積分公式を使うと正則関数ｆ（ｚ）の導関数が簡単に求められる。
ある領域Ｓにおいて正則な関数ｆ（ｚ）は、ｚが領域Ｓの境界Ｃ上の点でなければ、領域Ｓ内の全ての点で正則な逐次導関数を有し、それは
で与えられる。ただしζは積分変数でＣの上を正の方向(反時計回り)に一周するものとする。これをグルサ（Goursat）の定理という。
［証明］
となるが、右辺第二積分において，ｚ及びｚ＋ｈからＣに至る最短距離をρとすれば
となる。ここでＣにおける｜ｆ（ｚ）｜の最大値をＭとし、Ｃの周長をＬとすれば
となる。そのため右辺第二項は
となるので
が言える。
同様な論法で二次導関数を求めることができる。すなわち一次導関数を用いて
となる。ここでρを前と同じ意味に用いれば
となるので、Ｃにおける｜ｆ（ｚ）｜の最大値をＭとし、Ｃの周長をＬとすれば
であることが証明できる。これから前と同様にして
が得られる。
ここで、さらに数学的帰納法を用いれば一般的に
が成り立つことが証明できる。
［証明終わり］
これはｆ（ｚ）が正則ならばｆ'（ｘ）、ｆ"（ｘ）、･･･の連続性と正則性が保障されることを意味する。実関数ではｆ（ｘ）が微分可能でもｆ'（ｘ）、ｆ"（ｘ）、･･･の連続性や微分可能性は必ずしも保障されなかったことを思えば、ｆ（ｚ）の正則性はかなり強い条件であることが解る。
また、上記のGoursatの定理を用いれば、１．(２)で述べたコーシーの定理の逆であるモレラの定理が証明できる。
関数ｆ（ｚ）がｚ平面上の領域Ｓ内において連続であり、かつＳ内の任意の閉曲線Ｃに対して常に
が成り立てば、ｆ（ｚ）は領域Ｓの内部の至る所で正則である。これをモレラ（Morera）の定理という。
［証明］
［証明終わり］
Cauchyの定理には、関数ｆ（ｚ）が領域Ｓで正則・有限であることが必要であったが、領域内に不正則点がある場合を考察する。
関数ｆ（ｚ）は0＜｜ｚ−ｚ0｜＜Ｒで正則とする。ｚ0では正則でも不正則でもよい。ｚ0を中心とし半径ｒ（0＜ｒ＜Ｒ）の円周Ｃの上を性の向き（反時計回り）に一周する積分路に対し
のことをｆ（ｚ）のｚ＝ｚ0における留数（residue）という。
ｆ（ｚ）がｚ0点においても正則である場合は、その点の留数はＲｅｓ＝0である。
留数の値を求めるのは一般に必ずしも容易ではないが、ｆ（ｚ）が特に
の形で、ｇ（ｚ）はｚ0も含めて｜ｚ−ｚ0｜＜Ｒで正則ならば簡単に求めることができる。その場合ｆ（ｚ）はｚ0でｎ位の極をもつといい、ｚ0をｆ（ｚ）のｎ位の極という。
ｎ＝１のときにはCauchyの積分公式によって
ｎ＝2、3、･･･のときにはGoursatの定理によって
となる。これによって極ｚ0における留数を計算することができる。
関数ｆ（ｚ）は閉曲線Ｃの内部に有限個の特異点ｚ1、ｚ2、･･･、ｚnをもちそれ以外ではＣの周および内部で正則であるとき、その各特異点における留数をＲ1、Ｒ2、･･･、Ｒnとすれば
となる。ただしＣは正の向きに一週するものとする。これを留数の定理という。
［証明］
［証明終わり］
以下の議論は、速度ポテンシャルと流線関数についてコーシー・リーマンの関係式が成り立つ二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し流についのてものです。
二次元流体の中に任意断面を持った柱状体をとる。柱状体の単位長の部分をとり、それの側面をＣ’で表す。柱状体断面の周縁上の任意点を出発点として、反時計回りに周縁曲線の長さｓを測るものとする。 周縁曲線の線素をｄｓとし、この表面に働く圧力をｐとする。
ここで、さらに定常流であるという条件を付け加える。その場合柱状体表面は流線に一致する。
二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し・定常流中に静止している物体を考える。そのとき、物体表面の閉曲線Ｃ’と物体を取り囲むように流体中に取った任意閉曲線Ｃの間に特異点が存在しないか、あるいはもし特異点が存在したとしても、その留数の和がゼロになる場合には、物体に働く共役複素合圧力Ｘ−ｉＹは、物体を取り囲む任意閉曲線Ｃに沿って下記の積分を実行することで求まる。
