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組み合わせレンズの焦点距離と主点の位置

 厚いレンズを組み合わせた場合の証明はかなり面倒ですが、薄いレンズを組み合わせた合成レンズの焦点距離主点の位置を表す公式はわりと簡単に導けます。
 それは薄いレンズを通過する光線について成り立つ性質を利用して光線経路図を描き、その中にできる三角形の比例関係を利用すれば良い。

 この稿では図中に示す距離を表す記号は全てとして議論する。そのためレンズの公式中では焦点距離や、レンズと像の間の距離を表す記号の前にマイナス符号を付ける場合が生じる。それは高校物理のレンズの公式で習う通りに付ければよいのですが、他の本の公式と比較するときには注意が必要です。

1.凸レンズと凸レンズの組み合わせ

 このとき、凸レンズL1の焦点距離を1(>0)凸レンズL2の焦点距離を2(>0)とし、両者の間隔をとする。また合成レンズの焦点距離をとする。そして光線の前側の焦点距離を測る基準点である主点1凸レンズL1との距離をδ1、光線の後ろ側の焦点距離を測る基準点である主点2凸レンズL2との距離をδ2とする。

 物体を凸レンズL1の焦点距離1内側に置くと、凸レンズL1の作る像は入射光線側の虚像となる。物体を焦点距離1外側に置くと光線の出る側に実像ができる
 凸ンズが作る像は、物体11の存在位置1がレンズの焦点距離1内・外によって虚像になったり実像になったりしますが、その像をもう一つの凸レンズL2で見る事になります。
 いずれの場合も同様に議論できますが、以下では物体11凸レンズL1の焦点距離1内側に置いた場合を例にして説明します。

)レンズ間隔が狭い

 最初にレンズ間隔が狭い場合を説明します。

.主点(主平面)と合成レンズの焦点距離とは何か

 光線について成り立つ性質を利用して、光線経路図を描くと下図の様になります。この図は物体11の像が組み合わせレンズにより33の位置に実像として結像することを示している。

拡大図はこちら

 点1から出たレンズの中心を結ぶ線に平行な光線は二つのレンズで二度屈折して3に至ります。実際には二度屈折するが、一度の屈折と見なしたときの仮想的な屈折面を主平面といい、その面が中心軸と交わる点が主点です。
 同様に、右側の点3から出た中心線に平行な光線も二つのレンズで二度屈折して1に至りますが、この場合にも、一度の屈折と見なして主平面(主点)が定まります。
 このとき、二枚のレンズの間隔がゼロでない場合には、左から右へ進む光線の主平面(主点2と右から左へ進む光線の主平面(主点1は異なります。図中に示す様に二つの主平面ができる
 
 主平面(主点)の位置を定めるには、光線3の部分に着目すればよい。これは、1を出て合成レンズの左から入射した平行光線が、合成レンズの右側の焦点に収束する光線となっている。
 同様に、光線1の部分は、3を出て合成レンズの右から入射した平行光線が、合成レンズの左側の焦点を通過する光線となっている。

 そのため図中のの長さがまさに合成レンズの焦点距離になっている。そして主点S2主点S1がそれぞれの焦点距離を測る基準点になっています。

 

.主点(主平面)の位置

 主点S2の位置を定めるには、下図の中の空色黄緑色の三角形に注目すれば良い。

 空色の二つの三角形は相似になります。また黄緑色の二つの三角形も相似になります。そのため図中の辺αβを仲立ちにすると

が得られる。

 同様に、主点S1の位置は下図の空色黄緑色の三角形の相似性を用いると

拡大図はこちら

となる。

 1>0、2>0だからδ1δ2のいずれも正の値となります。そのため主点の位置は光線の進む方向に向かって見て奥にあるレンズからδ1orδ2だけ手前に在ることになる。また、凸・凸レンズの組み合わせのときの二つの主点の位置は、次章で説明する凹・凸レンズの組み合わせの場合と違って、互いに交叉して前後が入れ替わります。

 上記の二つの式を組み合わせると

となる。つまりそれぞれのレンズから主点までの距離はそれぞれのレンズの焦点距離に比例する
 また、このときδ2δ1は、実際に物体を置く位置に依存しないことに注意。

 

.合成レンズの焦点距離

 主点(主平面)の定義から明らかなように、点1から出た光は主平面1がレンズ系の中心線と交わる点(主点S1)を直進してして点3に至ると考えなければならない。その光線は当然のことながらレンズ系の右側主点S2主平面2が中心線と交わる点)を通過後に点3に至るはずである。
 しかしこのとき、実際には主点S1主点S2は一致していないので、仮想的合成レンズの中心を通過する光線は下図の緑色光線になると考えなければならない。つまり→S1の光線と2の光線は平行光線となり1→S2の部分は中心線に一致するように逆に進むと考えるのである。

