である。
極座標で表したラプラシアンは、
である。
【証明】
3次元直交座標（ｘ，ｙ，ｚ）で表したラプラシアンの定義は、デカルト座標 （ｘ，ｙ，ｚ） で表すと
である。 この定義を出発点とし、 ラプラシアンの極座標系による表現を求める。
ｆ を極座標 (ｒ，θ，φ) の関数、
とする。
デカルト座標と極座標の間には、
の関係があり、これより、
が成り立つ。
このように極座標はデカルト座標の関数であるので、 極座標の関数 f は、 その極座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、
と表される合成関数である。
したがって、 合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 f のデカルト座標による偏微分は、
と表される。 同様に、 ここで表された３つの微分もまた極座標の関数であり、 その極座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、
と表される合成関数である。 したがって、 再び合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 二階の偏微分が
と表される。 これらより、ラプラシアン (1) は、
と表される。
この式に含まれる極座標のデカルト座標による偏微分は、(2) から
と求められる (導出方法は後述の補足説明を参考)。
これらを代入すると、
となる。
偏微分を実行し、式を整理すると
更に、同種項をまとめると
以下のように成る。
よって、極座標のラプラシアン
が得られる。
【証明終わり】
上の議論で使った偏微分の計算を行う。
(2) より、
であるので、
であることが分かる。
また、 (2) より、
が示されるので、
と置き、
であることを用いると、 合成関数の微分により、
であることが分かる。 途中の計算で sinθ≧0 (なぜなら 0≦θ≦π) であることを用いた。
同様の計算により、
が示される。
φ の微分については (2) より、
が示されるので、 ｙ／ｘ≡ｕ と置くと
であり、逆三角関数の微分が
であることを用いると、
となる。