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電磁場のエネルギー密度とポインティングベクトル(1884年)

 電磁気学の公式は単位系により係数が変化します。ここでは高校物理で使用するMKSA有理化単位系(E-B対応系)(SI単位系)で記述しています。ただし、Feynmanはμ0=1/ε02 と置き直している。(詳細は別稿「電磁気学の単位系が難しい理由」参照)

1.導入

(1)電磁場のエネルギー密度

 電荷間のクーロン力,電流間のアンペールの力などは、電荷間や電流間に直接に作用する遠隔作用によるものではなく、電場および磁場を媒介として間接的にはたらく近接作用によるものです。これらの力をもたらすエネルギー(電磁エネルギー electromagnetic energy)は電荷や電流が持っているのではなく、それらの力を媒介する空間に蓄えられている。
 また真空中に電磁波が存在するように、電磁場は電荷や電流のような物質的存在とは独立な実在であって、電場のエネルギーや磁場のエネルギーは真空空間そのものに蓄えられている。

 電場の強さをE、電束密度をD、磁場の強さをH、磁束密度をBとしたとき、“電磁場のエネルギー密度”u(単位体積中に含まれる電磁場のエネルギー)は

で与えられる。

 この事はすでに、別稿「コンデンサーの持つエネルギー」、「帯電した導体球の周りの電場の持つエネルギー」や「コイルの持つエネルギー」、「磁場の持つエネルギーと電流を担う電荷が持つ運動エネルギー」などで説明したが、次章で“Maxwellの方程式”を用いて厳密に導く。

(2)Poyntingの定理(1884年)

 ポインティングは
J.H.Poynting, “ On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field”, Phil. Trans., 175, p343〜361, 1884年
において、マックスウェルにより与えられた電磁場のエネルギー密度表現形式[前記]を“Maxwellの方程式”を用いて変形し、電磁場には下記のベクトルで表されるエネルギー流が存在・定義できることを示した。このことを次章で説明する。

 単位面積を、単位時間に流れる輻射(電磁場)のエネルギー流

と表される。エネルギー流の方向はベクトル[E×H]の方向であり、単位面積はその方向に垂直であるとしている。
 今日この“Poyntingベクトル”と呼ぶ。

 

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2.場のエネルギー

以下は、ファインマン物理 第W巻 第6章 “場のエネルギーと運動量”p80〜90からの引用。

)局所的保存則






 

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(2)エネルギー保存と電磁気学







     “ガウスの定理”については別稿{グリーンの定理[積分定理の王]」1.を参照されたし。
     また、物体になされる仕事が E・j となることは別稿「オームの法則」4.を参照されたし。

[補足説明1]
 Max Planckは、彼の力学の教科書の中で次のように指摘している。
“物理法則が解っていいる場合、もしそれを変形して 〔・・・・・〕=const の形の関係式を得ることができ、しかもその両辺の次元がエネルギーの次元であれば、常にその関係式をエネルギー保存法則であると見なして良い。”
 この事の簡単な例については、別稿で説明した。次節では、その方針に従って電磁場を含めた議論をする。

 

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(3)電磁場におけるエネルギー密度とエネルギー流


[補足説明1]
 ベクトル微分演算公式(6.11)について、ファインマンは別ページに引用する様に説明している。



[補足説明2]
 普通の教科書では次の様に展開される。
 “Maxwell方程式”(MKSA有理化 E-B対応系)は以下で表される。ただし、ここではFeynmanに従ってμ0=1/ε02 と置いている。(単位系については別稿「電磁気学の単位系が難しいわけ」参照)

 ここで、(1)式と(2)式を用いる。

 

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(4)場のエネルギーの不定さ



[補足説明]
 この当たりは、スレーター、フランク共著「電磁気学」第[章§3が解りやすいので別稿で引用。

 