ただし、（ｄｗ／ｄｚ）は物体を取り囲む様に取った流体中の任意平曲面Ｃ上の点ｚ＝ｘ＋ｉｙにおける複素共役速度ｕ−ｉｖです。これをブラジウス（Blasius）の第一公式と言う。
柱状体の周囲をＣ’として、柱状体に働く圧力を合計した（Ｘ，Ｙ）を求める。ただしＸは合圧力のｘ成分、Ｙはｙ成分である。点ｚにおける圧力をｐとする。また線積分は反時計回りに実施する。そのとき線分要素に立てた外向き法線のベクトル成分を（sinθ，cosθ）とすると
となる。［ベルヌーイの方程式と流線方程式は別稿を参照］
ここで物体表面Ｃ’が一つの流線となる条件が必要だが、物体表面Ｃ’が流線でありさえすれば流れが必ずしも定常である必要はない。例えば空間に固定された境界の場合、非定常な流れでも物体表面が流線となる条件は満足する。
しかし、二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し流の場合、非定常なBernoulliの方程式の定数は流体全体で共通だが時間の関数Ｆ（ｔ）となり、さらに∂Φ／∂ｔの項が付け加わる。Ｆ（ｔ）は閉曲線の線積分では消えてしまうので問題にならないが、(∂Φ／∂ｔ)は一般に閉曲線上で場所の関数となる。ここでは(∂Φ／∂ｔ)＝0が成り立つことが必要なので、今後は定常的な流れに限って議論する。
上記の結論を用いて共役複素合力Ｘ−ｉＹ(物体に働く圧力の合力の複素表示)を求めると
なお、ここで利用した複素速度ポテンシャルと共役複素速度については別稿で説明した。
これは難しい事を言っているわけではない。実関数を用いたばあいに、物体に働く圧力の合計値は物体表面の圧力をベルヌーイの定理を用いて(1/2)ρ×(流速)2に変換してそれを物体表面に渡って積分すれば良いのだが、複素積分を用いる場合は（共役複素速度）2を用いればよいと言うだけです。
複素積分を用いる威力は、次に述べるように、その積分路を物体外部の任意の平曲面(二次元だから閉曲線だが)に置き換えられると言うところにある。
流体中に湧き出し点、流入点、渦度などが存在すると（ｄｗ／ｄｚ）2が∞となり、その点は特異点となる。しかし、その様なものが無い場合には、物体表線Ｃ’と物体を取り囲む様に流体中に設定された任意閉曲線Ｃの間の領域Ｓにおいて（ｄｗ／ｄｚ）2が有限・正則な関数であるとしてよい。
上記の線積分は、物体表面の閉曲線Ｃ’に沿ってなされるものであったが、もし物体表面を構成する閉曲線Ｃ’と任意閉曲線Ｃで囲まれた領域Ｓにおいて関数（ｄｗ／ｄｚ）2が有限・正則であれば、１．（２）で証明したコーシーの定理によってＣ’についての積分をＣに沿っての積分に置き換えることができる。
同様に、領域Ｓ内に特異点が存在しても、それらの特異点における関数（ｄｗ／ｄｚ）2の留数の和がゼロであれば１．（６）の留数定理によって、やはり同じ様にＣの周りの積分に置き変えることができる。
そのため、ブラジウスの第一公式が証明されたことになる。
［証明終わり］
上記の証明はコーシーの定理を用いるものでしたが、別稿「渦抵抗（カルマン渦列と抗力）」２．（３）で求めた運動量の定理を用いても導けます。
二次元の運動量の定理は二次元・非圧縮生・完全流体の運動方程式から導かれたものでした。だからｄｉｖｖ＝0を満たす必要があります。しかし、渦無し、つまりrotｖ＝0である必要はありませんし、領域内部に渦糸の様な特異点を含んでいても成り立ちます。また非定常な流れに対しても成り立ちます。
一方コーシーの定理は正則関数に対して成り立つものです。別稿「カルマン渦列（動的安定性解析）」３．（２）１．で説明したように正則関数であることの必要充分条件はコーシー・リーマンの微分方程式が成り立つことでした。このとき別稿「二次元・非圧縮性・完全流体の力学」４．（２）で説明したようにコーシー・リーマンの微分方程式こそ、二次元・非圧縮性・完全流体の渦無流の速度ポテンシャルと流線関数の間に成り立つ関係式です。
