組み合わせレンズの焦点距離と主点の位置

　厚いレンズを組み合わせた場合の証明はかなり面倒ですが、薄いレンズを組み合わせた合成レンズの焦点距離と主点の位置を表す公式はわりと簡単に導けます。
　それは薄いレンズを通過する光線について成り立つ性質を利用して光線経路図を描き、その中にできる三角形の比例関係を利用すれば良い。

　この稿では図中に示す距離を表す記号は全て正として議論する。そのためレンズの公式中では焦点距離や、レンズと像の間の距離を表す記号の前にマイナス符号を付ける場合が生じる。それは高校物理のレンズの公式で習う通りに付ければよいのですが、他の本の公式と比較するときには注意が必要です。

１．凸レンズと凸レンズの組み合わせ

　このとき、凸レンズＬ₁の焦点距離をｆ₁（＞0）、凸レンズＬ2の焦点距離をｆ₂（＞0）とし、両者の間隔をｄとする。また合成レンズの焦点距離をｆとする。そして光線の前側の焦点距離を測る基準点である主点1と凸レンズＬ₁との距離をδ₁、光線の後ろ側の焦点距離を測る基準点である主点2と凸レンズＬ₂との距離をδ₂とする。

　物体を凸レンズＬ₁の焦点距離ｆ₁の内側に置くと、凸レンズＬ₁の作る像は入射光線側の虚像となる。物体を焦点距離ｆ₁の外側に置くと光線の出る側に実像ができる。
　凸ンズが作る像は、物体Ａ₁Ｂ₁の存在位置ａ₁がレンズの焦点距離ｆ₁の内・外によって虚像になったり実像になったりしますが、その像をもう一つの凸レンズＬ₂で見る事になります。
　いずれの場合も同様に議論できますが、以下では物体Ａ₁Ｂ₁を凸レンズＬ₁の焦点距離ｆ₁の内側に置いた場合を例にして説明します。

（１）レンズ間隔が狭い

　最初にレンズ間隔が狭い場合を説明します。

１．主点（主平面）と合成レンズの焦点距離とは何か

　光線について成り立つ性質を利用して、光線経路図を描くと下図の様になります。この図は物体Ａ₁Ｂ₁の像が組み合わせレンズによりＡ₃Ｂ₃の位置に実像として結像することを示している。

［拡大図はこちら］

　点Ａ₁から出たレンズの中心を結ぶ線に平行な光線は二つのレンズで二度屈折してＡ₃に至ります。実際には二度屈折するが、一度の屈折と見なしたときの仮想的な屈折面を主平面といい、その面が中心軸と交わる点が主点です。
　同様に、右側の点Ａ₃から出た中心線に平行な光線も二つのレンズで二度屈折してＡ₁に至りますが、この場合にも、一度の屈折と見なして主平面（主点）が定まります。
　このとき、二枚のレンズの間隔ｄがゼロでない場合には、左から右へ進む光線の主平面２（主点Ｓ₂）と右から左へ進む光線の主平面１（主点Ｓ₁）は異なります。図中に示す様に１と２の二つの主平面ができる。
　
　主平面（主点）の位置を定めるには、光線Ａ_右Ａ₃の部分に着目すればよい。これは、Ａ₁を出て合成レンズの左から入射した平行光線が、合成レンズの右側の焦点に収束する光線となっている。
　同様に、光線Ａ_左Ａ₁の部分は、Ａ₃を出て合成レンズの右から入射した平行光線が、合成レンズの左側の焦点を通過する光線となっている。
　そのため図中のｆの長さがまさに合成レンズの焦点距離になっている。そして主点Ｓ₂と主点Ｓ₁がそれぞれの焦点距離を測る基準点になっています。

２．主点（主平面）の位置

　主点Ｓ₂の位置を定めるには、下図の中の空色と黄緑色の三角形に注目すれば良い。

　空色の二つの三角形は相似になります。また黄緑色の二つの三角形も相似になります。そのため図中の辺αとβを仲立ちにすると

が得られる。

　同様に、主点Ｓ₁の位置は下図の空色と黄緑色の三角形の相似性を用いると

［拡大図はこちら］

となる。

　ｆ₁＞0、ｆ₂＞0だからδ₁とδ₂のいずれも正の値となります。そのため主点の位置は光線の進む方向に向かって見て奥にあるレンズからδ₁orδ₂だけ手前に在ることになる。また、凸・凸レンズの組み合わせのときの二つの主点の位置は、次章で説明する凹・凸レンズの組み合わせの場合と違って、互いに交叉して前後が入れ替わります。