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(5)エネルギー流の例

例1.電磁波


     平面電磁波については「電磁波の伝播」2.(2)を参照されたし。

補足説明1
 ここで述べられている 平均〈 〉av 操作について補足する。これは
    
に対して、別稿3.(3)1.[補足説明1]を適用すればよい。ただし単位系はMKSA有理化系に変換する必要ある。
 進行波のEとBの最大振幅をE0とB0とすると

となる。

 

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例2.導線


補足説明1
 導線近くの電磁場については「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」3.(1)を参照。また導線内で単位時間に消費されるエネルギーは別項「オームの法則」4.(1)2.参照。

であるが、これは

と変形できる。

補足説明2
 ここの説明は解りにくいので補足する。
 別項「仕事とエネルギー」2.(4)5.で、最初隣り合っている正負の電荷を引き離すには仕事がいること、さらに引き離すために加えた仕事(エネルギー)は力を加えた正負の電荷を素通りして空間の中に静電場のエネルギーとして蓄えられることを説明した。
 この現象をより詳しく説明すると以下のようになる。力を加えて正負の電荷を図(1)→図(2)→図(3)と引き離なしていったとする。電気力線の出発点と収束点にある電荷の総量は変化しないので、それぞれの電荷塊から出入する電気力線の総本数は変わらず、全体として相似形を保ったまま拡大される。そのとき赤○で示した等電位面(球殻状)も同様に相似形を保ったまま拡大される。

 そのとき、別稿「ガウスの法則(静電気学)」で証明したように等電位面を貫く電場ベクトルの大きさは図(1)→図(2)→図(3)の変化と共に小さく(電気力線の密度が小さくなる)なる。つまり図(1)→図(2)→図(3)の変化と共に周囲の空間の静電エネルギー密度=1/2ε02 はだんだん小さくなる。特に正負電荷の間の空間に着目するとその中の単位体積中に含まれる電気力線の本数は減少していく。
 一方、球殻の表面積はそれと反比例して増えるので ×[球殻表面積] は変化しない。球殻内部の電気総量は変わらないからです。別稿「ガウスの法則(静電気学)」3.参照。
 このとき、球殻の厚みは図(1)→図(2)→図(3)の変化と共に増大している。そのため電荷の周辺空間の静電エネルギー密度=1/2ε02 はだんだん小さくなるが、全空間について加え合わせた静電エネルギーは増大していく。
 つまり正負の電荷を引き離すために加えたエネルギー分だけ、全空間中に蓄えられた静電エネルギーは増大している。
 図(1)→図(2)→図(3)の変化と共に周りの空間の電場(特に正負の電荷の間の電場)の大きさは時間的にだんだん小さくなる。それは単位体積中の電気力線本数がだんだん少なくなることからも明らかです。
 この様にして空間の電場が時間的に変化すると、“アンペール=マクスウェルの法則”により下図の茶色サークルで表した方向の磁場Bが出現する(別稿「電磁場の伝播」1.(2’)図2を参照)。

 誘導磁場は全空間に渡って現れるが、正負電荷を結ぶ間の領域が特に顕著です。そのとき ポインティングベクトル S=ε02E×B の方向を考えてみれば解るように、エネルギーは正負電荷を結ぶ間の領域から外向きに流れ出る。特に正負の電荷を結ぶ空間部分から等電位面に沿って周囲にひろがっていく。
 これが正負電荷を引き離すために加えた力に因って成された仕事が、エネルギー流となって周囲の空間に広がっていき、静電場のエネルギーとして蓄えられるメカニズムです。

補足説明3 
 以上で準備が整ったので、ここから例2.導線に流れ込むポインティングベクトルの説明に入る。
 まず[補足説明2]の図(3)の状態で正負の電荷塊が存在するとする(下図(4)参照)。ここで正電荷塊と負電荷塊を高抵抗Rの細い導線で連結する(下図(5)参照)。
 導線の抵抗Rは大きいので、弱い電流I が図(5)の様に流れる。そうすると“アンペールの法則”により図の様に磁場Bが現れる(別稿「電磁場の伝播」1.(2)の図を参照)。

