HOME  1.近眼鏡  2.老眼鏡  3.老人の嘆き

 このページを印刷される方はこちらのバージョンをご利用下さい。ブラウザーでは見にくいのですが印刷は鮮明です。

メガネの理論

 メガネはレンズの身近で切実な応用です。高校物理の光学に出てきますが、理解するのはあんがい難しい。それは、2枚の組み合わせレンズの問題であり、前方のレンズが作る虚像を2枚目のレンズ(眼球のレンズ)を通して見る問題だからです。その当たりをわかりやすく説明します。

1.近眼鏡(近視の人が掛ける凹レンズのメガネ)

(1)近視とは

 近視とは、眼球の長さが長すぎるか、あるいは目のレンズが十分薄くなる(焦点距離を長くする)ことができないことにより、遠くの物体の像のできる位置が網膜の手前になってしまうことである。

(2)近眼鏡

 たとえば2.0mより遠いところがはっきり見えない近視の人が無限遠まではっきり見えるようにするには無限遠の物体が2.0mの所の虚像として見えればよい。

つまり焦点距離が2.0mの凹レンズをメガネとして用いればよい。

(3)凹レンズと凸レンズの組み合わせ

 以下の作図には光線について成り立つ性質を利用しています。

 この問題はメガネの凹レンズが作る物体11の虚像22を眼球の凸レンズを通して見るときできる像33がどこにできるかという組み合わせレンズの問題と同じである。

 近視の人がはっきり見えない遠くの物体11を凹レンズにより、近視の人でもはっきり見える位置22に引き寄せてから眼球内の凸レンズで見るのである。そのとき凹レンズの背後にある眼球の凸レンズで見るのだから凹レンズが作る像は凹レンズに対して光線の入射側にできなければならないので必然的に虚像になる。凹レンズは虚像しかできないのでそれはいつも可能である。

 このとき眼球の凸レンズを通して見る像が虚像であることが理解を難しくしている。しかし凸レンズの外側に凹レンズを重ねるということはレンズ面の曲率を小さくして焦点距離を大きくして、より遠くに焦点を合わせることにすぎないと考えれば良い。

[補足説明]
 薄い二枚の凹・凸レンズを組み合わせて一つのレンズと見なしたときの焦点距離(主点からの距離)は

で与えられます。
 そのとき、たとえ薄いレンズの組み合わせでも、一つのレンズ(厳密にはレンズではない)と見なすと厚みのあるレンズと同じように、レンズの前後で焦点距離を測る基準とする点(主点あるいは主平面という)は二つに別れます。そのためレンズの前後での焦点距離はそれぞれ別々の二つの主点からの距離になります。
 主点や合成系の焦点距離の意味、これらの関係式の証明はかなり込み入っていますので別稿「組み合わせレンズの焦点距離と主点の位置」を参照して下さい。

 ここではごく簡単に考えて、dが小さく仮想合成レンズの二つの主点(主平面)が一致すると近似して説明します。その場合には、主点の位置は13を結ぶ直線が中心線と交わる所と考えて良いでしょう。そのためおよその関係は下図の様になります。二つの主点の正確な位置はこちらを参照して下さい。

 このとき、よりも大きくなれば、もはや主点が一つと見なせなくなりますが、凹レンズを組み合わせたにもかかわらず合成焦点距離は元のの焦点距離よりも短くなる場合が生じます。

(4)近眼鏡(凹レンズ)を掛けると物体が少し小さく見える理由

近眼鏡を掛けると物体の大きさが実際よりも少し小さく見える。そのわけは下図の様に視角が変わるからです。

 

HOME  1.近眼鏡  2.老眼鏡  3.老人の嘆き

2.老眼鏡(遠視の人が掛ける凸レンズのメガネ)

(1)遠視とは

 遠視とは、眼球の長さが短すぎるか、あるいは目のレンズが十分厚くなる(焦点距離を短くする)ことができないことにより、近くの物体の像のできる位置が網膜の外側になってしまうことである。

(2)老眼鏡

 たとえば3.3mより近いところがはっきり見えない遠視の人が0.3mの近くまではっきり見えるようにするには0.3mの位置にある物体が3.3mの所に虚像として存在するようにすればよい。