　上記の二つの式を組み合わせると

となる。つまりそれぞれのレンズから主点までの距離はそれぞれのレンズの焦点距離に比例する。
　また、このときδ₂やδ₁は、実際に物体を置く位置に依存しないことに注意。

３．合成レンズの焦点距離

　主点（主平面）の定義から明らかなように、点Ａ₁から出た光は主平面１がレンズ系の中心線と交わる点（主点Ｓ₁）を直進してして点Ａ₃に至ると考えなければならない。その光線は当然のことながらレンズ系の右側主点Ｓ₂（主平面２が中心線と交わる点）を通過後に点Ａ₃に至るはずである。
　しかしこのとき、実際には主点Ｓ₁と主点Ｓ₂は一致していないので、仮想的合成レンズの中心を通過する光線は下図の緑色光線になると考えなければならない。つまりＡ_１→Ｓ₁の光線とＳ₂→Ａ_３の光線は平行光線となり、Ｓ₁→Ｓ₂の部分は中心線に一致するように逆に進むと考えるのである。

［拡大図はこちら］
この図を用いれば組み合わせレンズの合成焦点距離ｆを求めることができる。

　左から右方向へ進む光線に対する合成レンズの焦点距離ｆを求める。不必要な光線経路を削除すると

となる。
　この図は、レンズＬ₂のみに着目すると、Ｌ₂が無かったら本来ｆ₁の位置に焦点を結ぶ光線がＬ₂を挿入したためにｆの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離ｆ₂のレンズＬ₂に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのはｆ₁の位置が虚焦点でレンズＬ₂の向こう側に在るからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
［証明］
　直接証明するには以下の様に考えればよい。

点Ｐに点光源があり、それからの光は焦点距離ｆ₂のレンズＬ₂のために青色光線経路で進む。そのときレンズの左側から光源Ｐを見ればあたかもＰ’に在るように見える。そのときａ₂、ｂ₂、ｆ₂の間にどのような関係があるかという問題です。
　この問いを解くには光線について成り立つ性質の中の（５）と同じやり方を凸レンズに適用すればよい。すなわち仮想的な物体ＡＢを考えて、それをレンズの左側から見ると何処に在るように見えるかを考える。その虚像Ａ’Ｂ’の足下Ｂ’がＰ’点である。

上図中にできる三角形の相似性を用いて、辺長α、βを仲介にした比例式を作ると

となる。
［証明終わり］
　
　ここでａ₂＝ｆ₁−ｄとｂ₂＝ｆ−δ₂であることを利用すると、

となる。これが合成焦点距離ｆをｆ₁、ｆ₂、ｄと関係づける式です。

　右から左方向へ進む平行光線に対する合成レンズの焦点距離ｆも同様に求まります。不必要な光線経路を削除すると

となる。［拡大図はこちら］
　この図は、レンズＬ₁のみに着目すると、Ｌ₁が無かったら本来ｆ₂の位置に焦点を結ぶ光線がレンズＬ₁を挿入したためにｆの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離ｆ₁のレンズＬ₁に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのはｆ₂の位置がが虚焦点だからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
　ここでａ₁＝ｆ₂−ｄとｂ₁＝ｆ−δ₁であることを利用すると、

となる。つまり、前述の左から右方向へ入射する場合とまったく同じになる。

　レンズ間隔ｄが狭い場合には、凸レンズに凸レンズを組み合わせた為に合成焦点距離ｆは凸レンズ単体の焦点距離ｆ₂よりも短くなります。ｄ＜ｆ₂ならば確かにそうなる事は、上記の公式で確認できます。

　ここで得られた結果を用いると、前述の主点の位置δ₂、δ₁をｆ₁、ｆ₂、ｄで表すことができる。それぞれ

となる。

４．合成焦点距離ｆとａ₁、ｂ₂との関係

　前項の図を着色した下図に於いて二つの空色三角形は相似になります。また二つの黄緑色三角形も相似になります。


［拡大図はこちら］
図中の辺αとβを仲立ちにして比例関係式を書いてみると、直ちに合成焦点距離ｆとａ₁、ｂ₂との関係式が得られます。

　これは単一レンズで成り立つ公式によく似ている。

（２）レンズ間隔が広い

　レンズの間隔ｄを広げると主点の位置と焦点距離がどのように変わるか見てみよう。間隔ｄを広げて前節１．（１）３．と同様な光線経路図を描くと

［拡大図はこちら］
となる。主点の位置δ₁、δ₂や合成焦点距離ｆを表す公式は同じになる。証明は同様にすれば良い。

　レンズ間隔ｄを広げると、凸レンズに凸レンズを組み合わせたにもかかわらず合成焦点距離ｆは凸レンズ単体の焦点距離ｆ₂よりも長くなります。ｄ＞ｆ₂ならば確かにそうなる事は、合成焦点距離の公式で確認できます。