拡大図はこちら
この図を用いれば組み合わせレンズの合成焦点距離を求めることができる。

 左から右方向へ進む光線に対する合成レンズの焦点距離を求める。不必要な光線経路を削除すると

となる。
 この図は、レンズ2のみに着目すると、2が無かったら本来1の位置に焦点を結ぶ光線が2を挿入したためにの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離2のレンズ2に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのは1の位置が虚焦点でレンズ2の向こう側に在るからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
[証明]
 直接証明するには以下の様に考えればよい。

点光源があり、それからの光は焦点距離2のレンズ2のために青色光線経路で進む。そのときレンズの左側から光源を見ればあたかもP’に在るように見える。そのとき2、b2、f2の間にどのような関係があるかという問題です。
 この問いを解くには光線について成り立つ性質の中の(5)と同じやり方を凸レンズに適用すればよい。すなわち仮想的な物体ABを考えて、それをレンズの左側から見ると何処に在るように見えるかを考える。その虚像A’B’の足下B’P’点である。

上図中にできる三角形の相似性を用いて、辺長α、βを仲介にした比例式を作ると

となる。
[証明終わり]
 
 ここで212=f−δ2であることを利用すると、

となる。これが合成焦点距離12と関係づける式です。

 右から左方向へ進む平行光線に対する合成レンズの焦点距離も同様に求まります。不必要な光線経路を削除すると

となる。[拡大図はこちら
 この図は、レンズ1のみに着目すると、1が無かったら本来2の位置に焦点を結ぶ光線がレンズ1を挿入したためにの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離1のレンズ1に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのは2の位置がが虚焦点だからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
 ここで121=f−δ1であることを利用すると、

となる。つまり、前述の左から右方向へ入射する場合とまったく同じになる。

 レンズ間隔が狭い場合には、凸レンズ凸レンズを組み合わせた為に合成焦点距離凸レンズ単体の焦点距離2よりも短くなります。2ならば確かにそうなる事は、上記の公式で確認できます。

 ここで得られた結果を用いると、前述の主点の位置δ2、δ112で表すことができる。それぞれ

となる。

 

.合成焦点距離fと12との関係

 前項の図を着色した下図に於いて二つの空色三角形は相似になります。また二つの黄緑色三角形も相似になります。


拡大図はこちら
図中の辺αβを仲立ちにして比例関係式を書いてみると、直ちに合成焦点距離12との関係式が得られます。

 これは単一レンズで成り立つ公式によく似ている。

 

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(2)レンズ間隔が広い

 レンズの間隔を広げると主点の位置と焦点距離がどのように変わるか見てみよう。間隔を広げて前節1.(1)3.と同様な光線経路図を描くと

拡大図はこちら
となる。主点の位置δ1、δ2や合成焦点距離を表す公式は同じになる。証明は同様にすれば良い。

 レンズ間隔を広げると、凸レンズ凸レンズを組み合わせたにもかかわらず合成焦点距離凸レンズ単体の焦点距離2よりも長くなります。2ならば確かにそうなる事は、合成焦点距離の公式で確認できます。

 

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(3)まとめ

  1. 両レンズ間の間隔を狭めると二つの主点間の距離が狭まります。また、→0とすれば二つの主点が一致してレンズの場所になる。このことは、主点の位置を表す公式から明らかです。
  2. 12いずれかの焦点距離を越えると[合成焦点距離f]>[越えた凸レンズの焦点距離]となり、がそれ以下の場合には[合成焦点距離f]<[反対向きに越えた凸レンズの焦点距離]となります。つまり、合成焦点距離は、凸レンズ凸レンズを組み合わせたにもかかわらず、単一の凸レンズの焦点距離よりも長くなる場合もある。このことは、合成焦点距離を表す公式から明らかです。
  3. →0となると

    となる。現実には、薄いレンズも厚みがありますからレンズ間隔はゼロにはできません。二つのレンズを密着させて近似的にゼロと見なせる場合の話です。
  4. →(12)となるとf→∞となる。
  5. 12を適当に与えて、の関数としてグラフを描くと下図のようになる。

    が負の領域に意味はないが、グラフの様子を見やすくするために付け加えてある。このグラフで意味があるのは0<12の領域のみです。

 

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2.凹レンズと凸レンズの組み合わせ

 凹レンズの焦点距離を-f1(<0)凸レンズの焦点距離を2(>0)とし、両者の間隔をとする。また合成レンズの焦点距離をとする。そして光線の前側の焦点距離を測る基準点である主点S1凹レンズとの距離をδ1、光線の後ろ側の焦点距離を測る基準点である主点S2凸レンズとの距離をδ2とします。