つまり焦点距離が0.33mの凸レンズをメガネとして用いればよい。

(3)2枚の凸レンズの組み合わせ

 以下の作図には光線について成り立つ性質を利用しています。

 この問題は、メガネの凸レンズが作る物体11の虚像22を、眼球の凸レンズを通して見るときできる像33がどこにできるかという組み合わせレンズの問題と同じである。

 遠視の人がはっきり見えない近くの物体11をメガネの凸レンズにより、遠視の人でもはっきり見える位置22に遠ざけてから眼球内の凸レンズで見るのである。そのときメガネの凸レンズの背後にある眼球の凸レンズで見るのだからメガネ凸レンズが作る像は凸レンズに対して光線の入射側にできなければならないので必然的に虚像でなければならない。凸レンズは物体が焦点距離の内側にあるときしか虚像ができないので、必然的にメガネ凸レンズの焦点距離は見ようとする近くの物体とメガネの距離よりは長くなる。

 このとき眼球の凸レンズを通して見る像が虚像であることが理解を難しくしている。しかし凸レンズの外側に凸レンズを重ねるということは凸レンズ面の曲率を増してより近くに焦点を合わせるにすぎないと考えれば良い。

[補足説明]
 薄い二枚の凸レンズを組み合わせて一つのレンズと見なしたときの焦点距離(主点からの距離)は

で与えられます。
 そのとき、たとえ薄いレンズの組み合わせでも、一つのレンズ(厳密にはレンズではない)と見なすと厚みのあるレンズと同じように、レンズの前後で焦点距離を測る基準とする点(主点あるいは主平面という)は二つに別れます。そのためレンズの前後での焦点距離はそれぞれ別々の二つの主点からの距離になります。但し凸レンズの組み合わせでは前側の主点と後ろ側の主点の位置が前後に入れ替わりますので注意が必要です。
 この当たりの詳細は別稿「組み合わせレンズの焦点距離と主点の位置」を参照して下さい。

 ここではごく簡単に考えて、dが小さく仮想合成レンズの二つの主点(主平面)が一致すると近似して説明します。その場合には、主点の位置は13を結ぶ直線が中心線と交わる所と考えて良いでしょう。そのためおよその関係は下図の様になります。二つの主点の正確な位置はこちらを参照して下さい。

 このとき、よりも充分大きくなれば、もはや主点が一つと見なせなくなりますが、凸レンズを組み合わせたにもかかわらず合成焦点距離は元のの焦点距離よりも長くなる場合が生じます。

(4)老眼鏡(凸レンズ)を掛けると物体が少し大きく見える理由

老眼鏡を掛けると物体の大きさが実際よりも少し大きく見える。そのわけは下図の様に視角が変わるからです。

 

HOME  1.近眼鏡  2.老眼鏡  .老人の嘆き

3.老人の嘆き

 私自身、老眼鏡が手放せなくなって久しいが、老眼とはまさに眼球のレンズ(水晶体)の厚さが調節できなくなることだと実感してます。要するに水晶体の弾力性が失われて毛様筋(水晶体の周りを取り巻くリング状の筋肉)が収縮してチン小帯(毛様体と水晶体を結ぶ帯)がゆるんでも眼球レンズがもとの厚みに戻らなくなる。(このあたりのメカニズムは生物の教科書参照)
 私のように元々目が良くて遠くまではっきり見ることができた者は老化するとある距離(私の場合は7〜8m先)の所がはっきり見える状況のレンズの厚さに固定されてしまうということのようだ。若い頃に比べて遠くも少しぼやけてきたし、近くは全くぼやけて老眼鏡のお世話にならなければならない。
 おそらく近視の人が老人になると、焦点がごく近くのどこかに合ってレンズが固まってしまうのだろう。

[2013年5月追記]
 この稿を御覧になった方から次のような質問がありました。
“1.(4)によると近眼鏡(凹レンズ)をかけると、対象物の視角が小さくなる。そのため視野角(画角)は拡大する。ところが、一般的にレンズの焦点距離が長くなると視野の画角は狭まり、逆に短くなると画角は広がる。1.(3)では合成レンズの焦点距離が長くなるにもかかわらず広角になるのはなぜですか?”
 確かにそういった疑問が生じますね。私自身このことは深く考えていませんでしたので、[補足説明]を追加しました。近眼鏡と老眼鏡では、メガネの凹or凸が変わるために対象物と虚像の位置が入れ替わります。しかし、虚像と実像の違いを無視すれば眼球レンズに対する光線経路図は良く似ています[1.(3)の二番目の図と2.(3)の二番目の図を比較して見て下さい]。そのため、対象物と虚像が入れ替わる近眼鏡と老眼鏡で視角(従って画角)の変化が逆転する。この様な組み合わせレンズの合成焦点距離と画角の関係は単レンズの場合と違う様です。これは確かに驚きで、私も初めて知りました。感謝!
 同じ人から、“カメラレンズの前に近眼鏡を置いても広角の効果が得られる。”と教えられました。これも興味深い発見ですね。

HOME  1.近眼鏡  2.老眼鏡  3.老人の嘆き