（３）まとめ

1. 両レンズ間の間隔ｄを狭めると二つの主点間の距離が狭まります。また、ｄ→0とすれば二つの主点が一致してレンズの場所になる。このことは、主点の位置を表す公式から明らかです。
2. ｄがｆ₁とｆ₂いずれかの焦点距離を越えると［合成焦点距離ｆ］＞［越えた凸レンズの焦点距離］となり、ｄがそれ以下の場合には［合成焦点距離ｆ］＜［反対向きに越えた凸レンズの焦点距離］となります。つまり、合成焦点距離ｆは、凸レンズと凸レンズを組み合わせたにもかかわらず、単一の凸レンズの焦点距離よりも長くなる場合もある。このことは、合成焦点距離を表す公式から明らかです。
3. ｄ→0となるとｆは
   
   となる。現実には、薄いレンズも厚みがありますからレンズ間隔ｄはゼロにはできません。二つのレンズを密着させて近似的にゼロと見なせる場合の話です。
4. ｄ→（ｆ₁＋ｆ₂)となるとｆ→∞となる。
5. ｆ₁とｆ₂を適当に与えて、ｆをｄの関数としてグラフを描くと下図のようになる。
   
   ｄが負の領域に意味はないが、グラフの様子を見やすくするために付け加えてある。このグラフで意味があるのは0＜ｄ＜ｆ₁＋ｆ₂の領域のみです。

２．凹レンズと凸レンズの組み合わせ

　凹レンズの焦点距離を-ｆ₁（＜0）、凸レンズの焦点距離をｆ₂（＞0）とし、両者の間隔をｄとする。また合成レンズの焦点距離をｆとする。そして光線の前側の焦点距離を測る基準点である主点Ｓ₁と凹レンズとの距離をδ₁、光線の後ろ側の焦点距離を測る基準点である主点Ｓ₂と凸レンズとの距離をδ₂とします。

　凹レンズＬ₁が作る物体Ａ₁Ｂ₁の像Ａ₂Ｂ₂は、物体の存在位置ａ₁が焦点距離ｆ₁の内・外にかかわらず必ず凹レンズＬ₁の手前側の虚像となります。その虚像をもう一つの凸レンズで見る事になります。

（１）レンズ間隔が狭い

　最初にレンズ間隔ｄが広い場合を説明します。

１．主点（主平面）と合成レンズの焦点距離とは何か

　光線について成り立つ性質を利用して、光線経路図を描くと下図の様になります。この図は物体Ａ₁Ｂ₁の像が組み合わせレンズによりＡ₃Ｂ₃の位置に実像として結像することを示している。

［拡大図はこちら］

　点Ａ₁から出たレンズの中心を結ぶ線に平行な光線は二つのレンズで二度屈折してＡ₃に至ります。実際には二度屈折するが、一度の屈折と見なしてときの仮想的な屈折面を主平面といい、その面が中心軸と交わる点が主点です。
　同様に、右側の点Ａ₃から出た中心線に平行な光線も二つのレンズで二度屈折してＡ₁に至りますが、この場合にも、一度の屈折と見なして主平面（主点）が定まります。
　このとき、二枚のレンズの間隔ｄがゼロでない場合には、左から右へ進む光線の主平面２（主点Ｓ₂）と右から左へ進む光線の主平面１（主点Ｓ₁）は異なります。図中に示す様に１と２の二つの主平面ができる。
　
　主平面（主点）の位置を定めるには、光線Ａ_右Ａ₃の部分に着目すればよい。これはＡ₁を出て合成レンズの左から入射した平行光線が、合成レンズの右側の焦点に収束する光線となっている。
　同様に、光線Ａ_左Ａ₁の部分はＡ₃を出て合成レンズの右から入射した平行光線が、合成レンズの左側の焦点を通過する光線となっている。
　そのため図中のｆの長さがまさに合成レンズの焦点距離になっている。そして主点Ｓ₂と主点Ｓ₁がそれぞれの焦点距離を測る基準点になっています。

