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気体の断熱変化

 昔の高校生は気体の断熱変化の公式を学んでいました。今はやりませんが、これを知らないと不便なのでここで説明します。

1.断熱変化の公式

物質量が一定の理想気体が断熱変化したときたどる道筋のTV面への射影は TVγ-1=一定 の曲線となる。(ただしγ=C/C=定圧比熱÷定積比熱)

[証明]

 理想気体の状態を表すPVT曲面(下図)に於いてA点からB点へ断熱膨張で変化したとしよう。そのとき気体が外部に対してする仕事は図のPV平面上の斜線部分の面積に相当する。ΔVを微少とすると体積変化ΔVでの圧力変化は無視できるので、斜線部分の面積はPΔVとなる。

このとき気体の持つ内部エネルギーの減少分熱力学第一法則より

となる。つまり断熱変化では気体が外部に対してした仕事が内部エネルギーの減少分になる。この現象の簡単な気体分子運動論による説明はこちらを参照
 ところで理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみの関数だから、この内部エネルギーの減少分は温度の低下となって現れる。理想気体の内部エネルギーは

と表される。高校物理Uで理想気体の内部エネルギーはU=(3/2)nRT・・・・(2’)と習うがこれは単原子気体の場合にしか当てはまらない。そのかわりに上記(2)式を用いる。(2)式は熱力学第一法則に於いて一定体積で熱を加えたときの内部エネルギー変化の式から求まる。つまりΔU=Q−Wにおいて、W=0(等積変化だから)およびQ=CΔT(Cは等積モル比熱)から求まる。この(2)式は二原子分子や多原子分子の気体の場合にも正しい式である。
 ちなみに、上記(2’)式の係数(3/2)は二原子分子の場合に(5/2)となり、多原子分子の場合は(6/2)=3となる。何故そうなるかは高校レベルを超えるので説明は省略。

つまりA点から断熱膨張(ΔV)で到達するB点は、気体が外界に対してする仕事PΔVだけ内部エネルギーの減少した(ΔTだけ温度の降下した)点である。そのときTV面上のA→Bの軌跡を求めるには、(3)式のPを理想気体の状態方程式PV=nRTをもちいてT、Vで表せばよい。

(4)式にCp=Cv+R(これは「気体のモル比熱」で導く)を代入する。

[証明終わり]

 (5)式から(6)式を導くには積分法を用いる必要があるが、そこを簡単にすませた。(6)式になることは途中の(5)式がTV面上の曲線の傾きが下図の状況であることを示していることから読み取れるであろう。

(6)式に気体の状態方程式を用いるとVP面、TP面上の曲線がえられる。

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2.等温・定積・定圧・断熱変化の関係

各平面上へ射影した変化曲線は下図の様になる。

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3.現実の気体の状態図

現実の気体は圧縮して低温にすると凝縮、凝固を起こして下図の様な状態図になる。

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