そのため、元もと二次元の運動量定理と複素関数論のコーシーの定理から導かれたブラジウスの定理は密接な関係があります。しかし、次の［別証明］を見れば解るように運動量の定理はブラジウスの定理よりもより一般的に成り立つものです。運動量の定理に、物体が静止していることと、流れが渦無し、定常流である制限を付け加えるとブラジウスの定理を導けます。
［別証明］
別稿「渦抵抗（カルマン渦列と抗力）」２．（３）に於いて次の様な運動量の定理を証明した。任意の動きをする物体が存在して、その物体を取り囲む境界面Ｃ内と物体を取り囲む境界面Ｃ外と、その間の領域Ｓに付いて成り立つ法則です。ある瞬間の時刻ｔにおける境界面は空間に対して固定されている。面Ｃ内、Ｃ外の法線ベクトルは領域Ｓの外側を向くとする。
内側の境界面Ｃ内は時間と共に動いていくが、運動量の定理を適用する各瞬間においては、境界面Ｃ内も空間に対して静止していると考える。物体表面の流体速度ベクトルが、その瞬間に静止している検査境界面Ｃ内を出入りする運動量に関係すると考えればよい。
ただし、物体が動いている場合は物体表面の速度ベクトルと、物体表面に位置する流体の速度ベクトルは一致しない。物体表面に沿った方向の速度ベクトル成分だけの違いが存在する。今は粘性のない完全流体を考えているので、その様な物体表面の滑りが存在するとして良い。
このとき次式で表される運動量定理が成り立つ。
ここでＣ内についての積分値の符号がＣ外の積分値のそれと反対になっているのは、ｄＳに関する線積分はＣ外と同じ反時計回りに実施するのですが、面の法線ベクトルが物体内部を向くからです。それぞれは次の意味を持つ。
［左辺］
第１項 領域Ｓ内に時刻ｔにたまたま存在する物体の運動量の時間的変化
第２項 境界Ｃ外を単位時間に通過する運動量成分
第３項 境界Ｃ内を単位時間に通過する運動量成分
［右辺］
第１項 領域Ｓ内の物体に働く体積力の合力
第２項 境界Ｃ外を通して領域Ｓに働く圧力の合力
第３項 境界Ｃ内を通して境界Ｓに働く圧力の合力（これの反作用が物体に働く圧力の合力となる）
この運動量の定理は流体中で任意の運動をする物体に対して成り立ち、物体周囲の流れは非定常であっても良かった。
しかし、今は物体は流れの中で静止しており、周囲の流れも定常的な場合を考えているので上記の項の中で左辺第１項、左辺第３項はゼロと見なせる。また今は重力の様な体積力は考えていないので、右辺第１項は省略できる。
さらにＣ内をＣ’、Ｃ外をＣと表し、右辺第３項をその反作用力である物体に働く圧力の合力Ｆであらわすと
となる。ここで、複素積分を用いるために共役複素力Ｘ−ｉＹ＝Ｆx−ｉＦyを導入すると上式は
と表される。これはブラジウスの第一公式そのものです。
［別証明終わり］
面白いのはコーシーの定理を用いなくても、（ｄｗ／ｄｚ）2のＣ上での積分値がＣ’上での積分値と同じになることです。それも結局非圧縮性・渦無し・定常流の場合だからです。
この定理を別稿「渦抵抗（カルマン渦列と抗力）」１．（３）２．で説明した、無限遠に置いて一定速度Ｕをもってｘ軸の正方向に流れている一様流中に置かれた半径ａの円柱のまわりの流れに適応して、円柱に働く合力を計算してみる。
この静止円柱が受ける合圧力（Ｆx，Ｆy）に対してブラジウスの第一公式を用いると
となり、いわゆるダランベールの背理のＦx＝0、Ｆy＝0が簡単に導ける。
同じく別稿「二次元翼理論(等角写像とジューコフスキーの仮定)」３．（４）で説明した、循環を伴った半径ａの円柱周りの流れに適応して、円柱に働く合力を計算してみる。
流れの中に静止している円柱に働く合力を（Ｆx，Ｆy）とするとブラジウスの第一公式により
となり、実関数の積分で求めたのと同じ結論、Ｆx＝0、Ｆy＝ρＵΓが導ける。
ここの積分経路は別稿の実関数の積分で用いた円柱表面である必要は無い。また、積分自体もコーシーの定理から導かれる積分公式を用いればきわめて簡単に実施できることに注意されたし。
この結論はMagnus効果（1852年）を説明するものです。
二次元・非圧縮性・完全流体の渦無し・定常流中の物体に働く原点のまわりのモーメントＭは、物体を取り囲む任意閉曲線Ｃに沿って下記の積分を実行すれば求まる。