２．主点（主平面）の位置

　主点２の位置を定めるには、下図の中の空色と黄緑色の三角形に注目すれば良い。

［拡大図はこちら］
　空色の二つの三角形は相似になります。また黄緑色の二つの三角形も相似になります。そのため図中の辺αとβを仲立ちにすると

が得られる。
　このときｆ₁は凹レンズの焦点距離だから本来負の値となるのでδ₂も負となるが、これは主点が凸レンズの手前側（光線の入射側）ではなくて光線の出る方へ移動することを示している。

　同様に、主点１の位置は下図の空色と黄緑色の三角形の相似を用いると

［拡大図はこちら］

が得られる。
　δ₁は正の値となるが、これは主点が凹レンズの手前側（つまり光線の入射側である右側）に移動することを示している。

　上記の二つの式を組み合わせると

となる。凹・凸の組み合わせでもそれぞれのレンズから主点までの距離はそれぞれのレンズの焦点距離に比例する。
　また、このときδ₂やδ₁は、実際に物体を置く位置に依存しないことに注意。

３．合成レンズの焦点距離

　主点（主平面）の定義から明らかなように、点Ａ₁から出た光は主平面１がレンズ系の中心線と交わる点（主点Ｓ₁）を直進してして点Ａ₃に至ると考えなければならない。その光線は当然のことながらレンズ系の右側主点Ｓ₂（主平面２が中心線と交わる点）を通過後に点Ａ₃に至るはずである。
　しかしこのとき、実際には主点Ｓ₁と主点Ｓ₂は一致していないので、仮想的合成レンズの中心を通過する光線は下図の緑色光線になると考えなければならない。つまりＡ_１→Ｓ₁の光線とＳ₂→Ａ_３の光線は平行光線となり、Ｓ₁→Ｓ₂の部分は中心線に一致するように進むと考えるのである。

［拡大図はこちら］
この光線経路図を用いて合成焦点距離ｆを表す公式を導く。

　左から右方向へ進む光線に対する合成レンズの焦点距離を求める。不必要な光線経路を削除すると

となる。［拡大図はこちら］
　この図は、レンズＬ₂のみに着目すると、Ｌ₂が無かったら本来凹レンズの手前側ｆ₁の位置に焦点を結ぶ光線がＬ₂を挿入したために凹レンズの向こう側ｆの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離ｆ₂のレンズＬ₂に対して凸レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項が虚焦点にもかかわらずプラス符号になっているのはレンズＬ₂の手前側にあるからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凸レンズに付いて成り立つ公式そのものです。
［証明］
　直接証明するには光線について成り立つ性質の中の（５）と同じやり方を凸レンズに適用すればよい。

仮想的な物体ＡＢを考えて光線経路図を描く。図中にできる三角形の相似性を用いて、辺長α、βを仲介にした比例式を作ると

となる。
［証明終わり］
　
　ここでａ₂＝ｆ₁＋ｄとｂ₂＝ｆ＋δ₂であることを利用すると、

となる。これが左から右方向へ入射する場合の合成焦点距離ｆをｆ₁、ｆ₂、ｄと関係づける式です。

　これらの式は前章１．（１）３．で得られた公式のｆ₁を−ｆ₁に置き換えた形であることに注意して下さい。凹凸に伴う焦点距離の正負を、記号ｆ₁の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合と同じ形の公式となります。

　右から左方向へ進む平行光線に対する合成レンズの焦点距離ｆも同様に求まります。不必要な光線経路を削除すると

となる。［拡大図はこちら］
　この図は、レンズＬ₁のみに着目すると、Ｌ₁が無かったら本来ｆ₂の位置に焦点を結ぶ光線がレンズＬ₁を挿入したためにｆの位置に焦点を結ぶことになった事を示している。つまり焦点距離ｆ₁のレンズＬ₁に対して凹レンズの公式を用いると

が成り立つ。ここで左辺第一項にマイナス符号が付いているのはｆ₂の位置がレンズの向こう側にできる虚焦点だからです。また右辺の1／ｆ₁の前にマイナス符号が付いているのは凹レンズだからです。この式には虚像がからんでいるので少し解りにくいかも知れませんが、高校物理で習う一つの凹レンズに付いて成り立つ公式そのものです。直接証明するには光線について成り立つ性質の中の（５）を参照。
　ここでａ₁＝ｆ₂−ｄとｂ₁＝ｆ−δ₁であることを利用すると、

となる。つまり、前述の左から右方向へ入射する場合とまったく同じになる。

　レンズ間隔ｄが狭い場合には、凸レンズに凹レンズを組み合わせた為に合成焦点距離ｆは凸レンズ単体の焦点距離ｆ₂よりも長くなります。。ｄ＜ｆ₂ならば確かにそうなる事は、上記の公式で確認できます。