 凹レンズL1が作る物体11の像22は、物体の存在位置1が焦点距離1内・外にかかわらず必ず凹レンズL1の手前側の虚像となります。その虚像をもう一つの凸レンズで見る事になります。

)レンズ間隔が狭い

 最初にレンズ間隔が広い場合を説明します。

.主点(主平面)と合成レンズの焦点距離とは何か

 光線について成り立つ性質を利用して、光線経路図を描くと下図の様になります。この図は物体11の像が組み合わせレンズにより33の位置に実像として結像することを示している。

拡大図はこちら

 点1から出たレンズの中心を結ぶ線に平行な光線は二つのレンズで二度屈折して3に至ります。実際には二度屈折するが、一度の屈折と見なしてときの仮想的な屈折面を主平面といい、その面が中心軸と交わる点が主点です。
 同様に、右側の点3から出た中心線に平行な光線も二つのレンズで二度屈折して1に至りますが、この場合にも、一度の屈折と見なして主平面(主点)が定まります。
 このとき、二枚のレンズの間隔がゼロでない場合には、左から右へ進む光線の主平面(主点2と右から左へ進む光線の主平面(主点1は異なります。図中に示す様に二つの主平面ができる
 
 主平面(主点)の位置を定めるには、光線3の部分に着目すればよい。これは1を出て合成レンズの左から入射した平行光線が、合成レンズの右側の焦点に収束する光線となっている。
 同様に、光線1の部分は3を出て合成レンズの右から入射した平行光線が、合成レンズの左側の焦点を通過する光線となっている。

 そのため図中のの長さがまさに合成レンズの焦点距離になっている。そして主点S2主点S1がそれぞれの焦点距離を測る基準点になっています。

 

.主点(主平面)の位置

 主点2の位置を定めるには、下図の中の空色黄緑色の三角形に注目すれば良い。

拡大図はこちら
 空色の二つの三角形は相似になります。また黄緑色の二つの三角形も相似になります。そのため図中の辺αβを仲立ちにすると

が得られる。
 このとき1凹レンズの焦点距離だから本来負の値となるのでδ2も負となるが、これは主点が凸レンズの手前側(光線の入射側)ではなくて光線の出る方へ移動することを示している。

 同様に、主点1の位置は下図の空色黄緑色の三角形の相似を用いると

拡大図はこちら

が得られる。
 δ1は正の値となるが、これは主点が凹レンズの手前側(つまり光線の入射側である右側)に移動することを示している。

 上記の二つの式を組み合わせると

となる。凹・凸の組み合わせでもそれぞれのレンズから主点までの距離はそれぞれのレンズの焦点距離に比例する
 また、このときδ2δ1は、実際に物体を置く位置に依存しないことに注意。

 

.合成レンズの焦点距離

 主点(主平面)の定義から明らかなように、点1から出た光は主平面1がレンズ系の中心線と交わる点(主点S1)を直進してして点3に至ると考えなければならない。その光線は当然のことながらレンズ系の右側主点S2主平面2が中心線と交わる点)を通過後に点3に至るはずである。
 しかしこのとき、実際には主点S1主点S2は一致していないので、仮想的合成レンズの中心を通過する光線は下図の緑色光線になると考えなければならない。つまり→S1の光線と2の光線は平行光線となり1→S2の部分は中心線に一致するように進むと考えるのである。

拡大図はこちら
この光線経路図を用いて合成焦点距離を表す公式を導く。

 左から右方向へ進む光線に対する合成レンズの焦点距離を求める。不必要な光線経路を削除すると

となる。[拡大図はこちら
 この図は、レンズ2のみに着目すると、2が無かったら本来凹レンズの手前側1の位置に焦点を結ぶ光線が2を挿入したために凹レンズの向こう側の位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離2のレンズ2に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項が虚焦点にもかかわらずプラス符号になっているのはレンズ2の手前側にあるからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
[証明]
 直接証明するには光線について成り立つ性質の中の(5)と同じやり方を凸レンズに適用すればよい。

仮想的な物体ABを考えて光線経路図を描く。図中にできる三角形の相似性を用いて、辺長α、βを仲介にした比例式を作ると

となる。
[証明終わり]
 
 ここで212=f+δ2であることを利用すると、

となる。これが左から右方向へ入射する場合の合成焦点距離12と関係づける式です。

 これらの式は前章1.(1)3.で得られた公式の1−f1に置き換えた形であることに注意して下さい。凹凸に伴う焦点距離の正負を、記号1の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合と同じ形の公式となります。