ただし、物体表面の閉曲線Ｃ’と物体を取り囲む任意閉曲線Ｃの間に特異点が存在しないか、あるいはもし特異点が存在したとしても、その留数の和がゼロになる場合としている。これをブラジウス（Blasius）の第二公式と言う。
物体に働く力による原点のまわりのモーメントＭを求める。物体の表面Ｃ’の線素ｄｓに働く力は
となる。これらの力による原点のまわりのモーメントはｘｄＹ−ｙｄＸである。したがって物体全体に働くモーメントＭは
となる。
一方、（ｄｗ／ｄｚ）は共役複素速度ｕ−ｉｖだから（ｄｗ／ｄｚ）2ｚｄｚを計算してみると
となる。
上記の二式を比較してみると、Ｍを求める積分の被積分部は（ｄｗ／ｄｚ）2ｚｄｚの実数部に等しいことが解る。したがって
となる。
この場合にも、前節と同様にコーシーの定理を用いて、Ｃ’に関する積分を物体を取り囲む任意の閉曲線Ｃに関する積分に置き換えることができる。
［証明終わり］
［別証明］
別稿「運動量モーメントの定理（角運動量の定理）」３．で角運動量の定理を証明した。任意の動きをする物体が存在して、その物体を取り囲む境界面Ｃ内と物体を取り囲む境界面Ｃ外と、その間の領域Ｓに付いて成り立つ法則です。ある瞬間の時刻ｔにおける境界面は空間に対して固定されている。面Ｃ内、Ｃ外の法線ベクトルは領域Ｓの外側を向くとする。
内側の境界面Ｃ内は時間と共に動いていくが、角運動量の定理を適用する各瞬間においては、境界面Ｃ内も空間に対して静止していると考える。物体表面の流体速度ベクトルが、その瞬間に静止している検査境界面Ｃ内を出入りする角運動量に関係すると考えればよい。
ただし、物体が動いている場合は、その周りの流れは非定常流となり、物体表面の速度ベクトルと、物体表面に位置する流体の速度ベクトルは一致しない。物体表面に沿った流れの成分だけの違いが生じる。今は粘性のない完全流体を考えているので、その様な物体表面の滑りが存在するとして良い。
このとき次式で表される運動量モーメントの定理（角運動量の定理）が成り立つ。
ここでＣ内についての積分値の符号がＣ外の積分値のそれと反対になっているのは、ｄＳに関する線積分はＣ外と同じ反時計回りに実施するのですが、面の法線ベクトルが物体内部を向くからです。それぞれは次の意味を持つ。
［左辺］
第１項 領域Ｓ内に時刻ｔにたまたま存在する物体の角運動量の時間的変化
第２項 境界Ｃ外を単位時間に通過する角運動量成分
第３項 境界Ｃ内を単位時間に通過する角運動量成分
［右辺］
第１項 領域Ｓ内の物体に働く体積力によるトルクの合力
第２項 境界Ｃ外を通して領域Ｓに働く圧力のトルクの合力
第３項 境界Ｃ内を通して境界Ｓに働く圧力のトルクの合力（これの反作用が物体に働く圧力のトルク合力となる）
この角運動量の定理は流体中で任意の運動をする物体に対して成り立ち、物体周囲の流れは非定常であっても良かった。
しかし、今は物体は流れの中で静止しており、周囲の流れも定常的な場合を考えているので上記の項の中で左辺第１項、左辺第３項はゼロと見なせる。また今は重力の様な体積力は考えていないので、右辺第１項は省略できる。
さらにＣ内をＣ’、Ｃ外をＣと表し、右辺第３項をその反作用力である物体に働く圧力の合力Ｆであらわすと
となる。二次元の場合Ｍ物はスカラー量と見なせるのでＭと置くことにする。上式はさらに変形できて
となる。
上記の被積分関数は
の実数部に等しいので、公式は証明された。
［別証明終わり］
ここでもコーシーの定理を用いなくても、（ｄｗ／ｄｚ）2ｚのＣ上での積分値の実数部が、Ｃ’上での実関数の積分値と同じになる。それも領域Ｓにおける流れが非圧縮性・渦無し・定常流だからです。
二次元、非圧縮性・完全流体の渦無し流れの解析でブラジウス（Blasius）の公式（1910年）を利用したいのでこのページをつくりました。ここで注意して欲しいことは、［複素関数論のコーシーの定理］と、［二次元・非圧縮性・渦無し・定常流で成り立つ運動量の定理、角運動量の定理］は密接な関係があることです。
利用したのはいずれも若い頃読んだ本ですが、その内容をすっかり忘れていました。数学理論はすぐに忘れてしまうので、物理理論の背景となっている数学を手短に復習するためのページです。