　ここで得られた結果を用いると、前述の主点の位置δ₂、δ₁をｆ₁、ｆ₂、ｄで表すことができる。それぞれ

となる。

　ここδ₁に関しては前章１．（１）３．で得られた公式のｆ₁を−ｆ₁に置き換えた形であり、δ₂に関してはｆ₁を−ｆ₁に置き換えてさらにマイナス符号を付けた形であることに注意して下さい。
　δ₁に関しては凹凸に伴う焦点距離の正負を、記号ｆ₁の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合と同じになりますし、またδ₂に関してはさらにマイナス符号を付けたものになります。

４．合成焦点距離ｆとａ₁、ｂ₂との関係

　前節１．（１）４．と同様な考察で求めることができます。

［拡大図はこちら］
この図で二つの空色三角形は相似になります。また二つの黄緑色三角形も相似になります。図中の辺αとβを仲立ちにして比例関係式を書いてみると、合成焦点距離ｆとａ₁、ｂ₂との関係式

が得られます。δ₂の前にマイナス符号が付くことに注意。

　この式は前章１．（１）４．で得られた公式のδ₂を−δ₂に置き換えた形です。凹凸に伴う主点の位置の正負の変動を、記号δ₂の中に含めれば凸凸の組み合わせの場合の形と同じになります。

（２）レンズ間隔が広い

　レンズの間隔を広げると主点の位置と焦点距離がどのように変わるか見てみよう。前節２．（１）３．と同様な光線経路図を描くと

［拡大図はこちら］
となる。主点の位置δ₁、δ₂や合成焦点距離ｆを表す公式は同じになる。証明は同様にすれば良い。

　レンズ間隔ｄを広げていくと、凸レンズに凹レンズを組み合わせにもかかわらず合成焦点距離ｆは凸レンズの焦点距離ｆ₂よりも短くなります。ｄ＞ｆ₂ならば確かにそうなる事は、前述の公式で確認できます。

（３）まとめ

1. 両レンズ間の間隔ｄを狭めると二つの主点間の距離が狭まります。また、ｄ→0とすれば二つの主点が一致してレンズの場所になる。このことは、主点の位置を表す公式から明らかです。
2. ｄが凸レンズの焦点距離よりも小さい場合には［合成焦点距離ｆ］＞［凸レンズの焦点距離］となりますが、ｄがそれを越えると［合成焦点距離ｆ］＜［凸レンズの焦点距離］となります。つまり、合成焦点距離ｆは、凹レンズを組み合わせたにもかかわらず、単一の凸レンズの焦点距離よりも短くなる場合がある。このことは、合成焦点距離を表す公式から明らかです。
3. ｄ→0となるとｆは
   
   となる。現実には、薄いレンズも厚みがありますからレンズ間隔ｄはゼロにはできません。二つのレンズを密着させて近似的にゼロと見なせる場合の話です。
4. ｄ→（−ｆ₁＋ｆ₂)となるとｆ→∞となる。
5. ｆ₁とｆ₂を適当に与えて、ｆをｄの関数としてグラフを描くと下図のようになる。ｄが負の領域に意味はないが、グラフの様子を見やすくするために付け加えてある。
   
   　焦点距離の長さを凹・凸で入れ替えると下図の様になる。この場合にはｄ→（−ｆ₁＋ｆ₂)となるとｆ→∞となることが良く解る。下記のグラフで意味があるのは0＜ｄ＜ｆ₂−ｆ₁の領域のみです。
   

３．後書き

　組み合わせレンズの焦点距離や主点の位置を求めるのは結構面倒です。しかし、薄いレンズを組み合わせた場合には、原理的に高校物理の光学で習う初等的なレンズを通過する光線について成り立つ性質を利用して光線経路図を描いてみれば導けるはずです。つまり光線経路図中にできる三角形の比例関係を利用すれば解けるはずです。その指針に従って考えてみると、意外に簡単に証明できます。この稿は、その簡単な導き方を説明するものです。
　組み合わせるのが厚いレンズの場合、証明はかなり面倒です。ヘクト「光学�T」丸善の6章などを参照されて下さい。
　
　私が高校生（1965年）の頃、レンズが示す性質は望遠鏡や顕微鏡の例を取り上げながらかなり時間を取って丁寧に教えられていました。しかし、最近の高校物理の教育課程は、このような幾何光学を重視していません。レンズの問題は実用的にも重要（皆そのうち近眼鏡か老眼鏡のお世話になる）だし、思考力を養うには最適な教材だと思うのですが、残念なことです。