 右から左方向へ進む平行光線に対する合成レンズの焦点距離も同様に求まります。不必要な光線経路を削除すると

となる。[拡大図はこちら
 この図は、レンズ1のみに着目すると、1が無かったら本来2の位置に焦点を結ぶ光線がレンズ1を挿入したためにの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離1のレンズ1に対して凹レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのは2の位置がレンズの向こう側にできる虚焦点だからです。また右辺の1/f1の前にマイナス符号が付いているのは凹レンズだからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凹レンズに付いて成り立つ公式そのものです。直接証明するには光線について成り立つ性質の中の(5)を参照。
 ここで121=f−δ1であることを利用すると、

となる。つまり、前述の左から右方向へ入射する場合とまったく同じになる。

 レンズ間隔が狭い場合には、凸レンズ凹レンズを組み合わせた為に合成焦点距離凸レンズ単体の焦点距離2よりも長くなります。。2ならば確かにそうなる事は、上記の公式で確認できます。

 ここで得られた結果を用いると、前述の主点の位置δ2、δ112で表すことができる。それぞれ

となる。

 ここδ1に関しては前章1.(1)3.で得られた公式の1−f1に置き換えた形であり、δ2に関しては1−f1に置き換えてさらにマイナス符号を付けた形であることに注意して下さい。
 δ1に関しては凹凸に伴う焦点距離の正負を、記号1の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合と同じになりますし、またδ2に関してはさらにマイナス符号を付けたものになります。

 

.合成焦点距離fと12との関係

 前節1.(1)4.と同様な考察で求めることができます。

拡大図はこちら
この図で二つの空色三角形は相似になります。また二つの黄緑色三角形も相似になります。図中の辺αβを仲立ちにして比例関係式を書いてみると、合成焦点距離12との関係式

が得られます。δ2の前にマイナス符号が付くことに注意。

 この式は前章1.(1)4.で得られた公式のδ2−δ2に置き換えた形です。凹凸に伴う主点の位置の正負の変動を、記号δ2の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合の形と同じになります。

 

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(2)レンズ間隔が広い

 レンズの間隔を広げると主点の位置と焦点距離がどのように変わるか見てみよう。前節2.(1)3.と同様な光線経路図を描くと

拡大図はこちら
となる。主点の位置δ1、δ2や合成焦点距離を表す公式は同じになる。証明は同様にすれば良い。

 レンズ間隔を広げていくと、凸レンズ凹レンズを組み合わせにもかかわらず合成焦点距離凸レンズの焦点距離2よりも短くなります。2ならば確かにそうなる事は、前述の公式で確認できます。

 

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(3)まとめ

  1. 両レンズ間の間隔を狭めると二つの主点間の距離が狭まります。また、→0とすれば二つの主点が一致してレンズの場所になる。このことは、主点の位置を表す公式から明らかです。
  2. が凸レンズの焦点距離よりも小さい場合には[合成焦点距離f]>[凸レンズの焦点距離]となりますが、がそれを越えると[合成焦点距離f]<[凸レンズの焦点距離]となります。つまり、合成焦点距離は、凹レンズを組み合わせたにもかかわらず、単一の凸レンズの焦点距離よりも短くなる場合がある。このことは、合成焦点距離を表す公式から明らかです。
  3. →0となると

    となる。現実には、薄いレンズも厚みがありますからレンズ間隔はゼロにはできません。二つのレンズを密着させて近似的にゼロと見なせる場合の話です。
  4. →(−12)となるとf→∞となる。
  5. 12を適当に与えて、の関数としてグラフを描くと下図のようになる。が負の領域に意味はないが、グラフの様子を見やすくするために付け加えてある。

     焦点距離の長さを凹・凸で入れ替えると下図の様になる。この場合には→(−12)となるとf→∞となることが良く解る。下記のグラフで意味があるのは0<21の領域のみです。

 

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3.後書き

 組み合わせレンズの焦点距離や主点の位置を求めるのは結構面倒です。しかし、薄いレンズを組み合わせた場合には、原理的に高校物理の光学で習う初等的なレンズを通過する光線について成り立つ性質を利用して光線経路図を描いてみれば導けるはずです。つまり光線経路図中にできる三角形の比例関係を利用すれば解けるはずです。その指針に従って考えてみると、意外に簡単に証明できます。この稿は、その簡単な導き方を説明するものです。
 組み合わせるのが厚いレンズの場合、証明はかなり面倒です。ヘクト「光学T」丸善の6章などを参照されて下さい。
 
 私が高校生(1965年)の頃、レンズが示す性質は望遠鏡や顕微鏡の例を取り上げながらかなり時間を取って丁寧に教えられていました。しかし、最近の高校物理の教育課程は、このような幾何光学を重視していません。レンズの問題は実用的にも重要だし、思考力を養うには最適な教材だと思うのですが、残念なことです。

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