 前出の図6-5は図(5)の導線の一部を示している。そこで説明されているポインティングベクトルに従って周囲の空間からエネルギーが導線に流れ込む。このとき等電位面に沿って流れ込む事に注意されたし。
 電流が流れ続けると、離れて存在する正負の電荷は互いに打ち消されて減少していく。そのため周囲の空間の電場強度Eは減少する。また正負電荷間の電位差Vも減少するので電流 I=V/R も減少し、磁場強度Bも減少する。
 周囲に蓄えられていた静電場エネルギーが減少するにつれてポインティングベクトルで表されるエネルギー流Sも減少していく。まさに空間に蓄えられたエネルギーが導線で生じるジュール熱の源なのです
 同じ様な例、電池から導線にエネルギーが伝達される場合を別ページで紹介。

 

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例3.平行板コンデンサー


     平行板内の電磁場については別稿「電磁波の伝播」1.(2’)を参照。




補足説明1
 ここも解りにくいので補足する。例2.[補足説明3]の図(5)から出発する。
 図の導線の途中に“平行板コンデンサー”を挟み、それが両端の正負電気塊からの電流 I によって充電されると考える。平行板コンデンサーが充電されるにつれて極板間の電場Eが増大する。その時間的な変化に従ってコンデンサーの周りには図の様な磁場Bが現れる(別稿「電磁場の伝播」1.(2’)図2を参照)。

 平行板コンデンサーが充電されるに従って、両端の正負電荷は減少していき周囲の空間の静電場エネルギーは減少していく。その減少分がポインティングベクトルによるエネルギー流Sとなり、一部は導線に流れ込みジュール熱となる。また、一部は平行板コンデンサーの極板間に流れ込み極板間の電場エネルギーとなる。

 

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例4.電荷と磁石





    同様な例をもう一つ紹介

補足説明1
 このことに付いてはファインマンは次節に引用する例5で説明している。その内容を簡単に紹介する。
 いま、下図のような仕掛けを作る。薄い円形のブラステック板が同心の回転軸により支持されており、自由に回転できるとする。円盤上に同心の短いソレノイドコイルが接着されており、円盤上の電池により定常的な電流 I がながれ回転軸に対称な磁場が造られている。
 円盤の円周上に一様な間隔で多数の金属小球があり、球は互いにもソレノイドとも円盤のブラスチックで絶縁されている。導体球はどれも静電荷Qを持つ。

 最初停止している状態で電流 I のスイッチを切ると、円盤は図の矢印の方向に回転を始める。力学的な角運動量保存則を考慮するとなぜ回転を始めるのか不思議だが、その答えが前記の環状エネルギー流である。
 次節6-6“電磁場の運動量”で説明されているように、エネルギーの流れには運動量が伴う。元々電磁場のエネルギー流が存在していたが、ソレノイドの電流を切るとそのエネルギー環流が無くなる。その電磁気的な角運度量が円盤の力学的な角運動量に変換されるのである。
 角運動量保存則は力学的なものだけでなく電磁的なものも含めて考えなければならない。

 

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3.場の運動量

 ファインマンは、引き続いて6-6“電磁場の運動量”について説明している。これは別稿「アインシュタインの公式 E=mc2 の証明」3.[補足説明1]で引用・紹介していますので、そちらをご覧ください。

 

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4.参考文献

 たいていの電磁気学の本で説明されていますが、この稿をつくるとき参考にした本を挙げておきます。

  1. J.H.Poynting, “ On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field”, Phil. Trans., 175, p343〜361, 1884年
     ファインマンの説明もこの論文の主旨に沿ったものです。
  2. 矢島祐利著「電磁理論の発展史」河出書房(1947年刊)
     上記論文の内容が、この第6章§30“Poyntinヴェクトル”p121〜125に解説されている。
  3. ファインマン、レイトン、サンズ著「ファインマン物理学W 電磁波と物性」岩波書店(1971年)
     この稿は、この第6章“場のエネルギーと運動量”p80〜90から引用。 
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